精品解析：重庆市开州初中教共体2025—2026学年下学期八年级期中测试数学试卷

开州初中教共体2025—2026下八年级期中测试数学试卷 试题共150分，考试时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 5，6，7 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 2，3，4 4. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 7. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘录一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有钱，乙原有钱，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（ ） A. 31 B. 51 C. 53 D. 63 9. 如图，点E、F、G分别是正方形的边、、上的点，连接，，．且，，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，…下列说法：①；②若，则；③若，则不存在正整数，使得是的倍数．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 据开州区文旅平台检测，2026年春节九天假期间共接待游客总量约为185万，将185万用科学记数法表示为________． 12. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 ___________边形． 13. 比较大小：_________2（选填“>”“=”或“<”）． 14. 如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为______． 15. 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，，则的长为______． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是___________；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是___________． 三．解答题（本大题9个小题，第17、18小题8分，其他小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 已知：如图，在矩形中，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O，连接，（只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，为了证明四边形为菱形，小南同学的想法为：先证明，再利用菱形的判定，得到结论．请根据小南同学的想法完成下面填空． 证明：∵四边形是矩形， ∴_____． ∴． ∵垂直平分， ∴，． 在与中， ______ ∴（）． ∴______ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形（______）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 22. 科学课上，科技小组进行了一个关于滑轮的物理实验．获得如下信息： 素材1 将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，可通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 素材2 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上位置，滑块B在直轨道上位置，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） 问题解决 任务1 求绳子的总长度．（即的长度） 任务2 如图2所示，滑块B从位置向左移动，当绳子与地面的夹角等于时，物体C升高了多少？ 任务3 如图3所示，滑块B从位置向左移动，当物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 23. （综合与实践）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向，且景点C与景点D的距离为，现有公路，，，，已知，． （1）求公路的长度； （2）市政府准备在景点C，B之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道，的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道，的总费用． 24. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则________，________； （2）的算术平方根为________； （3）若，且、、均为正整数，求的值． 25. 在边长为2的正方形中，点，分别在，上，，连接过点作，垂足为． （1）如图1，证明：； （2）如图2，点，分别在，的延长线上，连接．求的长； （3）如图3，连接，则的最小值为________（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州初中教共体2025—2026下八年级期中测试数学试卷 试题共150分，考试时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式； B．是二次根式； C．的根指数是3，不是二次根式； D．当时，不是二次根式． 故选B． 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 5，6，7 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】验证两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，判断选项即可． 【详解】解：A选项：，不能构成直角三角形； B选项：，不能构成直角三角形； C选项：，能构成直角三角形； D选项：，不能构成直角三角形． 4. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】将原式化简为，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ， ， 即的值在3和4之间， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，正确的计算得到，估算无理数的大小是正确解答的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，A正确； 选项B：，B错误； 选项C：和不是同类项，不能合并，，C错误； 选项D：，D错误． 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一判断各选项命题的真假，即可找出假命题． 【详解】解：A选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题； B选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题； C选项，菱形的判定是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，因此原命题是假命题； D选项，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，符合正方形的判定定理，是真命题． 7. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘录一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有钱，乙原有钱，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设甲原有钱，乙原有钱，根据题意找出等量关系，列出对应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， ∵甲得到乙所有钱的一半后，共有钱文， ∴， ∵乙得到甲所有钱的后，共有钱文， ∴，整理得， 因此可得方程组． 8. 图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第五代勾股树图形中正方形的个数为（ ） A. 31 B. 51 C. 53 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形中的规律问题，由已知图形观察规律，结合有理数的乘方运算即可得到第五代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， ∴第四代勾股树图形中正方形的个数有（个）； ∴第五代勾股树图形中正方形的个数有（个）； 故选：D． 9. 如图，点E、F、G分别是正方形的边、、上的点，连接，，．且，，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作于点H，由题意易证，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点F作于点H，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定与性质、正方形的性质及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 10. 对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作，…下列说法：①；②若，则；③若，则不存在正整数，使得是的倍数．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照操作顺序逐步计算，再分别判断每个说法即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， ，故①错误； 由操作规律可知，时，若为奇数，则， 是奇数， ，若，则， ， 不一定为， ，故②错误； 若，则，， 计算可得：， 是的倍数，即存在满足条件，故③错误； 综上，三个说法都错误，正确的个数是． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 据开州区文旅平台检测，2026年春节九天假期间共接待游客总量约为185万，将185万用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：万． 12. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是 ___________边形． 【答案】十 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和的应用．根据每一个内角都是得到每个外角都是，根据多边形外角和为即可求出答案． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数． 故答案为：十． 13. 比较大小：_________2（选填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知四边形的对角线、互相垂直且互相平分，，则四边形的周长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分，可得四边形ABCD是菱形，根据四边相等可求． 【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且互相平分， ∴四边形ABCD是菱形， 则四边形ABCD的周长为4AB＝4×6＝24． 故答案为：24． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质．注意证得四边形ABCD是菱形是解此题的关键． 15. 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和三角形的全等判定和勾股定理．先根据三角形角和边的数量关系证明，再求出中两直角边的数值，最后用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图，作垂直于，交的延长线于点． ， ， ． ， 即， ． ． 故答案为：． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是___________；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是___________． 【答案】 ①. 8354 ②. 6213 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：是“和方数”， ， 解得：， 这个数是8354； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：8354；6213． 三．解答题（本大题9个小题，第17、18小题8分，其他小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集是，所有整数解的和为 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后求出所有整数解，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为， 整数解为：， 所有整数解之和为． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的除法和乘法，化简二次根式，再计算加减即可； （2）先用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 已知：如图，在矩形中，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O，连接，（只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，为了证明四边形为菱形，小南同学的想法为：先证明，再利用菱形的判定，得到结论．请根据小南同学的想法完成下面填空． 证明：∵四边形是矩形， ∴_____． ∴． ∵垂直平分， ∴，． 在与中， ______ ∴（）． ∴______ 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形（______）． 【答案】（1） 作图如下，为的垂直平分线； （2），，，对角线垂直的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）分别以A、C为圆心，以大于一半的长度画圆弧，两弧分别交于两点，再作过这两个交点的直线，直线交于点E，交于点F，交于点O，问题随之得解； （2）按照题干思路，利用菱形的判定定理判断作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出图形，是解答本题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】先计算整式的乘法及分式的混合运算，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 21. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）的长是 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的判定方法及性质是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合，由矩形的判定方法即可求证； （2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，则，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，，即的长是． 22. 科学课上，科技小组进行了一个关于滑轮的物理实验．获得如下信息： 素材1 将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，可通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． 素材2 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上位置，滑块B在直轨道上位置，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） 问题解决 任务1 求绳子的总长度．（即的长度） 任务2 如图2所示，滑块B从位置向左移动，当绳子与地面的夹角等于时，物体C升高了多少？ 任务3 如图3所示，滑块B从位置向左移动，当物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】任务：绳子的总长度为；任务：物体升高了；任务：滑块向左滑动的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务：通过勾股定理求出长即可； 任务：由直角三角形性质可得，所以，然后通过线段和差即可求解； 任务：由物体升高，即，所以，则，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】解：任务：∵， ∴， ∴绳子的总长度为； 任务：∵，， ∴， ∴， ∴物体升高了； 任务：∵物体升高， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴滑块向左滑动的距离为． 23. （综合与实践）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向，且景点C与景点D的距离为，现有公路，，，，已知，． （1）求公路的长度； （2）市政府准备在景点C，B之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道，的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道，的总费用． 【答案】（1）公路的长度为 （2）修建互通大道，的总费用是818万元 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理求得，咋爱利用三角形等面积法求出，于是得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，， 在中，∵，， ∴， 答：公路的长度为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴． ∵， ∴， 即， 解得，， ∴（万元）． 答：修建互通大道，的总费用是818万元． 24. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则________，________； （2）的算术平方根为________； （3）若，且、、均为正整数，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）28或12 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式展开，得，得，即可作答． （2）仿照题干进行求解即可； （3）根据完全平方公式得到，进而得到，，故或，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∵a，b，m，n均为正整数，且， ∴ ∴，； 【小问2详解】 解：设（其中、均为整数）， 则有． ， 即， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴， 即， ∴的算术平方根为； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 即， ∵a、m、n均为正整数， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴a的值为28或12． 25. 在边长为2的正方形中，点，分别在，上，，连接过点作，垂足为． （1）如图1，证明：； （2）如图2，点，分别在，的延长线上，连接．求的长； （3）如图3，连接，则的最小值为________（直接写出结果）． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和同角的余角相等，利用证明，即可证得结论； （2）延长，交的延长线于，同（1）可证得，得到，从而可推出点是的中点，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （3）连接、，延长，交的延长线于，同（2）可推出的长度，然后根据，可知当、、三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求得，即可解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图2，延长，交的延长线于， ∵正方形的边长为2， ∴，， ，， ， ， ， ∴， ∵，， ， ， ∴ 是的中点，， ∴在中，； 【小问3详解】 解：如图3，连接、，延长，交的延长线于， 由（1）可知：，， ∵边长为2的正方形中，，， ，即点是的中点，， ∴在中，， ， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $