精品解析：江苏省扬州市江都区第三中学2024—2025学年下学期八年级数学期中横测卷

江都区第三中学2024—2025学年第二学期 八年级数学学科期中检测 (试卷满分：150分 考试时间：120分钟) 一．选择题(共8小题，满分24分，每小题3分) 1. 下面四个交通图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：C项中的图形能够找到一点，把图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； A、B、D选项中的图形都找不到找到一点，把图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：C． 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 调查某批次灯泡的使用寿命 C. 订购校服，了解学生的尺寸 D. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抽样调查的定义，熟练掌握抽样调查的判定是解题的关键．根据抽样调查和全面调查的适用条件判断：普查适用于精确度高、个体数量少或必须全面检查的情况；抽样调查适用于具有破坏性、数量大或不需要全面检查的情况． 【详解】解∶A．检查一捆钞票是否有假钞，必须逐一检查，否则可能遗漏假钞，故需全面调查． B．调查灯泡使用寿命需进行破坏性测试，无法全部检测，适合抽样调查． C．订购校服需每个学生的准确尺寸，必须全面调查以确保合身． D．飞船零部件质量关乎安全，必须逐一检查，不可抽样． 故选∶B． 3. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 林深见鹿踪 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类：必然事件、随机事件及不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据不可能事件的概念进行判断即可． 【详解】解：A、黄河入海流是必然事件，故不符合题意； B、锄禾日当午是必然事件，故不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，故符合题意； D、林深见鹿踪是随机事件，故不符合题意； 故选：C． 4. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数（是常数，）的图象与性质：当时，反比例图像在一、三象限；当时，反比例函数图像在第二、四象限内；解不等式．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：B． 5. 已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ） A. 7 B. 8x C. D. y2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用约分的法则，对选项依次判断． 【详解】解：A、当时，是整式，不符合题意，故A错误； B、当时，分子分母可以约分，不符合题意，故B错误； C、当时，分子分母可以约分，不符合题意，故C错误； D、当时，分子分母不可以约分，符合题意，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了约分的方法，解题的关键是：掌握约分的相关方法，分式的分子与分母同时除以它们的公因式；分式的分子、分母都是多项式时得先因式分解，再约分． 6. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】分别将两个三角形的三个顶点与B，C，D，三角相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心． 【详解】解，连接FC，PC， 由图可知， ，且， 连接EC，RC， 由图可知， ，且， 连接GC，QC， 由图可知， ，且， 故点C为旋转中心， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的旋转，能够判断旋转中心是解决本题的关键． 7. 如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为、，则它们的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】解：∵，， ∴． 8. 如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案． 【详解】解：过A作，交的延长线于E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积， 故选A． 二、填空题(共10小题，满分30分，每小题3分) 9. 若是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 10. 一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲤鱼________尾． 【答案】360 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后即可估计事件的概率． 由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，而鲤鱼出现的频率为0.36，然后乘以总数即可得到水塘有鲤鱼有多少尾． 【详解】解：∵水塘约有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36， ∴鲤鱼出现的概率为0.36， ∴水塘有鲤鱼（尾）， 故答案为：360． 11. 一个容量为80的样本，最大值为141，最小值为50，取组距为10，则样本分成_________组． 【答案】10 【解析】 【分析】根据组距，最大值、最小值、组数以及样本容量的关系进行计算即可． 【详解】解：（141-50）÷10=9.1（分10组）， 故可以分成10组 故答案为：10． 【点睛】本题考查频数分布直方图的制作方法，理解组距、组数，极差以及样本容量之间的关系是正确解答的关键． 12. 已知A（－2，y1），B(－1，y2)在反比例函数的图像上，则y1_____y2．(用“>”、“<”、“ ＝”填空). 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象性质比较横坐标的大小即可得知纵坐标的大小． 【详解】∵反比例函数， ∴ ∴在每个区间内随的增大而减小 ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，熟悉掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 13. 如图， 在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点 F， E为垂足， 连接， 则等于 ________°． 【答案】15 【解析】 【分析】连接，根据菱形性质得出，，，，根据线段垂直平分线得出，由等边对等角可得，求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查菱形的性质的应用，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．理解和掌握菱形的性质是解题的关键． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______． 【答案】48 【解析】 【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设，则，根据“等面积法”列方程，求BC，从而求出平行四边形的面积． 【详解】设，则，根据“等面积法”得 ，解得， 平行四边形ABCD的面积． 故答案为48． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形的面积底高，可用两种方法表示． 15. 如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C． 若四边形的面积为2，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为，从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， 故答案为：． 16. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BO，根据B点坐标求出OB的长，由矩形的性质即可得到AC的长． 【详解】如图，连接BO，∵B的坐标为（2，3）， ∴OB= ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 17. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图像如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案． 【详解】解：设球内气体的气压与气体体积成反比例函数关系为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴该函数关系式为， ∵当气球内的气压时，气球将爆炸， ∴为了安全起见，应该满足， 解得． 18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________． 【答案】8 【解析】 【详解】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值 作交于，则为所求； 设,, 由，， h+5=8，即BM+MN的最小值是8. 点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键． 三．解答题(共10小题，满分96分) 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加减运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将异分母分式化为同分母分式，再相加约分即可； （2）先将括号的式子通分，再将除法变为乘法，再约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入， ∴是原方程的增根，应舍去， ∴原方程无解． 21. 先化简：，再从－2、0、1中选一个合适的值代入求值． 【答案】；当时，值为 【解析】 【分析】先根据分式的四则混合运算法则化简，然后将能使分式有意义的a的值代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴、， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，选出合适的a的值是解答本题的关键． 22. 为增强学生环保意识．实施垃圾分类管理．某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题．知识竞赛成绩频数分布表： 组别 成绩（分数） 人数 A 300 B a C 150 D 200 E b （1） ， ． （2）请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数． （3）已知该中学有3500名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于80分的人数． 【答案】（1）300，50 （2） （3）估计该中学学生知识竞赛成绩低于80分的有175人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图，掌握统计图表中的数量关系是正确解答的前提． （1）先根据D组人数及其所占百分比求出抽取的学生总数，用抽取的学生总数乘以B组圆心角度数占周角比例可得a的值，根据各组人数之和等于总人数可得b的值； （2）用乘以C组人数所占比例即可； （3）用总人数乘以样本中E组人数占总人数的比例即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生总数为人， 则， 故答案为：300，50； 【小问2详解】 扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 人， 答：估计该中学学生知识竞赛成绩低于80分的有175人． 23. 仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹 （1）在图1中，矩形中，点E在上，，画出的平分线； （2）在图2中，矩形中，点E在上，，画出的平分线EF； （3）在图3中，过点G作直线将平行四边形的面积平分． 【答案】（1） 如图：连接，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 如图：直线即为所求． 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由得到，由得，则，即可确定平分； （2）如图：连接相交于O点，连接，利用矩形性质得到，则，根据等腰三角形的性质可判断平分； （3）如图：连接相交于O点，过O、G作直线交与H，直线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了、平行四边形的性质、矩形的性质等知识点，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键． 24. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ． ，， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，求解线段长，解题的关键根据题意找到长度相等的线段． （1）欲证明四边形为矩形，先根据中位线的性质得到，再根据“垂直同一条直线的两直线平行”得到，从而证明为平行四边形，最后根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”即可证得； （2）先根据“直角三角形斜边上中线的性质”求得，然后在利用勾股定理得到的长度，最后结合求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，点是的中点，， 在中，， 由（1）知，四边形为矩形，则． 在中，由勾股定理得：． ， ． 25. 2025年2月7日第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行，此次亚冬会的吉祥物是以东北虎为原型的卡通形象“滨滨”和“妮妮”，某商店出售亚冬会吉祥物的挂件，已知每个“滨滨”挂件的进价比每个“妮妮”挂件的进价多10元．用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同． （1）求每个“滨滨”挂件和每个“妮妮”挂件的进价各是多少元； （2）若商店老板准备购买“滨滨”和“妮妮”两种挂件共100个，且总费用不超过2700元，则最多购买“滨滨”挂件多少个？ 【答案】（1）每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元； （2）最多购买“滨滨”挂件个． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用． （1）设每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元，根据“用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同”，进行方程，解出，注意验根，即可作答； （2）设购买个“滨滨”，则购买个“妮妮”，根据“总费用不超过2700元”，进行列不等式，解出，即可作答． 【小问1详解】 解：设每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个“滨滨”挂件进价元，则每个“妮妮”挂件的进价元； 【小问2详解】 解：设购买个“滨滨”，则购买个“妮妮”， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为， 答：最多购买“滨滨”挂件个． 26. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 （1）求这两个函数的表达式 （2）请结合图像直接写出不等式的解集 （3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标 【答案】（1）反比例函数：y=；一次函数：y=-x+5；（2）0＜x≤1或x≥4；（3）（1，0）或（9，0）． 【解析】 【分析】（1）将点A（1，4）代入y=可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式； （2）根据图象得出不等式kx+b≤的解集即可； （3）利用面积的和差关系可求解． 【详解】解：（1）把A（1，4）代入y=，得：m=4， ∴反比例函数的解析式为y=， 把B（4，n）代入y=， 得：n=1， ∴B（4，1）， 把A（1，4）、（4，1）代入y=kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象得：当或时，； ∴不等式的解集为或； （3）如图，设直线与轴交于点， ∵直线与轴交于点， ∴点坐标为， 的面积为6， ∴ ， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键 27. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】（1）A与B是互为“和整分式”，“和整值” （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 28. （1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点 E顺时针旋转至 ，作射线交的延长线于点 G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，， E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ． 【答案】（1）45； （2）证明：如图，过点作交延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）①，理由如下： 如图，过点作，交延长线于点， 四边形是菱形，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据矩形全等，证，得到，即可求出的度数； （2）过点作交延长线于点，根据正方形和旋转的性质，易证，进而得出，分别证明和是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①过点作，交延长线于点，根据菱形和旋转的性质，易证，得到，，，再结合等腰三角形的性质，得出，从而得出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可得出结论； ②由垂线段最短可知，当，最小，过点作延长线于点，过点作于点，证明，得到，再根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的特征，求出，即可求出的面积． 【详解】解：（1）矩形和矩形全等， ，，， ， ， ， ∴； （2）略 （3）①略 ②如图，连接， 由垂线段最短可知，当，最小， 由①可知，，，， 如图，过点作延长线于点，过点作于点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是菱形，，， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形等知识，正确作辅助线，根据模型延伸结论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江都区第三中学2024—2025学年第二学期 八年级数学学科期中检测 (试卷满分：150分 考试时间：120分钟) 一．选择题(共8小题，满分24分，每小题3分) 1. 下面四个交通图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 了解一捆百元钞票中有没有假钞 B. 调查某批次灯泡的使用寿命 C. 订购校服，了解学生的尺寸 D. 调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量 3. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 林深见鹿踪 4. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ） A. 7 B. 8x C. D. y2 6. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7. 如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为、，则它们的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 二、填空题(共10小题，满分30分，每小题3分) 9. 若是反比例函数，则的值为______． 10. 一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲤鱼________尾． 11. 一个容量为80的样本，最大值为141，最小值为50，取组距为10，则样本分成_________组． 12. 已知A（－2，y1），B(－1，y2)在反比例函数的图像上，则y1_____y2．(用“>”、“<”、“ ＝”填空). 13. 如图， 在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点 F， E为垂足， 连接， 则等于 ________°． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______． 15. 如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C． 若四边形的面积为2，则k的值为________． 16. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____． 17. 当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图像如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是________． 18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________． 三．解答题(共10小题，满分96分) 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 先化简：，再从－2、0、1中选一个合适的值代入求值． 22. 为增强学生环保意识．实施垃圾分类管理．某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题．知识竞赛成绩频数分布表： 组别 成绩（分数） 人数 A 300 B a C 150 D 200 E b （1） ， ． （2）请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数． （3）已知该中学有3500名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于80分的人数． 23. 仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹 （1）在图1中，矩形中，点E在上，，画出的平分线； （2）在图2中，矩形中，点E在上，，画出的平分线EF； （3）在图3中，过点G作直线将平行四边形的面积平分． 24. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 25. 2025年2月7日第九届亚洲冬季运动会开幕式在哈尔滨举行，此次亚冬会的吉祥物是以东北虎为原型的卡通形象“滨滨”和“妮妮”，某商店出售亚冬会吉祥物的挂件，已知每个“滨滨”挂件的进价比每个“妮妮”挂件的进价多10元．用180元购进“滨滨”挂件与用120元购进“妮妮”挂件的个数相同． （1）求每个“滨滨”挂件和每个“妮妮”挂件的进价各是多少元； （2）若商店老板准备购买“滨滨”和“妮妮”两种挂件共100个，且总费用不超过2700元，则最多购买“滨滨”挂件多少个？ 26. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 （1）求这两个函数的表达式 （2）请结合图像直接写出不等式的解集 （3）若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标 27. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； （3）已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 28. （1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点 E顺时针旋转至 ，作射线交的延长线于点 G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，， E是边上一点(不与点C、D重合)，连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $