精品解析：新疆克拉玛依市独山子第二中学2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试卷

独山子第二中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 2026-4 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上. 2.将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用， 3.考试范围：人教A版选择性必修第四、五、六、七章. 4.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合数公式，进行化简计算即可． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】本题考查了排列组合数公式的计算，属于基础题． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】由，可得． 故选：A. 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 4. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 5. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】在等比数列中，因为，所以，即， 所以，又因为与同号，所以. 6. 函数在处有极值为7，则 A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】题意说明，，由此可求得 【详解】， ∴，解得或， 时，，当时，，当时，，是极小值点； 时，，不是极值点． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点． 7. 已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求出，根据全概率公式直接求解即可. 【详解】由题意知，， 所以 . 故选:B. 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围. 【详解】因为 ，∴ ， 由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解 即和有两个交点， ， ∴当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， 而 时， ， 时，； 大致图象如下： 若和有两个交点只需. 故选：A. 【点睛】极值点个数问题，一般转化为方程解的问题，再通过适当的变量分离转化为对应函数值域问题. 二.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ） ξ 1 2 3 P A. － B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题可知，即得. 【详解】由题可得， ∴或，经检验适合题意. 故选：BC. 10. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用赋值法及换元法分别判断A，B，C选项；等式两侧同时求导函数及赋值可判断D选项. 【详解】A.令，得，即，A正确. B.令，则原等式变形为， 由二项式定理得，， 令，得， 等式两侧同乘，得， ∴，B错误. C.令，得，故，C错误. D.对等式两侧同时求导函数得， ， 令，得，D正确. 故选：AD. 11. 口袋内装有大小、质地均相同，其中红球3个，黄、蓝球各2个.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】使用条件概率公式与独立事件概率公式求解. 【详解】由题意知，选项正确； 事件的发生可分为两种互斥情况：第一次抽到非黄球（红球或蓝球），第二次抽到黄球，或第一次与第二次都抽到黄球， 故，选项正确； 事件：第一次抽到红球并且第二次抽到黄球，故， ，选项正确； ，因为，所以与不相互独立，选项错误. 三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 曲线在点处的切线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出导函数，得切线斜率后可得切线方程． 【详解】，∴切线斜率为， 切线方程为． 故答案为：． 13. 设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产了1000件，乙、丙两厂各生产500件，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为______． 【答案】0.025 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】甲乙丙三厂生产的产品所占的比例分别为， 所以任取一件，则取到次品的概率为， 故答案为：0.025 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意有，即，令即，利用单调性得即，令，即，利用导数研究单调性求最大值即可求解. 【详解】由有， 令，即，由，当时，， 所以在上单调递增，由有， 即，令，所以， 所以，令有，由有，有， 所以单调增区间为，单调减区间为， 所以，所以，即， 故答案为：. 四.解答题（共6小题，满分77分） 15. 已知函数. （1）求单调区间及极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答. （2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 16. 某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品.设甲，乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率; （2）若新产品研发成功，预计企业可获得万元，若新产品研发成功，预计企业可获得利润万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列如下: 数学期望． 【解析】 【分析】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率. (2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望. 【小问1详解】 解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为. 【小问2详解】 由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得: ;; ;; 所以的分布列如下: 则数学期望. 考点：分布列 数学期望 概率 17. 有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： （1）5位同学站成一排，一共有多少种不同的排法? （2）5位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法? （3）5位同学站成一排，要求丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ （4）5位同学站成一排，甲乙顺序一定，有多少种不同的排法? （5）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】（1）120 （2）48 （3）72 （4）60 （5）150 【解析】 【分析】（1）5位同学站成一排，全排列即可； （2）相邻问题用捆绑法； （3）不能相邻问题用插空法； （4）顺序一定的排列问题用倍缩法求解； （5）第一步，先将5人分为三组，分两类讨论，第二步再将这三组分配给三个班，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【小问1详解】 5位同学站成一排，5人全排列，所以有种不同的排法. 【小问2详解】 因为甲、戊相邻，故先把甲、戊捆绑，然后与其余人全排列， 所以有种不同的排法. 【小问3详解】 首先将甲、乙、戊三人一起排，有种排法， 此时，共有4个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种不同的排法． 【小问4详解】 5人全排列中，甲乙的顺序有种，因为甲乙顺序一定， 所以有种不同的排法. 【小问5详解】 ①将5位同学分成3组， 若分成1、1、3的三组，有种分法， 若分成1、2、2的三组，有种分法， 则一共有种分组方法； ②将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法． 18. 已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）求得，，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． （3）由错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 ）设等差数列的公差为， 由，，可得，， 即，， 解得，， 则； 【小问2详解】 ， 则， 所以． 【小问3详解】 ， ①， ②， ①②得： ， 整理得：． 19. 已知在的展开式中，所有二项式系数之和为1024. （1）求的值以及展开式中的常数项； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）；常数项 （2）有理项为. （3）系数最大项为. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为求出,写出展开式通项,令的指数为0求出,代入通项算出常数项. （2）依据有理项要求,使的指数为整数,结合的取值范围筛选合法,再依次代入通项,求出全部有理项. （3）先区分系数正负,舍去负系数项,借助相邻系数绝对值的比值判断增减,比较所有正系数大小,进而确定系数最大的项. 【小问1详解】 由二项式系数之和为，得. 二项式展开式通项：. 令，得. 所以得常数项. 【小问2详解】 有理项满足，，得. ：. ：. ：. 所以有理项为. 【小问3详解】 通项，第项系数. 所以为偶时系数为正， 系数绝对值，所以. 令，即，解得. 所以时，，系数绝对值递增；时，，系数绝对值递减. 所以若要系数最大, 必出现在或之中. . . 故系数最大项为. 20. 已知函数. （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，求证：. 【答案】（1）； （2）时，在上单调递增；时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； （3）因为 由题意可知：的两个根为且，所以， 所以， 所以， 所以，令， 所以，时，所以在上单调递减， 所以， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）分别计算出时的导数值和函数值，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程； （2）先求解出，然后根据与的大小关系对进行分类讨论，由此分别确定出的单调性； （3）根据已知条件结合韦达定理先分析得到的结果，然后将表示为关于的函数，构造新函数并借助导数分析其单调性和最值，由此完成证明. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 所以切线方程为：，即； （2），记， 当时，，，所以在上单调递增； 当时，，令，所以且， 时，，单调递增， 时，单调递减， 时，，单调递增， 综上可知：时，在上单调递增；时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增； （3）略 【点睛】思路点睛：导数中双极值点问题的一般求解思路： （1）先求出导函数； （2）根据求解出极值点满足的关系式（若导函数为二次函数类型，可根据韦达定理进行计算）； （3）利用的关系通过化简、计算将问题转化为单变量问题，通过构造新函数完成问题的求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第二中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 2026-4 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上. 2.将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用， 3.考试范围：人教A版选择性必修第四、五、六、七章. 4.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一.选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 的值为（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 15 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 5. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 6. 函数在处有极值为7，则 A. -3或3 B. 3或-9 C. 3 D. -3 7. 已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ） ξ 1 2 3 P A. － B. C. D. 10. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 口袋内装有大小、质地均相同，其中红球3个，黄、蓝球各2个.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 与相互独立 三.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 曲线在点处的切线的方程为__________. 13. 设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产了1000件，乙、丙两厂各生产500件，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为______． 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为__________. 四.解答题（共6小题，满分77分） 15. 已知函数. （1）求单调区间及极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 16. 某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品.设甲，乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率; （2）若新产品研发成功，预计企业可获得万元，若新产品研发成功，预计企业可获得利润万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17. 有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： （1）5位同学站成一排，一共有多少种不同的排法? （2）5位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法? （3）5位同学站成一排，要求丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ （4）5位同学站成一排，甲乙顺序一定，有多少种不同的排法? （5）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 18. 已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和. 19. 已知在的展开式中，所有二项式系数之和为1024. （1）求的值以及展开式中的常数项； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 20. 已知函数. （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $