精品解析：江苏扬州市2025-2026学年度第二学期期中调研八年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中调研 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天会下雨 2. 下列调查中，适用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况 C. 了解某班学生的视力情况 D. 调查市民想去中华麋鹿园旅游的情况 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B. 连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C. 一个事件发生的概率可能为200% D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 4. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）． A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是正方形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是矩形 7. 如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 8. 矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. 3.6 D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 为了解某校1000名学生的学习质量，从20个班中每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为________． 10. 因式分解：___________． 11. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 12. 某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右5个小长方形的高的比为，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分别大于或等于80分为优秀，且分数为整数）________篇． 13. 已知多项式是完全平方式，是常数，则的值为______． 14. 一个不透明的袋中装有若干个白球和9个红球，这些球除颜色外都相同．通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则袋中球的总数约为______． 15. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是___________，使四边形是平行四边形． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 17. 如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，，则的长为______． 18. 如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1） （2） 20. 某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． （1）本次共调查了　　　　名学生，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m的值是　　　　，D对应的扇形圆心角的度数是　　　　； （3）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数； 21. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 22. 如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 23. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 24. 求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． （2）若，求，的值 25. 如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点E作于，若，，求的长． 26. 如图，在梯形中，，延长到点E，使，． （1）试说明梯形是等腰梯形． （2）连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 27. 如图，在四边形中，，，，动点、分别从A、同时出发，点以的速度由A向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． （1）______，______，______，（分别用含有的式子表示）； （2）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． （3）当为何值时，四边形为平行四边形？ （4）当为何值时，四边形为平行四边形？ 28. 问题发现 （1）基本模型—十字架模型 如图1所示，在正方形内，点E在边上，点F在边上，、交于点H，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． （2）模型运用 如图2，在正方形中，，点E在边上（不与C、D重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点F． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点G，连接，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中调研 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天会下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、明天会下雨，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 2. 下列调查中，适用抽样调查的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B. 检查“神舟二十一号”载人飞船仪器设备的情况 C. 了解某班学生的视力情况 D. 调查市民想去中华麋鹿园旅游的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断全面调查与抽样调查， 需区分全面调查与抽样调查的适用场景，全面调查适用于范围小、要求精准或事关重大的调查，抽样调查适用于范围广、难以全面调查的情况．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项企业招聘需对每位应聘人员面试，属于全面调查； B选项飞船仪器设备检查事关安全，需全面排查，属于全面调查； C选项班级学生人数少，可全面统计视力，属于全面调查； D选项市民群体范围广，难以全面调查，适合抽样调查； 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B. 连续抛一枚硬币100次，出现反面朝上的次数一定是50次 C. 一个事件发生的概率可能为200% D. 某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的基本概念，包括概率的含义、随机事件的独立性以及概率的取值范围．根据概率的意义进行解答即可． 【详解】解：∵ 概率表示事件发生的可能性，降水概率即指明天下雨的可能性是， ∴ A正确； ∵ 硬币抛掷是随机事件，出现反面的概率为，但实际次数不一定为50次， ∴ B错误； ∵ 概率的取值范围是到，不可能为， ∴ C错误； ∵ 彩票中奖是独立事件，中奖概率并不保证买100张一定中奖， ∴ D错误． 故选：A． 4. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形从左到右进行．根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A：右边为，是和的形式，不是积的形式，故不是因式分解； B：右边为，是积的形式，故是因式分解； C：左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，故不是因式分解； D：右边为，是和的形式，不是积的形式，故不是因式分解， 故选：B． 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，结合已知角度关系即可求解 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵ ∴ 即 解得 ∴ 6. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）． A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是正方形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，掌握好特殊平行四边形的判定定理是解题关键． 根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：对于A，对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不满足题意； 对于B，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，满足题意； 对于C，邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确，不满足题意； 对于D，一个角为直角的平行四边形是矩形，故D正确，不满足题意． 故选：B． 7. 如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. 3.6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得到，设， 则，，，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 为了解某校1000名学生的学习质量，从20个班中每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 样本容量是指样本中个体的数量，根据抽样方式计算得出． 【详解】解：此次抽样调查从20个班中每班随机抽取5名学生， 因此样本容量为． 故答案为：100． 10. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据各组频数之和等于数据总数求出第5组的频数，再利用频率频数数据总数计算第5组的频率． 【详解】解：第5组的频数为： ， 第5组的频率为：． 12. 某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频数分布直方图．已知从左到右5个小长方形的高的比为，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分别大于或等于80分为优秀，且分数为整数）________篇． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，正确读懂统计图是解题的关键．直接用调查报告总数乘以被评为优秀的论文的数量占比即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：（篇）， 故答案为：27． 13. 已知多项式是完全平方式，是常数，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据所给多项式可确定两平方项为和，结合完全平方式的两种形式可得一次项为，即可求出的值 【详解】解：多项式是完全平方式， ， 即， ． 14. 一个不透明的袋中装有若干个白球和9个红球，这些球除颜色外都相同．通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则袋中球的总数约为______． 【答案】 【解析】 【分析】由摸到红球的频率稳定在附近，可得摸到红球的概率为，设袋中球的总数为，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设袋中球的总数为，由题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， 故袋中球的总数约为． 15. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是___________，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 17. 如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，，则的长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题可先利用菱形的性质得到对角线互相垂直，再通过勾股定理求出（）的长度，接着算出的长度，最后在中用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． 18. 如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______． 【答案】10 【解析】 【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM =2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度． 【详解】 过点 P 作 PM∥FE交AD于M ， 如图， F为AP的中点， PM∥FE ，FE为△APM的中位线， ∴AM =2AE=4 ，PM =2EF ， 当EF取最小值时，即PM最短， 当PM⊥AD时，PM最短， 此时PM = AB =6 ， DM=8 ， 在Rt△PMD中，PD =10 ， 当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10． 故答案为：10· 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． （1）本次共调查了　　　　名学生，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，m的值是　　　　，D对应的扇形圆心角的度数是　　　　； （3）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数； 【答案】（1）5， 补全条形统计图如下： （2）30， （3）400 【解析】 【分析】（1）根据组的实际数据和占比求出总数，求出组数据补全条形统计图； （2）根据条形统计图数据求出组的百分比，利用乘组的占比即可求出圆心角度数； （3）根据样本频数估计总体频数即可． 【小问1详解】 解：学生总数为：（名）， B组人数为（名）， 【小问2详解】 解：， ∴； D对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：该校不合格的学生人数为（名）． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 【答案】 证明：∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED和△BEF中，， ∴△CED△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理． 22. 如图，在中，，为对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 方法一： 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 在与中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 方法二： 证明：连接，与相交于点， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】方法一：证明与全等，即可得，，由此可证明． 方法二：根据四边形是平行四边形，可得对角线互相平分，再由边的相等关系证明即可． 【详解】略 23. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； 【小问3详解】 解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 24. 求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． （2）若，求，的值 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 25. 如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点E作于，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 26. 如图，在梯形中，，延长到点E，使，． （1）试说明梯形是等腰梯形． （2）连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2） 解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如图，在四边形中，，，，动点、分别从A、同时出发，点以的速度由A向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． （1）______，______，______，（分别用含有的式子表示）； （2）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． （3）当为何值时，四边形为平行四边形？ （4）当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】（1），， （2） （3）运动时，四边形是平行四边形 （4）运动时，四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据条件求解即可； （2）设点A到的距离为，根据题意表示出四边形的面积和面积，求解即可； （3）当时，四边形是平行四边形，求解即可； （4）当时，四边形是平行四边形，求解即可． 【小问1详解】 解∵点以的速度由A向运动， ∴， ∵ ∴， ∵点以的速度由向运动，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设点A到的距离为， 四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴，即， ， ； 【小问3详解】 解：， 当时，四边形是平行四边形， ， ； 运动时，四边形是平行四边形 【小问4详解】 解：， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ∴运动时，四边形是平行四边形； 【点睛】本题考查动点问题，涉及到平行四边的性质等，灵活运用所学知识是关键． 28. 问题发现 （1）基本模型—十字架模型 如图1所示，在正方形内，点E在边上，点F在边上，、交于点H，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． （2）模型运用 如图2，在正方形中，，点E在边上（不与C、D重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点F． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1） 选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，得， 结合翻折得，从而证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $