题型7 单参数的恒成立与能成立问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

题型7 单参数的恒成立与能成立有解问题 【课堂练一练】 1．【答案】A 【解析】对任意两个不等的正实数，都有恒成立，即为时，恒成立.所以在上恒成立，则,而，则． 故选A． 2．【答案】B 【解析】由题可得：令，可得函数在递减，在递增，又所以函数的最大值为e-2，故. 故选B. 3．【答案】 【解析】对任意恒成立，则由拉格朗日中值定理可得，在恒成立,恒成立 （对，仅在时成立），的取值范围是. 4．【答案】1 【解析】由题设有. 又由题设可得在有解， 故在有解, 而，，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故函数的最小值为0， 故，故， 【课后练一练】 1．【答案】D 【解析】当时，的开口向上且对称轴，此时， 要使，则； 当时，显然时恒成立，即在上递增， 所以，满足题设； 若，则上，即递减，上，即递增； 所以，要使，则，即， 所以；综上，的取值范围为. 故选D. 2．【答案】A 【解析】对任意恒成立，显然 记，则抛物线恒在余弦曲线的下方 注意到： 故在处抛物线的曲率不小于余弦曲线的曲率 即 ， 故 当易验证恒成立． 故的取值范围为． 故选A. 3．【答案】D 【解析】因为有解，所以，有解，，,. 当即时,有最小值, 所以由可得，所以在上单调递增, 由可得，所以在上单调递减， 所以的最小值，所以. 故选D. 4．【答案】BC 【解析】，，， 根据三次函数的图象特点可知，方程必有解，则不能判断的正负，故A错误； 若不等式有解，即有解，则，所以，故B正确； 若函数的图象存在极值点，则有不等实根， 故，所以，故C正确； 由于三次函数的图象始终存在对称中心，故D错误， 故选BC． 5．【答案】AD 【解析】因为函数是定义在上的奇函数， 设，则，所以， 所以当时，，故A正确； 当时，，所以， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极小值， 当时，，又， 由零点存在定理知函数在仅有一个零点1； 当时，，所以函数在没有零点， 所以函数在上仅有一个零点， 又因为函数是定义在上的奇函数， 故函数在上仅有一个零点，又， 所以函数在定义域上有3个零点，故B错误； 作出函数的大致图象，如图： 若关于的方程有解，则实数的取值范围是，故C错误； 由图可知，对，，故D正确． 故选AD. 6．【答案】 【解析】不等式，即， 所以．设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以． 令，则． 当时，，单调递增，则， 故满足条件； 当时，在单调递减；在单调递增，则； 设，则，则在上单调递减， 又，所以， 所以，所以的最大值为． 7．【答案】 【解析】令，则． 令，解得．当时，，为增函数； 当时，，为减函数，所以． 又因为当时，恒成立，即在上恒成立， 所以，即，即． 令，则， 当，，单调递减； 当时，，单调递增， 故当时，，故的最小值是． 8．【答案】 【解析】因为， 所以， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同的正实数根， 所以，解得； 又因为不等式有解， 所以有解， 又因为 ， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 9．【解析】（1）当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 10．【解析】（1）当时，，定义域为. ，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，定义域为. 当时，. . 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，此时. 所以的极小值点为，极小值为1，无极大值点. （3），定义域为，， 等价于. 令，则上述不等式等价于. 因为，所以单调递增， 所以上述不等式又等价于，即. 令，定义域为，则. 又在上，，单调递增；在上，，单调递减； 所以，所以，即. 故a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型7 单参数的恒成立与能成立有解问题 【题型识别】 形如的双变量不等式恒成立求参数. 【解题大招】 求不等式恒成立问题的方法 （1）分离参数法 若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可. （2）数形结合法 结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题. （3）主参换位法 把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解. 【解题模板】 单参数的恒成立与能成立问题的一般解题步骤： ①将双变量不等式化为的形式； ②将不等式等价为； ③利用单变量不等式恒成立求参的方法求解参数的取值范围. 【典例】已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【有道解题】对任意两个不等的正实数，，都有恒成立,则由拉格朗日中值定理可得，当时，恒成立，即在上恒成立，因为，所以.故选D. 【易错警示】 解决恒成立问题，分离参量要注意两边乘以或除以的变量的符号. 【课堂练一练】 1．已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知a ≥＋lnx对任意x∈[，e]恒成立，则a的最小值为(　　) A．1 B．e-2 C． D．0 3．已知函数.若对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 4．关于的不等式在有解，则的值可以为 ． 【课后练一练】 1．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．设函数,若不等式≤0有解,则实数a的最小值为（ ） A．-1 B．2- C．1+ D．1- 4．（多选）已知函数，是的导函数，下列结论正确的有（    ） A．若方程有解，则 B．若不等式有解，则 C．若函数的图象存在极值点，则 D．若函数的图象存在对称中心，则 5．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．函数有五个零点 C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D．，恒成立 6．若关于x的不等式恒成立，则实数的最大值为 . 7．已知，若恒成立，则的最小值是 . 8．已知函数有两个不同的极值点，若不等式有解，则的取值范围是 . 9．已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 10．已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）当时，求的极值点与极值. （3）若不等式恒成立，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $