专题02平面向量与复数4个考点（浙江专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题02 平面向量与复数 4大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的基本定理及其坐标表示 考点04平面向量的数量积 复数 运算 考点1 1．（2026·浙江台州·二模）设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 【答案】B 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A，D错误； 又，则方程的根为， 即， ， 由 得，， 故，故B正确. 2．（2026·浙江杭州·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】,所以,. 3．（2026·浙江·二模）已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数三角形式的乘法法则求出，再相减结合三角函数值化简结果. 【详解】由，， ，， 所以. 4．（2026·浙江宁波·二模）（多选）设复数满足，则（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】设，利用椭圆定义可得点的轨迹为椭圆，从而可得复平面内该点轨迹方程；借助椭圆方程与距离公式计算可得A；利用纯虚数定义，结合椭圆方程计算可得B；利用复数性质，结合椭圆方程计算可得C；由题意可得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则可利用椭圆方程计算出椭圆上的点到的距离的最小值，再减去半径即可得解. 【详解】设，则， 即有， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，由，，则椭圆方程为； 对A：，故A正确； 对B：，要使得为纯虚数， 则且，则，解得， 有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，，即有， 解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心， 为半径的圆，则椭圆上的点到该圆圆心的距离为： ， 则的最小值为，故D错误. 5．（2026·浙江宁波·二模）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据复数的乘法及虚部的概念求解即可． 【详解】解：， 故复数的虚部为． 6．（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】设，利用错位相减法求得，进而求解即可. 【详解】由，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以. 7．（2026·浙江金华·二模）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的乘法法则求出积，再求出该复数对应点的坐标并判断其所在象限即可. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为 又，故点在第二象限， 所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限. 8．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 9．（2026·浙江·模拟预测）（多选）设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错误. 【详解】选项A，计算得：，， 因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误； 选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选项C，设，则， 若，则虚部，得，故，故C正确； 选项D，，故，由两边约去得，不一定有， 例如满足条件，但，故D错误. 10．（2026·浙江嘉兴·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得，则，， 所以. 平面向量的线性运算 考点2 11．（2026·浙江杭州·二模）（多选）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 【答案】BC 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 12．（2026·浙江宁波·二模）已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】在正方形中， 所以， 则. 13．（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点3 14．（2026·浙江金华·二模）（多选）第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意求得，从而得到，对于ACD，将其代入，有解即可判断正确；对于B，根据基本不等式得到，可判断. 【详解】由题意知，，，， 因为， 所以，故， 对于A，当时，则，此时，， 所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确； 对于B，因，故，即，故B错误； 对于C，当时，将代入得， 解得满足，故C正确； 对于D，当时，，代入得， 即满足，故D正确. 15．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可. 【详解】，，即， ， ，当时，取得最小值. 16．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 平面向量的数量积 考点4 17．（2026·浙江·二模）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线上，满足．若点关于直线的对称点为，则的最大值是（    ）． A． B．9 C． D．8 【答案】B 【详解】设直线的方程为，， 联立抛物线方程得，， 由韦达定理得，， 由得，， 代入，得， 将代入，得，或（舍去）， 所以直线的方程为，恒过点， 因为点关于直线的对称点为， 所以垂直平分，是中点， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆（除去原点）， 则点轨迹方程为， 所以， 所以. 18．（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设，求出坐标，由数量积的坐标运算结合余弦函数的性质即可得出答案. 【详解】 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切， 则，圆B的半径为， 因为点P是圆B上的动点，设， 则， 则， 因为， 所以，当时，取得最大值为. 19．（2026·浙江杭州·二模）已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由向量模的运算结合二次函数顶点式即可求的最小值. 【详解】由题意得， 则， 代入，得， 所以当时，取最小值. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量与复数 4大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的基本定理及其坐标表示 考点04平面向量的数量积 复数 运算 考点1 1．（2026·浙江台州·二模）设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 2．（2026·浙江杭州·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·二模）已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·浙江宁波·二模）（多选）设复数满足，则（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 5．（2026·浙江宁波·二模）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．3 6．（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 7．（2026·浙江金华·二模）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 9．（2026·浙江·模拟预测）（多选）设为复数，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．（2026·浙江嘉兴·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 平面向量的线性运算 考点2 11．（2026·浙江杭州·二模）（多选）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 12．（2026·浙江宁波·二模）已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 13．（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点3 14．（2026·浙江金华·二模）（多选）第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 16．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 平面向量的数量积 考点4 17．（2026·浙江·二模）已知为坐标原点，点，动点、在抛物线上，满足．若点关于直线的对称点为，则的最大值是（    ）． A． B．9 C． D．8 18．（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 19．（2026·浙江杭州·二模）已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $