专题07多边形复习讲义(知识梳理+10大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题07多边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记多边形、正多边形、内角、外角、对角线核心概念 2.掌握多边形内角和、外角和计算公式 3.分清凸多边形与凹多边形区别，夯实基础知识点 1.理解公式推导过程，不死记硬背 2.能快速辨别多边形相关基础题型考点 3.理清多边形对角线、边数、角度之间的关联规律 1.熟练运用内角和、外角和公式求值、求边数 2.会计算多边形对角线条数，解决计数问题 3.灵活结合多边形性质，解答综合简答、实际应用题 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后边数问题 题型03.多边形的周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多少算一个角问题 题型09.多边形截角后内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.多边形外角和的实际应用 题型12.正多边形概念辨析 题型13.正多边形内角问题 题型14.正多边形外角问题 题型15.多边形内角和与外角和综合 题型16.四边形的不稳定性 解答题8题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 知识点02:多边形分类 1.凸多边形:所有内角都小于 180°，任意一边延长，多边形整体都在这条直线同侧，课本重点、考试主考。 2.凹多边形:有一个或多个内角大于 180°，仅作概念了解，不做计算考查。 知识点03:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 知识点04:核心公式｜必考3个，记准“不变量” 公式名称 核心公式 关键提醒（避坑） 简单推导/口诀 内角和公式 n边形：(n-2)×180°（n≥3） 易错：漏减2，错算成n×180° 口诀：n减2，乘180，分三角形来推导 外角和公式 任意n边形：360° 重点：与边数n无关！ 口诀：外角和，永不变，不管几边都是360 对角线条数公式 n边形： 易错：忘记除以2（避免重复计算） 每个顶点连(n-3)条，n个顶点再减半 知识点05:易错避雷｜5个高频坑，一眼避开 ❌ 坑1：认为“边相等的多边形就是正多边形”（忽略“角相等”的条件）； ❌ 坑2：计算外角和时，用内角和公式（外角和与边数无关，固定360°）； ❌ 坑3：把“相邻顶点的连线”当作对角线（对角线必须不相邻）； ❌ 坑4：推导内角和时，错把n边形分成n个三角形（实际是n-2个）； ❌ 坑5：忽略“凸多边形”前提，乱用公式（凹多边形不适用所有公式） 题型01.多边形的概念与分类 【典例】如图，五边形中，是它的一条对角线．小颎观察图形得出结论“”，她依据的基本事实是__________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依据的基本事实是：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 【跟踪专练2】如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（   ） . A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题主要考查了正多边形与垂直平分线的性质，解答此题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、、、的垂直平分线与直线的交点， 如图所示：共五个． 故选：C． 题型02.多边形截角后边数问题 【典例】一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 【跟踪专练1】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 题型03.多边形的周长 【典例】如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 【跟踪专练1】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 【跟踪专练2】如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 题型04.网格中多边形面积比较 【典例】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 【跟踪专练1】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 【跟踪专练2】边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 题型05.多边形对角线条数问题 【典例】如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【答案】6 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线， ∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为． 【跟踪专练1】若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形对角线的公式． 从n边形的一个顶点出发的对角线条数为，据此求解即可． 【详解】解：∵ 从n边形的一个顶点出发可画出条对角线， ∴， ∴， ∴ 这个多边形是十一边形， 故选：B． 【跟踪专练2】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有______条对角线． 【答案】35 【分析】本题主要考查了正多边形内角与外角的性质，以及多边形对角线求法，首先根据其内角和求得其边数，然后利用对角线条数的求法求得对角线的条数即可． 【详解】解：∵其内角和为， 解得： ∴这个多边形所有对角线的条数是：． 故答案为：35． 题型06.对角线分成三角形个数问题 【典例】过一个多边形的一个顶点出发有4条对角线，这些对角线将这个多边形分成______个三角形． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形与对角线，多边形对角线分三角形数量的关系，理解并掌握多边形与对角线的关系是解题的关键． 变形从一个点的出发可以引出条对角线，可以得到的个三角形，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴该多边形是七边形， ∴， 即这些对角线将这个多边形分5个三角形， 故答案为：5 ． 【跟踪专练1】从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查多边形对角线分多边形得到三角形的个数规律，从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解. 【详解】解：设这个多边形的边数为. 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 .解得 . 【跟踪专练2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多边形的剖分．多边形的三角剖分是将边形用不相交的对角线划分为若干个三角形，每个三角形由多边形的边和对角线组成，根据多边形性质，剖分后三角形个数为． 【详解】解：对于一个边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数是个，这是多边形三角剖分的基本性质， 故答案为：． 题型07.多边形内角和问题 【典例】若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】利用边形内角和公式列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程得， 解得， ∴这个多边形的边数是． 【跟踪专练1】如图（1），___________；如图（2），____________． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2） 解得： 【跟踪专练2】如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，掌握三角形和四边形的内角和是正确解答的关键． 先根据三角形内角和为求出，再根据四边形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵在四边形中，， ． 故选：B． 题型08.多少算一个角问题 【典例】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 【跟踪专练1】小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为__________． 【答案】/100度 【分析】设这个多边形的边数是n，根据漏掉的那个内角的范围介于可得关于n的不等式组，求出n的范围结合n为正整数即得答案． 【详解】解析：设这个多边形的边数是n， 依题意，得， 解得． 又n为正整数， ∴． ∴这个内角的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、求出n的范围是关键． 【跟踪专练2】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 题型09.多边形截角后内角和问题 【典例】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【答案】180 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 【跟踪专练1】.将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 【跟踪专练2】如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角，分类讨论的思想，如图，一条直线将该五边形分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断． 【详解】解：图①中，； 图②中，； 图③中，； 图④中，； 图⑤中，． 由上述分析可知，的最大值为． 故答案为：． 题型10.复杂图形的内角和 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 题型11.多边形外角和的实际应用 【典例】如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 【答案】/270度 【分析】根据，可先求出与的外角的度数，再用五边形的外角和减去前面求出的那个外角的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴的邻补角， ∴． 【跟踪专练1】如图，五边形的一个内角，则__________． . 【答案】290° 【分析】本题考查了邻补角的性质与多边形的外角和，掌握利用邻补角将内角转化为相关角，结合周角计算角度和是解题的关键． 延长得到的邻补角，利用邻补角的性质求出该邻补角的度数；再结合多边形的外角和为，由此可得到的和． 【详解】解：如图，延长，令为． ，， ． ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的外角和，根据三角形内角和定理得，由平行线的性质得，根据多边形的外角和是即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 题型12.正多边形概念辨析 【典例】已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 【跟踪专练2】如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 题型13.正多边形内角问题 【典例】一个多边形每个外角都是，这个多边形的内角和为（    ） A．180° B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用多边形外角和为求出多边形的边数，再根据边形内角和公式计算内角和，即可选出正确选项． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，这个多边形每个外角都是， ∴这个多边形的边数， 又∵边形的内角和为， ∴这个多边形的内角和为．. 【跟踪专练1】用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是正_______边形． 【答案】六 【分析】先求出正五边形每个内角的度数，再求得围成的正多边形在每个顶点处内角的度数，设中间形成的多边形的边数为，由正多边形的内角和公式列出方程即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每个内角的度数为， ∴围成图形的顶点处的内角的角度为， 设拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为， ∴， 解得， ∴中间形成的多边形是正六边形． 【跟踪专练2】如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 题型14.正多边形外角问题 【典例】若一个多边形的每个内角都为，则它的边数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，一个多边形的每个内角都为，则一个多边形的每个外角都为，故边数为，解答即可． 本题考查了邻补角，多边形的外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一个多边形的每个内角都为，则一个多边形的每个外角都为， 故边数为． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，是正边形纸片的一部分，其中，是正边形两条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为，则的值是_____ 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的内角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解． 【详解】解：如图，设，所在的直线相交于点， ，所在的直线相交形成的锐角为， ， 正多边形的每个内角相等， 正多边形的每个外角也相等， ， ． 故答案为：6． 【跟踪专练2】如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，利用轴对称的性质可得，从而得出当共线时，的最小值为，然后利用直角三角形斜边中线的性质求出，证明，为等边三角形，即可求解． 【详解】解：取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，   ， ∵正六边形关于直线对称， ∴，也关于直线对称， ∴， ∵，O为中点， ∴， ∴， 当共线时，， ∴的最小值为， ∵正六边形的边长为2， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，O为中点，Q为中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，   ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，添加合适的辅助线，证明，为等边三角形是解题的关键． 题型15.多边形内角和与外角和综合 【典例】一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 【答案】C 【分析】设边数为，利用多边形外角和为定值，以及边形内角和公式，列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为． ． 解得 ． ∴这个多边形是十边形． 【跟踪专练1】已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【答案】 【分析】设这个正多边形的一个外角为，根据内角与相邻外角互补列出方程，求出外角的度数，结合多边形外角和为求出边数，再利用多边形内角和公式计算内角和即可 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为. ， 解得， 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为 ， ∴这个多边形的内角和为． 【跟踪专练2】一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 题型16.四边形的不稳定性 【典例】如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________． 【答案】四边形的不稳定性 【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案． 【详解】解：学校门口的电子伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是利用了四边形的不稳定性． 【跟踪专练1】下列图形中具有稳定性的是_______．（填序号） 【答案】①④⑥ 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【详解】解：图形中具有稳定性的是①④⑥． 故答案为：①④⑥． 【跟踪专练2】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 【解答题】 1．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 2．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是作出对称点的位置． （1）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后再顺次连接即可； （2）根据梯形面积公式求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 3．解答下列问题． (1)一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数． 【答案】(1)6 (2)边数为，对角线条数为 【分析】（1）根据题意先确定多边形每个外角的度数，然后求解即可； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为，任意多边形外角和为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正边形每个内角为， ∴每个外角的度数为 ， ∵任意多边形的外角和为， ∴边数 ； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为，任意多边形外角和为， 根据题意列方程得 ， 解得 ， ∴边形对角线条数公式为，将代入得 ， ∴因此这个多边形边数为，对角线条数为． 4．如图，小明从点出发，前进后向左转，再前进后又向左转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点时，他所走的路径刚好构成一个正多边形． (1)求小明第一次回到出发点时走过的路程； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形， ， ； （2）解：根据题意可得：． 5．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确；理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，可知任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解； （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列式用n表示出x，然后根据x的取值范围，得到n的取值范围，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除， ∵不能被整除， ∴张明的说法不正确． （2）解：设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵n为整数， ∴这个正多边形为正八边形， 如图所示， 将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7， 即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 6．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 7．如图，这是正四边形，正五边形，正六边形，分别将它们相邻对角线的夹角记为，，． (1)求，，的度数． (2)猜想正边形相邻两条对角线的夹角，并求正二十边形相邻两条对角线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形的性质多边形的内角和定理以及全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握正多边形的性质，三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及正多边形的性质进行计算即可； （2）归纳概括一般性的结论，并求当时的度数即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ； ，理由如下： 五边形是正五边形， ，， ， ， ； ，理由如下： 六边形是正六边形， ，， ， ， ； ； （2）由（1）的规律可知，正边形相邻两条对角线的夹角的度数等于正边形的一个内角的度数， 即 当时， 8．（1）已知实数满足，试化简式子． （2）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求这个多边形的边数． 【答案】（1）；（2）这个多边形的边数是10 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的化简、多边形内角和与外角和等知识点，掌握二次根式的性质、绝对值的化简、多边形内角和与外角和是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质，将转化为，结合已知条件得出的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）根据内角和是外角和的4倍列出方程，求解多边形的边数． 【详解】解：（1）， ， 解得， ． （2）设这个多边形的边数为． 由题意，得， 解得． 故这个多边形的边数是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07多边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记多边形、正多边形、内角、外角、对角线核心概念 2.掌握多边形内角和、外角和计算公式 3.分清凸多边形与凹多边形区别，夯实基础知识点 1.理解公式推导过程，不死记硬背 2.能快速辨别多边形相关基础题型考点 3.理清多边形对角线、边数、角度之间的关联规律 1.熟练运用内角和、外角和公式求值、求边数 2.会计算多边形对角线条数，解决计数问题 3.灵活结合多边形性质，解答综合简答、实际应用题 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后边数问题 题型03.多边形的周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多少算一个角问题 题型09.多边形截角后内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.多边形外角和的实际应用 题型12.正多边形概念辨析 题型13.正多边形内角问题 题型14.正多边形外角问题 题型15.多边形内角和与外角和综合 题型16.四边形的不稳定性 解答题8题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 知识点02:多边形分类 1.凸多边形:所有内角都小于 180°，任意一边延长，多边形整体都在这条直线同侧，课本重点、考试主考。 2.凹多边形:有一个或多个内角大于 180°，仅作概念了解，不做计算考查。 知识点03:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 知识点04:核心公式｜必考3个，记准“不变量” 公式名称 核心公式 关键提醒（避坑） 简单推导/口诀 内角和公式 n边形：(n-2)×180°（n≥3） 易错：漏减2，错算成n×180° 口诀：n减2，乘180，分三角形来推导 外角和公式 任意n边形：360° 重点：与边数n无关！ 口诀：外角和，永不变，不管几边都是360 对角线条数公式 n边形： 易错：忘记除以2（避免重复计算） 每个顶点连(n-3)条，n个顶点再减半 知识点05:易错避雷｜5个高频坑，一眼避开 ❌ 坑1：认为“边相等的多边形就是正多边形”（忽略“角相等”的条件）； ❌ 坑2：计算外角和时，用内角和公式（外角和与边数无关，固定360°）； ❌ 坑3：把“相邻顶点的连线”当作对角线（对角线必须不相邻）； ❌ 坑4：推导内角和时，错把n边形分成n个三角形（实际是n-2个）； ❌ 坑5：忽略“凸多边形”前提，乱用公式（凹多边形不适用所有公式） 题型01.多边形的概念与分类 【典例】如图，五边形中，是它的一条对角线．小颎观察图形得出结论“”，她依据的基本事实是__________． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【跟踪专练2】如图，五边形是正五边形，直线，点P在直线上运动，当点P至少与正五边形的两个顶点距离相等时，警报器就会发出警报，在直线上会发出警报的点的个数为（   ） . A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型02.多边形截角后边数问题 【典例】一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______． 【跟踪专练1】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 题型03.多边形的周长 【典例】如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【跟踪专练1】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【跟踪专练2】如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型04.网格中多边形面积比较 【典例】如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【跟踪专练1】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【跟踪专练2】边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 题型05.多边形对角线条数问题 【典例】如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【跟踪专练1】若从多边形的一个顶点出发可以画出8条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【跟踪专练2】已知一个多边形的内角和为，则这个多边形共有______条对角线． 题型06.对角线分成三角形个数问题 【典例】过一个多边形的一个顶点出发有4条对角线，这些对角线将这个多边形分成______个三角形． 【跟踪专练1】从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【跟踪专练2】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是_____． 题型07.多边形内角和问题 【典例】若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【跟踪专练1】如图（1），___________；如图（2），____________． 【跟踪专练2】如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 题型08.多少算一个角问题 【典例】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练1】小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得，则这个内角的度数为__________． 【跟踪专练2】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 题型09.多边形截角后内角和问题 【典例】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【跟踪专练1】.将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【跟踪专练2】如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 题型10.复杂图形的内角和 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 题型11.多边形外角和的实际应用 【典例】如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 【跟踪专练1】如图，五边形的一个内角，则__________． . 【跟踪专练2】冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 题型12.正多边形概念辨析 【典例】已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【跟踪专练2】如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 题型13.正多边形内角问题 【典例】一个多边形每个外角都是，这个多边形的内角和为（    ） A．180° B． C． D． 【跟踪专练1】用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是正_______边形． 【跟踪专练2】如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 题型14.正多边形外角问题 【典例】若一个多边形的每个内角都为，则它的边数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【跟踪专练1】如图，是正边形纸片的一部分，其中，是正边形两条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为，则的值是_____ 【跟踪专练2】如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C．3 D．2 题型15.多边形内角和与外角和综合 【典例】一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 【跟踪专练1】已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【跟踪专练2】一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 题型16.四边形的不稳定性 【典例】如图是学校门口的伸缩门，它利用的是________________． 【跟踪专练1】下列图形中具有稳定性的是_______．（填序号） 【跟踪专练2】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【解答题】 1．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 2．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 3．解答下列问题． (1)一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数． 4．如图，小明从点出发，前进后向左转，再前进后又向左转，…，如此反复下去，直到他第一次回到出发点时，他所走的路径刚好构成一个正多边形． (1)求小明第一次回到出发点时走过的路程； (2)求这个正多边形的内角和． 5．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 6．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 7．如图，这是正四边形，正五边形，正六边形，分别将它们相邻对角线的夹角记为，，． (1)求，，的度数． (2)猜想正边形相邻两条对角线的夹角，并求正二十边形相邻两条对角线的夹角的度数． 8．（1）已知实数满足，试化简式子． （2）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求这个多边形的边数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $