精品解析：新疆乌鲁木齐市第三中学2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学学科问卷

乌鲁木齐市第三中学2025—2026 学年第二学期期中考试 高二年级 数学学科 问卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数图像如图所示，下列排序正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 8. 已知函数则满足不等式的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C. 6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 D. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 函数的值域是 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点至少可以作曲线的三条切线，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知在区间上，如图所示的图像中，______有可能表示函数的图像. 13. 若函数为定义在上的奇函数，则曲线在点处的切线方程为________． 14. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________. 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点处的切线方程. 16. 2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生互不相邻的坐法有多少种？ （2）若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ （3）若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在内的最大值为2，求的值； （3）若，求的取值范围． 18. 把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车上售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． （1）有多少种不同的分组方法（不考虑分配到汽车上去）？ （2）有几种不同的分配方法？ （3）每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ （4）如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第三中学2025—2026 学年第二学期期中考试 高二年级 数学学科 问卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 若函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值计算即得. 【详解】函数，求导得， 当时，， 所以. 故选：A 3. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率，再由垂直关系即可求解. 【详解】设，求导得， 即，即曲线在处的切线斜率为． 又曲线的切线与直线垂直， 可得，所以， 解得． 故选：C 4. 函数图像如图所示，下列排序正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数几何意义，结合函数图象即可判断. 【详解】由图易知，单调递减，所以， 当逐渐变大时，在处的切线的倾斜角逐渐变大，即切线的斜率逐渐变大，即逐渐变大， 所以当时，可得， 综上所述，可得. 5. 已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围. 【详解】由，，可得：，令， 依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点. 又，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故时，取得极大值，且当时，，当时，， 故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得. 故选：C. 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 得. 令，得或， 当或时，，在和上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极小值为， 又当时，且，当时，， 所以也是的最小值. 7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【详解】当丙在最左端时，则甲只能站在从左至右的第二个位置， 则有种； 当丙不在最左端时，则只能丁、戊站最左端， 甲、丙必须相邻，将甲、丙捆绑， 则有种， 所以共有种不同的站法. 8. 已知函数则满足不等式的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析单调性得到在上单调递增，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】当时，，由复合函数的单调性可知在上单调递增； 当时，因为，易得在上单调递增， 又因为当时，，所以在上单调递增， 因此可化为，解得， 故实数的取值范围为． 故选：A． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 C. 6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 D. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由于每封信都有3种投法，则5封信有种投法，故A正确； 对于B，从10人中任选4人有种，若4人全是男生有种， 若4人全是女生有1种，所以共有种选法，故B正确； 对于C，先选2本有种，从余下的书再选2本有种，进而分给甲、乙，余下的2本分给丙、丁有， 所以共有种，故C错误； 对于D，将4个不同的小球分成两组有种分组方法， 再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故D正确. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 函数的值域是 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点至少可以作曲线的三条切线，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求出切线方程；对于B，利用导数判断函数的单调性，从而求出的值域；对于C，当在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，求出点P坐标，用点到直线距离公式求出最值；对于D，设切点坐标，写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，， 对于A，因为，且， 所以曲线在处的切线方程为，故A错误； 对于B，当时，，函数的单调递增， 当时，，函数的单调递减， 所以的最大值为，又当时，；当时，， 所以函数的值域是，故B正确； 对于C，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小， 设点，则 ，整理得 ， 因为在上单调递增，所以有唯一解，此时， 点P到直线的距离，故C正确； 对于D，设过点的切线切点为，则切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，可得， 令，，则， 令，解得或，所以函数的单调递减区间为、， 令，解得，所以函数的单调递增区间为， 故函数的极小值为，极大值为， 又当时， ；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 即若过点至少可以作曲线的三条切线，则，故D错误. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知在区间上，如图所示的图像中，______有可能表示函数的图像. 【答案】① 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，结合图形即可得解. 【详解】因为在区间上， 所以在上，切线的斜率始终大于，仅①满足． 故答案为：①. 13. 若函数为定义在上的奇函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇函数的性质求出，进而根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数， 所以，即， 此时，， 所以，即函数为奇函数，符合题意， 所以， 所以， 所以， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________. 【答案】42 【解析】 【分析】先求出1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花的方法数，再减去只栽种两种花的情况，即可得答案. 【详解】先给1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花，不同的栽种方法有种. 只栽种两种花的情况有. 故有公共边的部分不栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种的方法数有种 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的除法运算法则求解即可； （2）根据导数的几何意义求切点坐标和斜率，即可得切线方程. 【小问1详解】 由题意可得：， 所以这个函数的导数为. 【小问2详解】 由（1）可得：， 即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. 16. 2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） （1）女生互不相邻的坐法有多少种？ （2）若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ （3）若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【答案】（1）480 （2）504 （3）144 【解析】 【分析】（1）插空法求解不相邻问题； （2）直接法及间接法计算特殊位置问题； （3）直接法及间接法计算相邻问题. 【小问1详解】 不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种： 【小问2详解】 方法一：“间接法”，不同排列方式共有种 方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法． 【小问3详解】 方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法， 当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能， 所以不同排列方式共有种． 方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在内的最大值为2，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，分、、、四种情况讨论； （2）结合第1问的单调性求出最值即可； （3）利用参变分离求最值即可. 【小问1详解】 求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在内单调递增， 则，解得与矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 令则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 【小问3详解】 由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 18. 把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车上售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况． （1）有多少种不同的分组方法（不考虑分配到汽车上去）？ （2）有几种不同的分配方法？ （3）每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？ （4）如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？ 【答案】（1）105 （2）2520 （3）576 （4）216 【解析】 【分析】（1）先将8人平均分为4组，再除以分组间的顺序影响即可； （2）按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可； （3）按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有种不同方法；再分配女售票员，也有种方法，相乘可得答案； （4）第一步将男售票员平均分组，将女售票员平均分组，各有种不同分法，所以共有种分组方法，第二步分配到车，每一种分法都有种上车方法，相乘可得答案. 【小问1详解】 所求分组方法有种. 【小问2详解】 男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成， 先安排2人上第一辆车，共有种， 再安排第二辆车共有种， 再安排第三辆车共有种， 最后安排第四辆车共有种， 这样不同的分配方法有（种）． 【小问3详解】 要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有种不同方法； 再把女售票员安排上车，也有种方法. 由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为（种）． 【小问4详解】 男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有种不同分法， 4位女售票员平均分成两组，也有种不同分法， 这样分组方法就有（种）. 对于其中每一种分法又有种上车方法，因而不同的分配方法有216（种）． 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的极值. （2）由分离，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【小问1详解】 时，， 令解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由分离得， 令， 令， 所以在上单调递减，， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减，， 当时，，由此画出的大致图象如下图所示， 要使曲线与曲线有唯一的交点， 则的取值范围是. 【点睛】方法点睛：求解函数极值的步骤： （1）确定的定义域； （2）计算导数； （3）求出的根； （4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间，进而求得的极值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $