专题04 数列4个考点（浙江专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题04 数列 4大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 考点04数列综合 等差数列 考点1 1．（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（   ） A．91 B．111 C．121 D．133 【答案】B 【分析】设，可得，结合累加法即可求得的通项公式，代入即可. 【详解】设，因为为“等差数列，且，所以 是公差为2的等差数列，且，则， 通过累加法可得：当时， ，，…，，所以累加可得 ，化简得：，当时，，符合通项公式，所以，则. 2．（2026·浙江杭州·二模）我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2. 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的（    ） A．周长构成等差数列 B．周长构成等比数列 C．面积构成等差数列 D．面积构成等比数列 【答案】A 【分析】由题意分别列出各个规格的周长与面积，根据等差数列与等比数列的定义即可求解. 【详解】由题意得 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 周长 960 800 640 480 320 面积 55296 38400 24576 13824 6144 则，故周长构成等差数列. ，故周长不构成等比数列， ，故面积不构成等差数列， ，故面积不构成等比数列. 3．（2026·浙江宁波·二模）在等差数列中，为其前项和，若，则__________. 【答案】42 【分析】根据条件，代入等差数列求和公式中，可得的值，代入公式，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为d，则， 所以，解得， 所以. 4．（2026·浙江金华·二模）（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】已知等差数列的公差为d，则，解得， ，解得，故B错误； ，故A正确； ，故，故C错误； ，故D正确． 5．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 等比数列 考点2 6．（2026·浙江温州·二模）已知正项等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令正项等比数列的公比为， 由题有，消得，解得或， 又，所以，，则. 7．（2026·浙江·二模）（多选）已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由等比数列的性质结合已知条件计算，即可判断各个选项. 【详解】由已知，，C正确； 则，B正确； 又，则，A正确； 则，D错误. 8．（2026·浙江杭州·二模）设公比为q的等比数列的前n项和为，且. (1)求q和; (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)由等比数列前n项和与通项公式的关系即可求q和 (2) 由等比数列前n项和公式直接代入即可. 【详解】（1）解:(1)设数列公比为，那么 当时,,又,所以,, 当时,两式相减得,即, 所以，, ，解得; （2）由(1)得. 9．（2026·浙江台州·二模）已知为等比数列，，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 【答案】A 【详解】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 10．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得. 【详解】（1），且 因此，是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）：，因此 令 两式相减得： 所以，. 数列求和 考点3 11．（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 12．（2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求首项，再根据等比数列的定义证明为常数； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再根据等差和等比数列的前项和公式，利用分组转化法求和. 【详解】（1）因为，，所以， 再由， 因为，所以，代入上式得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得：， 则 13．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 14．（2026·浙江台州·二模）已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】时，分数列仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出；同理求出即可． 【详解】解：时，把数列的5项依次排列， 数列只有一个1时，时，共3种，同理也有3种； 时，共2种，同理也有2种； 时，共1种； 数列仅有两个1时， 共4种； 数列仅有三个1时，共1种， 综上，； 时， 数列只有一个2时，时，共3种，同理也有3种； 时，共4种，同理也有4种； 时，一种； 数列仅有两个2时，时，共2种， 同理时也有2种； 时，共8种； 时，共1种； 数列仅有三个2时，共4种， 综上， ． 数列新定义 考点4 15．（2026·浙江嘉兴·二模）在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T，表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率． (1)求和的值； (2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用n表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）法一列出符合题意的事件，进而递推出事件总数，最后得到概率，法二利用对立事件与组合数的性质求解概率即可. （2）法一结合题意得到，再利用递推关系求和，法二对为奇数和偶数分类讨论，再逆用二项式定理求解即可. 【详解】（1）法一：将n次摸到的小球的编号依次排列， 记为，且，即； 当时，； 当时，；……，当时，， 共有种，故， 而，即，且； 当时，，有种， 当时，，有种， 以此类推可得种， 因此. 法二：由题意得的含义：摸球2次后停止，其反面为， 而的含义是前2次未能停止，即前两次小球编号依次增大，有种可能， 因此， 而的含义：摸球3次后停止，其反面包含两种可能或者， 其中，的含义是前3次未能停止，即前三次小球的编号依次增大，有种可能， 因此. （2）法一：记为“摸到k号球时，后续还需抽取奇数次游戏才停止”的概率, 则, 设摸到k号球的下一次摸到的是m号球， 若，游戏停止；若，则游戏继续， ， 记，则， 又，故， ， ， 因此，. 法二：共n个小球，则最多次必停止， 且， 若，则说明前n次小球的编号依次增加，第次编号任意， 因此，若，则类似（1）的讨论， 可得， 其中，的含义是前次未能停止， 即前次编号依次增加，共种可能，因此， ， ①若n为偶数，则 ， ②若n为奇数，则 ， 综上所述，. 16．（2026·浙江宁波·二模）数列满足：为的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系，找到的周期，根据周期性，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由递推关系得，，， ，，， ，，， ，，， 所以的周期为12，则，故A正确，B错误； 一个周期内的和为， 则，故C、D错误. 17．（2026·浙江金华·二模）某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则： 第n次发 射的信息第次发 射信息的概率 A B C A的概率 B的概率 C的概率 当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期． (1)写出，，的值（用p表示）． (2)当时，证明：． (3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据条件，利用二项分布的概率公式，即可求解； （2）根据条件，利用全概率公式得，从而可得，进而可得，再由，即可求解； （3）根据条件，由（2）可得， ，进而可得，再由极限思想，即可求解；法二，直接利用极限思想得，即可求解. 【详解】（1）因为，则，，. （2）若，则，，所以， 由题知，即， 则， 又，， ， 所以，又，所以， 所以． （3）由题知，，，则， 又因为，则恒成立， 又，则， 所以， 则，所以 则，则， 所以. 法二，，，， 所以，解得. 18．（2026·浙江嘉兴·二模）数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】结合递推公式依次计算即可. 【详解】，， . 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 4大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 考点04数列综合 等差数列 考点1 1．（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（   ） A．91 B．111 C．121 D．133 2．（2026·浙江杭州·二模）我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2. 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的（    ） A．周长构成等差数列 B．周长构成等比数列 C．面积构成等差数列 D．面积构成等比数列 3．（2026·浙江宁波·二模）在等差数列中，为其前项和，若，则__________. 4．（2026·浙江金华·二模）（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 等比数列 考点2 6．（2026·浙江温州·二模）已知正项等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江·二模）（多选）已知等比数列的公比为q，．若，，则下列说法正确的有（    ）． A． B． C． D． 8．（2026·浙江杭州·二模）设公比为q的等比数列的前n项和为，且. (1)求q和; (2)求. 9．（2026·浙江台州·二模）已知为等比数列，，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 10．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 数列求和 考点3 11．（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 12．（2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，． (1)令，求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 13．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江台州·二模）已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 数列新定义 考点4 15．（2026·浙江嘉兴·二模）在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T，表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率． (1)求和的值； (2)若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用n表示）． 16．（2026·浙江宁波·二模）数列满足：为的前项和，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026·浙江金华·二模）某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则： 第n次发 射的信息第次发 射信息的概率 A B C A的概率 B的概率 C的概率 当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期． (1)写出，，的值（用p表示）． (2)当时，证明：． (3)当时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 18．（2026·浙江嘉兴·二模）数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $