专题03 平面向量（3大考点）（江苏专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 平面向量专题汇编，精选江苏多地2026届二模真题，覆盖线性运算、数量积、坐标运算三大核心考点，题型多样且梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|线性运算（如四边形条件判断）、坐标运算（如三角形形状判断）|结合几何情境考查逻辑推理，如第2题正方形充要条件分析| |填空题|3题|数量积（如单位向量运算）、坐标运算（如直线与圆交点）|注重向量工具性，如第7题单位向量数量积应用| |解答题|1题|数量积与解析几何综合|跨模块融合，如第9题椭圆中向量与直线过定点问题，贴合高考命题趋势|

专题03 平面向量 3大考点概览 考点01平面向量线性运算 考点02平面向量数量积 考点03平面向量坐标运算与位置关系 ( 平面向量线性 运算 考点1 ) 1．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】取中点，可得，利用余弦定理求出后，由模长与数量积关系计算可得，再利用点坐标，可得当、、三点共线时，取最小，即可得最小值. 【详解】取中点，则，则， 由，则， 则， 由，则，则， 当且仅当、、三点共线，且在、之间时，等号成立， 故的最小值为. 2．（2026·江苏南京·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2026·江苏·二模）已知四边形为正方形，P为线段上一点（不包括端点A，C），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据向量共线的条件及向量加法的几何意义可得 【详解】因为P为线段上一点（不包括端点A，C），如图： 所以存在，使得. 故选：A ( 平面向量数量积 考点 2 ) 4．（2026·江苏南京·二模）如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】先分解向量，用圆心出发的向量表示所有待处理向量（利用圆的半径、直径性质），再用数量积分配律展开化简，代入模长、夹角等已知条件，将式子转化为包含目标向量点积的形式，随后求解即可. 【详解】因为圆 半径 ，， 所以， 因为，所以， 所以 因为， 所以 又因为 ， 代入得， 所以， 即， 又因为 ， 所以 故选：D. 5．（2026·江苏·二模）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 6．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 【答案】 【分析】先通过换元，再根据向量线性运算的几何意义及椭圆的定义及几何性质可得. 【详解】设，则，代入得， 根据向量的几何意义知，向量表示的点到表示的点和的距离和为常数8， 根据椭圆的定义知向量表示的点在以长轴为，焦距为的椭圆上， 所以，所以表示椭圆上的点到椭圆中心的距离， 由椭圆的几何性质可知，即，如图： 所以取值范围是. 7．（2026·江苏·二模）已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则_______． 【答案】 【详解】由题可知，不妨，，设，则，，所以，所以. 考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模. 8．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________． 【答案】3 【分析】方法一：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求出结果. 【详解】［方法一］：【通性通法】直译法 设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标 所以.所以， 由得 即，解得：或，因为，所以 故答案为：3． ［方法二］：【最优解】几何法 如图3，因为为直径，所以，，．    设，则， 所以，即． 所以，A点的坐标为，则点A的横坐标为3． ［方法三］： 数形结合 如图4，由已知，得，则，所以的方程为．    由解得． 设，则，从而． 所以，解得或． 又，所以．即点A的横坐标为3． ［方法四］：数形结合＋斜率公式 由，得，又C是的中点，所以． 又，所以．设直线l的倾斜角为，则，从而． 设，则，解得．即点A的横坐标为3． ［方法五］： 数形结合＋解三角形 由方法四，知，则． 在中，． 在等腰中，． 设，则，解得或． 又，所以．即点A的横坐标为3． ［方法六］：数形结合＋解三角形 设直线l的倾斜角为，则，则． 由方法四知，于是． 在中，由正弦定理知，解得， 故点A的横坐标为． ［方法七］：数形结合＋解三角形 因为D为以为直径的圆C上一点，所以，C为的中点． 因为，所以，为等腰直角三角形，即． 在中，． 又，所以． 因为A在第一象限，所以． 又，所以． 【整体点评】方法一：直接根据题意逐句翻译成数学语言，通过运算解出，是该题的通性通法； 方法二：作出简图，利用平面几何知识求解，运算简单，是该题的最优解； 方法三：通过圆的几何性质，利用直线方程联立求点的坐标，简化计算； 方法四：通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，根据斜率公解出，是不错的解法； 方法五：同法四，通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，再通过解三角形求出； 方法六：基本原理同方法五； 方法七：基本原理同方法五． 9．（2026·江苏·二模）已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由椭圆定义可得； （2）设，，联立直线与椭圆方程，将代入直线方程，化简得定点；用坐标表示数量积，将代入化简求范围. 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，，解得，， 故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为， 设，，． 联立得得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点； （ⅱ），， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为． ( 平面向量坐标运算与位置关系 考点 3 ) 10．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案. 【详解】分别是非零向量同向的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形. 由，得. 又，所以. 因此，是等边三角形. 11．（2026·江苏宜兴·二模）已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 12．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，从而判断选项. 【详解】若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 若，当时，； 当时，存在实数，使得： 整理得：， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，必要性成立; 综上“”是“”的充要条件. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量 3大考点概览 考点01平面向量线性运算 考点02平面向量数量积 考点03平面向量坐标运算与位置关系 ( 平面向量线性 运算 考点1 ) 1．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2026·江苏南京·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·江苏·二模）已知四边形为正方形，P为线段上一点（不包括端点A，C），则（   ） A．， B．， C．， D．， ( 平面向量数量积 考点 2 ) 4．（2026·江苏南京·二模）如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 5．（2026·江苏·二模）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 7．（2026·江苏·二模）已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则_______． 8．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________． 9．（2026·江苏·二模）已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． ( 平面向量坐标运算与位置关系 考点 3 ) 10．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 11．（2026·江苏宜兴·二模）已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 12．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $