精品解析：贵州松桃民族中学2025-2026学年第二学期期中素养训练高一数学

贵州松桃民族中学2025-2026学年第二学期期中素养训练高一数学 考试范围：必修二第6章~第8章第3节；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积． 棱台下底面积，上底面积， ∴ ． 故选：C． 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 5. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解. 【详解】令，由，得， 点在以为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限， 故选：D 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 7. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 8. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D. 【详解】由于， 则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误； 由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确， 故选：ACD. 10. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ） A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C. 一个梯形的直观图仍然是梯形 D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例， 如图①， 在中，，其面积， 在其直观图（图②）中， 作，则直观图的面积 ， 因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的， 故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确； 对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误. 故选：ABC. 11. 在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解. 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由， 解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，， ，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积. 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 13. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 14. 是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 已知正四棱锥的底面为边长为4cm的正方形，高与斜高的夹角为，如图所示． （1）求正四棱锥的侧面积（单位：）； （2）求正四棱锥的体积（单位：）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得正四棱锥的高PO及斜高PE，再结合棱锥的侧面积求法求解即可； （2）由（1）结合棱锥的体积的求法求解即可. 【小问1详解】 正三棱锥的高PO、斜高PE和底面边心距OE组成． 因为，，所以斜高． 因此． 【小问2详解】 由（1）知高， 所以． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 18. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 19. 已知，． （1）若，求的坐标： （2）若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模． 【答案】（1）或 （2）5 【解析】 【分析】（1）设，根据向量平行的坐标关系列方程求解即可得的坐标： （2）根据平面向量数量积的定义求，利用数量积的几何意义确定投影向量的模公式，即可得结论. 【小问1详解】 设，则解得或 ∴)或， 【小问2详解】 ∵，，与的夹角为120°，．， ∴在向量上的投影向量的模为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州松桃民族中学2025-2026学年第二学期期中素养训练高一数学 考试范围：必修二第6章~第8章第3节；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. 的实部为3 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 10. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ） A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C. 一个梯形的直观图仍然是梯形 D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 11. 在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 13. 已知平面向量若，则___________ 14. 是虚数单位，复数______． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 已知正四棱锥的底面为边长为4cm的正方形，高与斜高的夹角为，如图所示． （1）求正四棱锥的侧面积（单位：）； （2）求正四棱锥的体积（单位：）． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 18. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 19. 已知，． （1）若，求的坐标： （2）若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $