上海市民立中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性调研数学试题

**基本信息** 2025级高一数学12月调研卷聚焦函数与不等式核心内容，通过防沉迷系统情境题（解答题14）及函数性质证明（15题），融合抽象能力、推理意识与模型意识，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|8/32|函数定义域（1）、幂函数（2）、不等式恒成立（5）、单调性（7）|第8题结合偶函数性质解不等式，考查逻辑推理| |选择题|3/12|指对函数比较（9）、奇偶性与单调性（10）、取整函数新定义（11）|第11题以新定义“取整函数”考查创新思维| |解答题|4/56|不等式解法（12）、函数单调性与奇偶性（13）、分段函数建模（14）、恒成立问题（15）|14题构建防沉迷系统经验值模型，体现数学语言表达现实世界；15题证明函数奇偶性与单调性，强化数学思维严谨性|

· 2025级高一数学12月阶段性调研20251215 · 班级：_________ 姓名：_________ 学号：________ 一、填空题（每题4分，满分32分） 1．函数的定义域为 . 2．已知幂函数的图像经过点，则 ． 3．若集合，则 . 4．若，则 . 5．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 6．函数在区间上值域为 ． 7．函数的单调增区间为 . 8．已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 二、选择题（每题4分，满分12分） 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 11．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（     ） A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题 三、解答题（12分+14分+14分+16分，满分56分） 12．（12分）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 13．（14分）已知为常数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若函数为单调函数，求实数的取值范围. 14．（14分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)写出与的函数关系式，并求出当，时的值； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 15．（16分）已知函数． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：函数在上是严格增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025级高一数学12月阶段性调研 参考答案 1．【详解】依题意，，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 2． 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即， 所以. 故答案为： 3． 【详解】由可得，解得， 故， 故答案为： 4．8 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 5．【详解】因为对一切实数都成立，所以， 即。 故答案为： 6． 【详解】因为函数在上是减函数，所以，故值域为. 故答案为：. 7．【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故答案为：. 8． 【详解】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 9．B 【详解】根据题意，，则， 当时，，A错误； 由，所以，B正确； 当时，，C错误； 当时，不存在，D错误. 故选：B 10．B【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误； 对于B选项，函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确； 对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误； 对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误. 故选：B 11．B 【详解】对于①，当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，无解， 因此，①是假命题； 对于②，令，则，， 当时，，， 则，； 当时，，， 则，， 因此对任意，，②是真命题， 故选：B 12．(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）由可得， 即，解得或， 即原不等式的解集为或； （2）当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 13．(1)； (2)或. 【详解】（1）函数的定义域为R，由是偶函数，得， 则，即，整理得，而不恒为0， 所以. （2）， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调，则或，因此或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调，则或，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 显然，函数在上单调递增，因此， 所以实数的取值范围是或. 14. (1)，59 (2) . (3) 【详解】（1）由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则， 所以当时，； （2）由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数． （2）当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，，， 所以， 即，所以函数在上是严格增函数． （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是严格增函数， 所以函数在上也是严格增函数，所以函数在上是严格增函数. 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 答案第4页，共5页 答案第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $