双变量（双参数）恒成立，能成立问题的原理与应用 讲义-2026届高三数学二轮复习

14.双变量（双参数）恒成立，能成立问题的原理与应用 一．基本原理 双变量（双参数）恒成立，能成立求参数范围问题 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集． ⑤若，，有，则的值域与值域的交集非空． ⑥若，对，都有. ⑦若，对，都有. ⑧若，对，都有. ⑨若，对，都有. 二．典例分析 例1.（浙江省Z20名校联盟2026届高三开学考试） 已知函数． （1）若，求在处的切线的方程； （2）判断是否是函数的极值点，并说明理由； （3）若不等式对任意的恒成立，求正整数的最大值．（参考数据：）． 解析：（1）时，，所以，由于，所以在处的切线的方程为， 化简得：． （2），若是函数的极值点，则有，代入得：，即．当时，不是函数的极值点； 当时，， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增，则，即在上单调递增，不合题意．综上：不是函数的极值点． （3）由题意：， 上式对任意恒成立，以为主元，令，则只需， 因为，所以在上单调递增， 则，故 ，即对任意 恒成立．由题意得：，设， 令，故在上单调递增，由于，故 ， 所以，使得在上单调递减，在上单调递增，且满足，故，而，因此自然数最大可取到4． 例2.（2025年新高考1卷T19） （1），（2）略； （3）若存在使得对任意，恒成立，求的最小值. 解析：（3）当，可得 ，令则有，故. 另一方面，不妨设，取， 则， ，所以，所以． 例3．（2021年天津卷）已知，函数． （1）求曲线在点处的切线方程： （2）证明存在唯一的极值点 （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 解析：（1），则，又，则切线方程为； （2）令，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点； （3）由（2）知，此时， 所以，令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故， 所以实数b的取值范围. 三．习题演练 1.已知函数. （1）若，求曲线在处切线方程； （2）讨论的单调性； （3）时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 2．已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为，且. （1）求的解析式； （2）求函数的极值； （3）设，若存在实数，，，，使得 成立，求实数的取值范围． 3．设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 4.已知函数． （1）当时，若函数恰有一个零点，求实数a的取值范围； （2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围． 5.已知函数，其中. （1）讨论的单调性. （2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 6．已知，函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程： （2）证明存在唯一的极值点 （3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 7.已知函数（其中e为自然对数的底数）． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值； （3）设函数，若对，不等式恒成立，求a的取值范围． 参考答案 1.解析：（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由已知，转化为在的值域和在的值域满足： ，易求.又且，在上单调递增，故值域.所以，解得，即. 2.解析：（1）． （2）是函数的极大值点，． （3）设，，，则，，． ，．若存在实数，，，，使成立，等价于：成立，，． 即，，．令，，，则，． ，，，，（1）． ，的取值范围是，，． 3.解析：（1）令，所以， 当时，，此时在上单调递减，在上单调递增； 当时，，此时在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，，在上单调递减，在单调递增.所以对任意，有，又已知存在，使，所以 即存在，使，即，又因为当，，所以，，即实数的取值范围. 4.解析：（1）综上，实数的取值范围是或. （2）因为对任意，有成立，且，所以.因为，所以， 所以，当时，，当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为与，所以 令则当时，， 所以在上单调递增，故，所以， 从而所以，即.令，则.当时，，所以在上单调递增. 又，所以，即，解得，所以b的取值范围是. 5.解析：（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）存在满足条件的实数，且实数的值为，理由如下： ①当，且时，由（1）知，在上单调递减，则时，， 则，所以此时不满足题意； ②当时，由（1）知，在上，单调递增，在上，单调递减， 则当时，，当时，对任意， ， 所以此时不满足题意； ③当时，令（），由（1）知在上单调递增，进而知在上单调递减，所以，， 若对任意的，总存在，使得，则，，即，所以，解得， 综上，存在满足题意的实数，且实数的值为. 6.【详解】（1）当时,可得，即，所以切线斜率为，又，所以切线方程为，即； （2）易知，令可得， 令，则在上恒成立， 即可得在单调递增，当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于；其图象如下图所示： 所以当时，与的图像仅有一个交点， 令，则当时，，即，在单调递减，当时，，即，在单调递增， 所以可知为的极小值点，即存在唯一的极值点； （3）由（2）可知，此时，所以的最小值为， 令，则，当时，，即在上单调递增，时，，即在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，若存在a，使得对任意成立，即存在a使得在成立，即， 所以实数b的取值范围为. 7.【详解】（1）数，求导得， 则，而，所以曲线在点处的切线方程为：，即. （2）由（1）知，当时，，函数在上单调递增， 所以. （3）由（2）知，，，由对，不等式恒成立， 得，而函数在上单调递减， 当时，，因此，所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $