精品解析：新疆克拉玛依市独山子区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（尖子班）

独山子第二中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷（尖子班） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上． 2、将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用． 3、考试范围：人教A版选择性必修第一册（除抛物线部分）． 4、本试卷满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，，，，则棱的长度是（ ） A. B. C. D. 5 7. 若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若，则为椭圆 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线在坐标轴上的截距之和为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（ ） A. B. C. 顶点到渐近线的距离为 D. 的外接圆的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 13. 已知直线直线，当___________时，；当___________时，． 14. 已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为_____ . 四、解答题（本题共6题，共77分） 15. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知的三个顶点， （1）求直线边上的中线所在直线方程； （2）求外接圆圆的方程； （3）直线与圆相交于两点，求． 17. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，是的中点． （1）求二面角的余弦值； （2）求点到面的距离； （3）若点为线段上一点，且平面，求的值． 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第二中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷（尖子班） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上． 2、将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用． 3、考试范围：人教A版选择性必修第一册（除抛物线部分）． 4、本试卷满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线性质可得、，即可得解. 【详解】由，则，解得，，故. 故选：B. 3. 在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 4. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 5. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意，设直线的方程为，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 则圆心与直线的距离应小于等于半径， 即，解得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，属于常考题型. 6. 在平行六面体中，，，，则棱的长度是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，分别求出的模长和两两之间的数量积，将用表示，并利用向量数量积的运算律求其模长即可. 【详解】 如图，不妨取，则，，， ，，. 因为， 则 ，故. 故选：A. 7. 若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两圆内切得到，它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直，即可求解. 【详解】由题意知圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为， 两圆内切，则它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直， 又两圆圆心所在直线的斜率为， 所以它们的公切线的斜率为． 故选：A 8. 已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，从而点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，即可求解. 【详解】如图，易知，所以， 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆， 而焦点在上，长轴长为，焦距为的椭圆的标准方程为， 又点的轨迹的中心为，所以的轨迹方程为， 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若方程所表示的曲线为，则（ ） A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则 C. 若，则为椭圆 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，即时，曲线，表示圆，故A正确； 对于B，若为椭圆，且焦点在轴上， 则，解得，故B正确； 对于C，由A知，当时，曲线为圆，故C错误； 对于D，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 其焦距为，故D错误. 故选：AB. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线在坐标轴上的截距之和为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义，可判断A错误；求得直线在坐标轴上的截距，可判定B正确，根据两平行直线间的距离公式，可判定C正确，根据直线倾斜角的定义，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为， 因为与不共线，所以不是直线的一个方向向量，所以A错误； 对于B，当时，；当时，， 可得直线在坐标轴上的截距之和为，所以B正确； 对于C，由直线可化为， 两平行直线间的距离为，所以C正确； 对于D，直线的斜率为， 因为，所以， 故直线倾斜角的取值范围是，所以D错误. 故选：BC. 11. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（ ） A. B. C. 顶点到渐近线的距离为 D. 的外接圆的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的几何性质，结合图形进行计算即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为，则， 由题意知，A正确. ，B正确. 对于C，双曲线的渐近线方程为， 所以顶点到渐近线距离，C错误. 对于D，因为，所以，所以为直角三角形，且， 所以的外接圆半径为，故外接球面积，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 13. 已知直线直线，当___________时，；当___________时，． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线垂直、平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】； ，解得或； 当时，直线与的方程均为，两直线重合. 所以 故答案为：； 14. 已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为_____ . 【答案】2 【解析】 【分析】利用已知条件，求出A到渐近线的距离，然后推出，最后求双曲线的离心率. 【详解】由题意，则为正三角形， 则A到渐近线距离为，，渐近线为， 所以，故，可得，故. 故答案为：2 四、解答题（本题共6题，共77分） 15. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 16. 已知的三个顶点， （1）求直线边上的中线所在直线方程； （2）求外接圆圆的方程； （3）直线与圆相交于两点，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出中点为即可进一步求解中线方程； （2）先求的中垂线方程，然后得外接圆圆心坐标，最后求得外接圆半径即可得解； （3）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为，设中点为，则点的坐标为， 所以直线边上的中线所在直线方程，即； 【小问2详解】 因为，所以， 因为中点为，所以的中垂线为， 因为，设中点为，则点的坐标为， ，所以的中垂线为，即， 联立与得，外接圆圆心的坐标为， 外接圆半径， 故所求为； 【小问3详解】 设点到直线的距离为，则， 所以. 17. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程． 【答案】（1） （2）1；或 【解析】 【分析】（1）先求出，根据椭圆的定义求得，最后根据平方关系求得； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【小问1详解】 因为椭圆与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点是，即， 即， 因为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意过点的直线与曲线交于两点， 显然直线斜率是存在的，否则三点共线，此时不是三角形， 所以设直线的方程为， 联立与，所以， 即，或， 设， 有. 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积. 设， 则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为1， 此时直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，是的中点． （1）求二面角的余弦值； （2）求点到面的距离； （3）若点为线段上一点，且平面，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）取中点，由面面垂直和正方形证明得到三条两两垂直直线，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标及向量，然后由向量的数量积求出平面的法向量，再由向量的数量积求出二面角的余弦值； （2）由（1）得到平面法向量，由向量在法向量上的投影长即可求得点到面的距离； （3）设，然后得到，设平面法向量，列出方程组，再由线面平行得到方程，联立解得，即可求出的值. 【小问1详解】 取中点，连接， ∵，∴， 又∵平面平面，且平面平面， ∴平面，平面，平面， ∴，， 在正方形中，， ∴以分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，，， ∵平面，∴是平面的一个法向量， 设向量为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 设二面角为，， 则， 【小问2详解】 由（1）可知，向量为平面的一个法向量， 且， 则点到面的距离等于向量在的投影长， 故， 【小问3详解】 设， 则，， 设向量为平面的一个法向量， 则， 又∵平面，则， ∴令，则， 则，即， ∴. 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【小问1详解】 因为，， 所以，故的标准方程为· 【小问2详解】 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. 【小问3详解】 略 20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出得解； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解的值；②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 由椭圆的一个顶点为，可得，又离心率为，则， 所以由，即椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点，且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得， 设两交点，中点，则有，且， 所以， 即，整理得， 又因为，所以，当且仅当，即， 所以，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $