重难点培优03 解三角形中三角形的面积、周长、边的最值与范围问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 解三角形中三角形的面积、周长、边（角）的最值与范围问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 面积的最值（范围）问题（★★★★★） 4 题型二 周长的最值（范围）问题（★★★★★） 5 题型三 与边有关的最值（范围）问题（★★★★★） 6 题型四 与角有关的最值（范围）问题（★★★★） 7 题型五 其他式子的最值（范围）问题（★★★★） 8 03 实战检测・分层突破验成效 9 检测Ⅰ组 重难知识巩固 9 检测Ⅱ组 创新能力提升 12 一、正余弦定理和面积公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 二、公式的相关应用 1、正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 2、内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列. 【常用结论】 （1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边” （2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 三、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． （6）解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 四、解三角形中最值或范围问题常用处理思路 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 题型一 面积的最值（范围）问题 【技巧通法·提分快招】 1、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 2、解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用） （1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的关系. （2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. （3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 1．（23-24高三上·广东东莞·月考）在中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 2．在中，角，，的对边分别是，，，满足. (1)求角； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值. 3．（24-25高三下·广东深圳·月考）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 4．已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 5．（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 6．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 题型二 周长的最值（范围）问题 1．（23-24高三上·江苏盐城·月考）已知的内角的对边分别为，且的面积为 (1)求； (2)求周长的最小值. 2．（2024·四川南充·模拟预测）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小; (2)若，且，求周长的最小值. 4．（2024·广西·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知. (1)证明：； (2)若，求周长的最大值. 5．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若，求周长的取值范围. 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 7．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 题型三 与边有关的最值（范围）问题 1．（23-24高三上·北京大兴·期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·河北沧州·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 7．（24-25高三下·江西·月考）在非等腰中，角的对边分别为，已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 8．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 题型四 与角有关的最值（范围）问题 1．在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知点为外接圆的圆心，角所对的边分别为，且，若，则当角取到最大值时的面积为（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．若的内角满足，则当角取最大值时，角的大小为 ． 6．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ． 7．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 . 8．在中，、、分别是的三个内角、、所对的边，已知 (1)求证：、、满足； (2)求角的取值范围. 题型五 其他式子的最值（范围）问题 1．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏无锡·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 3．已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为 . 4．已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ． 5．（24-25高三上·湖北·月考）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且. (1)求的值； (2)若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值. 6．（2025·湖南·二模）已知在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，，D为外一点. (1)求角A； (2)若A，B，C，D四点共圆，求四边形面积的最大值. 7．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积与周长的比值的最大值. 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，，求的面积； (2)求的最大值． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南许昌·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．在中， 角A， B，C所对的边分别为a， b， c，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边.若，则的最小值为 . 6．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角中，内角所对的边分别为，为的面积，，则的取值范围为 ． 7．（24-25高三上·江苏无锡·月考）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 8．（24-25高三下·江苏·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为 . 9．（2025·山东德州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，求的边的最大值． 10．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·月考）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 12．（23-24高三上·黑龙江大兴安岭地·月考）已知的内角的对边分别为，且. (1)求边长和角A； (2)求的周长的取值范围. 13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 14．（24-25高三下·黑龙江·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角C； (2)若，M为内一动点，且，求的最小值. 15．（24-25高三上·山东德州·月考）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 . (1)求角B的大小； (2)若，求周长的取值范围； (3)若为锐角三角形，，求面积的取值范围. 16．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 17．（24-25高三上·江苏南京·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围. 18．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等差数列. (1)若 ，求 面积的最大值； (2)若 ，求 周长的取值范围. 19．（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 20．在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，，求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 21．已知在锐角中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 2．已知在中，点在BC上的射影落在线段BC上（不含端点），且满足，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三下·重庆·竞赛）在中，的最小值为 . 4．（24-25高三下·河北保定·开学考试）在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. (1)证明：； (2)求； (3)若，求的取值范围. 5．（24-25高三上·安徽·月考）在中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优03 解三角形中三角形的面积、周长、边（角）的最值与范围问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 面积的最值（范围）问题（★★★★★） 4 题型二 周长的最值（范围）问题（★★★★★） 10 题型三 与边有关的最值（范围）问题（★★★★★） 15 题型四 与角有关的最值（范围）问题（★★★★） 21 题型五 其他式子的最值（范围）问题（★★★★） 28 03 实战检测・分层突破验成效 35 检测Ⅰ组 重难知识巩固 35 检测Ⅱ组 创新能力提升 54 一、正余弦定理和面积公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 二、公式的相关应用 1、正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 2、内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列. 【常用结论】 （1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边” （2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 三、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． （6）解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 四、解三角形中最值或范围问题常用处理思路 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 题型一 面积的最值（范围）问题 【技巧通法·提分快招】 1、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 2、解三角形中最值(范围)问题的解题策略（以下通用） （1）利用基本不等式求最值时，要构造不等式成立的条件，即出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的关系. （2）如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. （3）利用正、余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；也可利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 1．（23-24高三上·广东东莞·月考）在中，角所对的边分别为，，，已知 (1)求A； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式得到，求出； （2）由基本不等式求出，得到面积的最大值. 【详解】（1），由正弦定理得 ， 其中， 故， 故， 因为，所以，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 所以，解得； （2），， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得，仅当时取等， 故的面积，最大值为. 2．在中，角，，的对边分别是，，，满足. (1)求角； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理边角化即可求解， （2）由面积公式以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由可得：， 由余弦定理知，， 又，因此.- （2）∵ ，即 ， ∴ ≥ ∴ab≥，当且仅当b=2a，即a=，b=取等号 ∴=≥ ∴△ABC面积的最小值为 3．（24-25高三下·广东深圳·月考）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据是锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出关于角的三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 4．已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据正弦型函数的性质即可得到最小正周期及单调递增区间. （2）由题意求得的值，再由正弦定理表示出三角形面积，根据三角函数化简即可求得取值范围. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 即有函数的单调递增区间为. （2）若为锐角的内角，且， 可得，由，可得， 则，即. 由正弦定理得，， 所以， 所以面积 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，所以，所以. 故面积的取值范围是. 5．（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出，得解； （2）根据三角形面积公式，正弦定理可得，结合，进而求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则，又， 所以，则， 又，所以， 因为，解得． （2）因为是锐角三角形，又， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 从而， 故面积的取值范围是. 6．（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得，结合三角形内角和的性质，即可求解； （2）由（1）得到，作为边上的高，设，根据题意，求得，得到的面积为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以. （2）由（1）知，即， 如图所示，为边上的高，不妨设为锐角， 设， 当为锐角时，则，故， 当为钝角时，则，故， 因为，所以，整理得， 所以的面积为， 因为，可得， 当时，取得最大值，最大值为，且， 所以的面积的取值范围为. 题型二 周长的最值（范围）问题 1．（23-24高三上·江苏盐城·月考）已知的内角的对边分别为，且的面积为 (1)求； (2)求周长的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求出，得角； （2）由的面积求出，余弦定理得，由基本不等式求周长的最小值. 【详解】（1）由，得， 即，则， 由，得. （2），得， 由余弦定理，有，得， 周长， 当且仅当时取等号，所以周长的最小值为. 2．（2024·四川南充·模拟预测）在中，. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， ，. （2）因为， 即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长， 即周长的最大值为 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小; (2)若，且，求周长的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】 （1）已知等式利用正弦定理化简得，可得C的大小； （2）由余弦定理把b，c边用a表示，利用基本不等式求周长的最小值. 【详解】（1） 因为，由正弦定理. 由，得，所以，即. 又，所以. （2） 由（1）知，则. 因为，所以，则. 的周长为. 因为，所以，当且仅当时，等号成立. 故周长的最小值为. 4．（2024·广西·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知. (1)证明：； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）结合面积公式，要证，即证，由余弦定理得到证明； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）根据面积公式，可得，， ， 要证，即证. 由可得， 由余弦定理可得， 整理可得，原式得证. （2）因为，由（1）知， 所以，当且仅当时，等号成立， 故， 所以，的最大值为6. 故周长的最大值为. 5．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得， 又，所以 . （2）由余弦定理， 即， 故，当且仅当时取等号， 又，故，即周长的取值范围是. 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得； （2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得. 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 7．（2025·湖南益阳·三模）在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)若，求A； (2)若是锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件通过三角函数公式得出角之间的关系，求出角 （2）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，然后化简表达式，最后根据角的范围求出边的和的范围，进而得到三角形周长的范围. 【详解】（1）由，可得，即， ∴，则或（舍）， ∴， 当，由，可得. （2）由正弦定理可得∴， 易知，可得，因此， 易知在上单调递增，所以， 可得周长范围为. 题型三 与边有关的最值（范围）问题 1．（23-24高三上·北京大兴·期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，画出和边长，以为圆心，为半径作圆与边有两个交点时即可求出的取值范围. 【详解】根据题意如下图所示：    易知当时，，若满足条件的三角形只有一个； 由题可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点时，即图中两点满足题意； 所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 4．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可. 【详解】因为，得． 由余弦定理得， 所以，即． 由正弦定理得， 因为，则， 所以，即． 因为是锐角三角形，所以，，所以． 又在上单调递增，所以，则． 因为是锐角三角形，所以，，， 所以， 由正弦定理得 ， 令，因为，所以． 在上单调递增， 当时，，当时，， 故 故选：C． 5．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围. 【详解】因为，故， 由正弦定理可得，而为三角形内角，故， 故，而为三角形内角，故为锐角， 故，故，故即， 故（为外接圆半径），故， 因为，，所以，则. 故 ， 其中，且， 由锐角三角形可得，故， 故， 因为，且，故，则，， 所以时，，取得最大值. 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 6．（24-25高三下·河北沧州·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由诱导公式和两角和的正弦公式转化条件等式，再结合正弦定理角化边和余弦定理即可求解角B； （2）由正弦定理进行边化角得到，再利用结合两角差的正弦公式和余弦函数性质即可求解. 【详解】（1）在中，有， 所以， 由正弦定理得， 由余弦定理得，所以， 因为，所以． （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以，故的取值范围为． 7．（24-25高三下·江西·月考）在非等腰中，角的对边分别为，已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理与三角函数的二倍角公式可得三角形的形状，利用正弦定理以及三角函数恒等变换可得三角函数，根据三角函数的性质，可得答案； （2）由正弦定理整理函数解析式，利用换元法化简函数，根据单调性可得答案. 【详解】（1）因为，所以，即． 因为，所以，从而，则的外接圆直径为． 由，得，， 得． 因为且，所以且， 所以，即的取值范围为． （2）． 设，则，所以． 又是上的增函数，从而在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围为． 8．（24-25高三上·湖北·期末）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)已知边，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知等式和正弦定理，化简即可求解. （2）利用正弦定理得，又为锐角三角形，解得，从而得到的取值范围，从而得解. 【详解】（1）由， 可得， 即， 所以，即， 因为，所以，又，所以； （2）由正弦定理可得， ， 因为为锐角三角形，则，解得， ， 所以的取值范围是 题型四 与角有关的最值（范围）问题 1．在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解. 【详解】因为边上的高为， 所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故角的最大值为. 故选：B. 2．若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式及正弦定理，同角三角函数的基本关系式将化简得，再将用和来表示，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】，，即， 由正弦定理得，， ，即， ，① 当时，，，， 此时，不满足题意，， ①式两边同时除以得，， 不妨设，则， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最大值为. 故选：B. 3．已知点为外接圆的圆心，角所对的边分别为，且，若，则当角取到最大值时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，运用向量的线性运算和向量的数量积运算律表示，求得，再由余弦定理和余弦函数的性质可求得答案. 【详解】如下图所示：设的中点为， ， 因为，所以，由知，角为锐角， 所以，当且仅当，即时，取得最小值， 因为在上是减函数， 所以此时，角取得最大值，此时恰有， 此时三角形是直角三角形，所以. 故选：A.    4．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求得，在中，由余弦定理，求得，再由，得到，得出，结合基本不等式，求得，即可得到答案. 【详解】由，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 又由， 则， 所以， 令，可得，则， 因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 则，所以，所以， 即的最大值为. 故选：B. 5．若的内角满足，则当角取最大值时，角的大小为 ． 【答案】 【分析】首先得，然后由基本不等式得角取最大值时，角、角的值即可. 【详解】由条件得，因此， 所以，由此可知，，， 从而，当且仅当，即时，，的最大值为， 所以角的大小为． 故答案为：. 6．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】应用正弦定理结合同角三角函数关系化简得出，再结合对勾函数性质得出值域即可求解. 【详解】依题意，由正弦定理可得，即； 所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 又，且， 可得，； ； 显然，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以可得. 故答案为： 7．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：应用正弦边角关系得，再由余弦定理、锐角三角形内角性质及二倍角余弦公式可得，进而有，，即可得，即可求范围；法二：应用正余弦定理有，结合锐角三角形内角性质得，后续同法一. 【详解】法一：由正弦定理角化边得， 由， 所以. 由， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，则，， 因为为锐角三角形，，解得， 设，则，. 法二：由正弦定理角化边得. 由余弦定理，则. 由正弦定理，则. 则， 由为锐角三角形，得，. 所以，即，后续同法一. 故答案为： 8．在中，、、分别是的三个内角、、所对的边，已知 (1)求证：、、满足； (2)求角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，在根据三角形内角关系化简式子，再结合正弦定理的角化边得结论； （2）根据余弦定理即与基本不等式可得的取值范围，集合余弦函数的取值范围，从而可得角的取值范围. 【详解】（1）证明：由可得， 整理得， 由正弦定理可得， 则， 所以， 由正弦定理可得； （2）由（1）得，则由余弦定理可得； ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，又，函数在上递减， 所以，故角的取值范围是. 题型五 其他式子的最值（范围）问题 1．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求出高的范围. 【详解】在中，由正弦定理，可得， 由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以，， 又因为三角形为锐角三角形，所以，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，故有， 因为，所以，，所以， 所以，又因为边上的高，所以． 故选：B. 2．（24-25高三上·江苏无锡·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等差中项，结合边角互化可得，进而根据和差角公式可得，由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，成等差数列，则， 由正弦定理可得, 故, ， 由于，因此，故 ，当且仅当，取等号， 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据等比中项以及正弦定理可得，进而利用正切和正弦的和差角公式得，，即可结合基本不等式求解. 3．已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式计算可得，利用基本不等式得，结合弦切互化计算可得，即可得解. 【详解】根据余弦定理，，即， 则的面积为， 所以，. 又由，可得，当且仅当时等号成立， 所以，，则为锐角， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．已知锐角中，角的对边分别为，满足条件，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将边化为角，结合两角和与差的正弦公式可求得，利用正弦定理可得，进而可化简所求，再结合条件转化为关于角C的函数，进而求解范围. 【详解】由题可得，由正弦定理得， 因为 所以， 所以，即 而，， 则或，即或（舍去），故， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为，，所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 故答案为： 5．（24-25高三上·湖北·月考）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且. (1)求的值； (2)若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得，结合三角形角的关系可得； （2）设，，由三角形面积关系可得，再根据余弦定理及基本不等式可得最值. 【详解】（1）由已知，即， 再由正弦定理可得，即，， 又，则， 所以， 又，即， 所以； （2）由（1）得，且， 所以，则， 设，， 则，， 又， 即，解得， 所以在中，由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为. 6．（2025·湖南·二模）已知在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且，，D为外一点. (1)求角A； (2)若A，B，C，D四点共圆，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式将条件化为，由得，根据角的范围确定角A即可. （2）由题意，根据余弦定理及基本不等式得和，即可求解四边形面积的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理得， 即， 又，故， 因为，所以，所以，， 所以，所以. （2）由题意为圆内接四边形，所以， 又，由余弦定理得，所以，所以， 同理，，所以， 所以， 所以四边形面积为 ， 所以四边形面积最大值为. 7．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积与周长的比值的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将原等式利用和差倍角的余弦公式以及正弦定理进行化简，得到关于角的三角函数，进而可求得角的值. （2）首先根据余弦定理求得关于的等式，然后求三角形的面积和周长，化简的表达式，利用基本不等式和三角形的边长性质求得的范围，进而可求得的最大值. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 所以. 化简得： 根据正弦定理得：. 因为，所以， 所以.解得，又，所以. （2）由（1）知又， 则的面积为，的周长为， 所以. 由余弦定理得：，化简得， 所以. 又，所以， 化简得，所以， 所以. 令，则， 所以， 所以当时，取最大值为. 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，，求的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)6． (2)． 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，并结合，得到角A和角B的正弦值、余弦值，再利用正弦定理得到a，b的值，最后利用三角形面积公式求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换对进行变形，再利用基本不等式求得最值． 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以，， 因为，所以，所以． 又，即是的两个根， 所以，，或，． 若，，则，，， 所以． 由正弦定理得，，． 所以的面积为． 同理，若，，则的面积为6． 综上，的面积为6． （2）由（1）知，，所以，． 因为， 由正弦定理有 ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换可得，再由正弦定理边化角，转化为的三角函数求解. 【详解】在中，由及正弦定理得， 则，整理得， 由，得，则或， 即或（舍去），因此，，则， 所以 ， 所以的取值范围是． 故选：B 2．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知是锐角三角形，角所对的边分别为为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形的面积公式及余弦定理求出角，再利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和定理及三角函数的性质即可得解. 【详解】由， 得，所以， 所以，又，所以， 由正弦定理得， 由，得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 3．（2025·河南许昌·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出，再将转化，借助基本不等式求最小值. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以.又因为， 所以， 所以，即.所以， ， 显然必为正，否则和都为负，就两个钝角， 所以， 当且仅当，即，取等号， 所以的最小值是， 故选：C. 4．在中， 角A， B，C所对的边分别为a， b， c，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题设，根据正弦定理及同角三角函数的基本关系可得，进而根据两角差的正切公式及基本不等式求解即可. 【详解】由，显然，则均为锐角， 根据正弦定理得， 两边同时除以，得， 则，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值， 即取得最大值. 故选：A. 5．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知分别为内角的对边.若，则的最小值为 . 【答案】/0.6 【分析】根据余弦定理可得，即可由不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 6．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角中，内角所对的边分别为，为的面积，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得，再利用正弦定理，然后利用三角函数求解. 【详解】由，则，故, 由是的内角，则, 所以, 由正弦定理，, 由是锐角三角形， 所以且, 解得或(舍去), 令,设, 当时，单调递增，故, 而,故. 故答案为：. 7．（24-25高三上·江苏无锡·月考）在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，，从而有，构造函数，，利用导数，求出的单调区间，即可求解. 【详解】由，则由正弦定理可得，， 所以或，而，且，即， 所以，且，即， ， 令，则，所以， 当时，，则在上递增； 当时，，则在上递减； 所以. 故答案为：. 8．（24-25高三下·江苏·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知，，则的内切圆半径r的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题设利用正弦定理、余弦定理得到及，再根据 得到，化简变形并运用基本不等式即可求得其最大值. 【详解】已知，由正弦定理可得， 又，可求得，， 利用余弦定理，可得， 所以， 又三角形面积， 又，所以， 故，当且仅当时等号成立， 所以的内切圆半径r的最大值为 故答案为： 9．（2025·山东德州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，求的边的最大值． 【答案】(1) (2)4． 【分析】（1）根据给定条件，利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值. 【详解】（1）由，得， 即，又，则， 于是，又，所以. （2）由（1）知，由余弦定理，得， 而，则， 因此，解得， 当且仅当时取等号，则， 所以的边的最大值为4. 10．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·月考）在锐角中，角A，，的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求的值； (2)已知，求的面积的最大值. 【答案】(1)2 (2)2 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，即可得结果； （2）根据同角关系求，利用余弦定理结合面积公式可得，即可面积最大值. 【详解】（1）因为，且， 可得， 即，所以. （2）因为， 又因为，即， 整理可得，解得或， 又因为，则，， 由余弦定理可得：，即， 整理可得， 又因为，即， 当且仅当时，等号成立， 且此时为为锐角三角形，符合题意， 所以的面积的最大值为. 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，由已知条件及正弦定理化简得出，再利用正弦定理可求得的值； （2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出、的值，利用余弦定理可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 即， 因为为斜三角形，所以，故， 由正弦定理可得． （2）由（1）知，，所以， 所以， 即， 因为，则，故，所以， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时，取最小值． 12．（23-24高三上·黑龙江大兴安岭地·月考）已知的内角的对边分别为，且. (1)求边长和角A； (2)求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，从而得到，由求出； （2）根据余弦定理和基本不等式求出，结合三角形三边关系得到周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， ， 可得， 因为，所以， 由得， 得， 故或，故或0 (舍去). （2）因为， 由余弦定理得，即， 所以， 又，即， 解得， 根据三角形三边关系得到， 故， 的周长的取值范围是. 13．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得； （2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出，再结合正弦和正切的单调性求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. （2）由正弦定理可得，， 所以， 因为在均为单调递增， 所以在为单调递减， 所以当时，最大值为；所以当时，最小值为； 所以的取值范围为. 14．（24-25高三下·黑龙江·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角C； (2)若，M为内一动点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由可得，进而结合三角形的面积公式及题设可得，可得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，， 由正弦定理得，， 则， 则， 则， 因为，所以， 则，又，则. （2）由，可得，可得， 即，则， 因此， ， 当且仅当时等号成立， 因此的最小值为. 15．（24-25高三上·山东德州·月考）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 . (1)求角B的大小； (2)若，求周长的取值范围； (3)若为锐角三角形，，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）①②可利用正弦定理化边为角，结合内角和定理与三角恒等变换可得；③可利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求角可得； （2）由余弦定理得，应用基本不等式得的最大值，结合两边之和大于第三边可得，进而得周长的范围； （3），求a的范围即可，由余弦定理得，，结合锐角三角形的等价条件，消得关于的不等式组求解即可得. 【详解】（1）若选①，由得， 由正弦定理得，由，， 则，所以， 故，又B是三角形的内角，所以， 所以，解得； 若选②， ， 由正弦定理得，， 所以， 由，， 则，即， 又B是三角形的内角，所以； 若选③， 由正弦定理得，即， 所以，又B是三角形的内角，所以； （2）由（1）得，又， 由余弦定理，， 则， 解得， 又三角形两边之和大于第三边，所以， 则. 所以周长的取值范围是； （3）由（1）得，又， 则由余弦定理得， 又是锐角三角形， 所以，则， 代入，得，解得， 因为， 所以. 16．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案； （2）由正弦定理得，，代入三角形面积公式化简得，结合角的范围求出答案. 【详解】（1）由正弦定理得，， 所以， 即， 化简得：，即， 又，所以. （2）由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以. 17．（24-25高三上·江苏南京·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)若，求的面积； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切化弦以及三角恒等变换化简得出，求出这两个角的值，利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求解即可； （2）分析可得，利用正弦定理化简可得，根据角的取值范围可求出的取值范围，由此可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，可得， 所以，， 因为、，且余弦函数在上单调递减，则， 当时，则， 由正弦定理可得，则， 因此，的面积为. （2）由（1）可得，则， 由正弦定理可得，则， 因为，则，可得， 所以，，即的取值范围是. 18．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等差数列. (1)若 ，求 面积的最大值； (2)若 ，求 周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出角B，利用余弦定理结合基本不等式即可求出，再利用面积公式求解即可； （2）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式及半角公式即可化简成关于的函数，结合条件可求其范围. 【详解】（1）由成等差数列知，故； 由余弦定理：， 故（当且仅当时等号成立）， 故（当且仅当时等号成立）， 故面积的最大值是． （2）由正弦定理：，， 则 ； 由为锐角三角形，，则，解得，则； 由在上单调递增，故， 故， 即周长的取值范围为． 19．（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，即可求解的周长， （2）利用余弦定理可得，即可确定c的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示，利用基本不等式即可求解范围. 【详解】（1），，由余弦定理得，， ，解得，或（舍去） ， 的周长为. （2）由余弦定理得，，整理得，， ， ，即， 由正弦定理得，，， ，， ， 令，，， 函数在上单调递增，，即的取值范围是. 20．在中，内角所对的边分别为，且． (1)若，，求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由余弦定理，结合，得到，求出答案； （2）由正弦定理和正弦二倍角公式得到，结合求出，并根据三角形为锐角三角形得到不等式，求出，，由正弦定理和三角恒等变换得到. 【详解】（1）， ， 又，， ，解得． ，． （2）， ， 或， 当时，， 解得，则，与已知矛盾， 故， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得， 由于在上单调递减，故， ， ， 的取值范围为． 21．已知在锐角中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先切化弦，再结合余弦定理即可求解. （2）由正弦定理将所求边的式子化为关于A的三角函数，再根据角的范围求出. （3）由正弦定理将所求边的式子化为关于A的三角函数，其中要用到辅助角公式，辅助角是一个特殊角，再根据角的范围求出. 【详解】（1）由得，所以， 又为锐角三角形，所以． 故角的大小为. （2）因为，，由正弦定理，即. 再由正弦定理得， 又因为在锐角中，，. 所以，. 所以的取值范围． （3）由（2）知，，则   不妨令. 又因为在锐角中，， ， 即. 故的取值范围为 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形得到，求出，由正弦定理和三角恒等变换得到，换元后，，，由基本不等式求出最小值. 【详解】， 故， ， ，即， 因为，所以，， 由正弦定理得 因为，所以，，， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 2．已知在中，点在BC上的射影落在线段BC上（不含端点），且满足，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，且角均为锐角，根据，代入化简得，结合正弦定理、余弦定理及基本不等式化简可得，设，得，化简可得，结合，代入化简即可求解. 【详解】在中，因为在BC上的射影落在线段BC上（不含端点）， 所以，且角均为锐角， 因为，所以， 因为，所以， 化简得， 由正弦定理得， 因为，且， 所以，有， 所以，即， 若，此时，所以为等腰直角三角形，故， 若，不妨设，则，即， 所以，即， 因为，即， 因为函数在区间上单调递减， 所以， 即，化简可得 即，得， 所以角的取值范围是. 故选：A 3．（2025高三下·重庆·竞赛）在中，的最小值为 . 【答案】 【分析】根据余弦定理结合基本不等式计算结合换元法计算得出最小值. 【详解】由余弦定理及均值不等式，，所以. 于是由正弦定理，原式. 令，则. 当且仅当，即时等号成立， 故原式的最小值为. 故答案为：3. 4．（24-25高三下·河北保定·开学考试）在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. (1)证明：； (2)求； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理表示，根据可证明结论. （2）利用正弦定理可得，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果. （3）设，利用等面积法可得，结合余弦定理得，构造函数，根据函数单调性可求的取值范围. 【详解】（1） 在中，由正弦定理得，， ∴，同理得，， ∴，即. （2）在中，由正弦定理得，，∴， ∴，即， 由得，， ∴，故，∴. （3）设，由，得，故. ∵，，∴，故， ∴， 令，则， ∵，当且仅当时等号成立，∴，故， ∵在上单调递增，当时，，当时，， ∴的取值范围是. 5．（24-25高三上·安徽·月考）在中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得. （2）由等面积得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边. （3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边，的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而即得三角形面积最小值． 【详解】（1）由，得，则，即， 而，所以. （2）由等面积法得：，即， 因此，，在中，由余弦定理得， 即，所以. （3） 由平分，得， 在中，设，则， 在中，由正弦定理，得，则， 在中，由正弦定理，得，则， 得，故有． 在中，由正弦定理，得，则， 得代入式，可得，即． 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“=”． 于是，．即的面积的最小值为． 【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题． 6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证； （2）（i）由三角形是锐角三角形求得的范围可得的范围；（ii）首先得，其次根据正弦定理将表示成的函数，结合的范围即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 而，， 从而， 所以或（舍去）， 所以； （2）（i）因为为锐角三角形， 所以，解得，所以的取值范围为； （ii）由已知，， 而， 从而， 由正弦定理有， 所以 ， ， 所以， 设， 所以，所以， 由对勾函数性质可知，在上递增，所以， 所以，所以的取值范围是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$