4.3 数据分类课件2025-2026学年湘教版 数学八年级下册

4.3 数据分类 1 在社会生活中，分类现象普遍存在. 超市里各种商品按用途不同分类摆放 宾馆根据硬件设施、服务水平分成不同的星级 对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题，那怎么样才能做到“合理”呢？ 探究 某田径队 10 名运动员跳远的最好成绩如下： 按成绩、按年龄、按身高…… 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 成绩/m 5.85 6.13 6.11 6.01 5.91 6.19 5.81 5.84 6.22 5.98 问题1：教练组拟根据这组数据将队员分为两组进行训练，应该如何划分呢？ 问题2：如果为了制定合适的训练方案，你认为最合适的分组是哪个？ 为什么？ 按成绩高低划分，这样成绩接近的可以分到同一个组. 要使每一组的数据比较稳定，即每一组数据的组内差异小，组间差异大. 一般地，设一组数据为 x1，x2，…，xn，它的平均数为 ，离差平方和为 S2. 如果把这组数据分为两组，前 m 个数据为第一组，后 (n－m) 个数据为第二组，第一组的平均数记作 ，第二组的平均数记作 ， 令 为组间离差平方和，反映了两组数据之间的差异程度. ＝＋ x1，x2，…，xm，xm+1，xm+2，…，xn m个 (n－m)个 平均数 平均数 为组内离差平方和，反映了两个组内数据的离散程度 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 成绩/m 5.85 6.13 6.11 6.01 5.91 6.19 5.81 5.84 6.22 5.98 问题：根据这10 名运动员跳远的最好成绩验证＝＋？ 将上述10名运动员跳远的最好成绩的数据从小到大排列，得 5.81，5.84，5.85，5.91，5.98，6.01，6.11，6.13，6.19，6.22. 可以尝试把前 5 个数据作为第一组，后5个数据作为第二组. = (5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.91 + 5.98) = 5.878， = ( 6.01 + 6.11 + 6.13 + 6.19 + 6.22) = 6.132， = ( 5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.91 + 5.98 + 6.01 + 6.11+ 6.13 + 6.19 + 6.22) = 6.005. = (5.81 - 5.878)² + (5.84 - 5.878)² + (5.85 - 5.878) +(5.91 - 5.878)² + (5.98 - 5.878)²+(6.01 - 6.132)²+(6.11 - 6.132)²+(6. 13 - 6.132)²+(6.19 - 6.132)²+(6.22 - 6.132)²= 0.04476. = 5×(5.878 - 6.005)² + 5×(6.132 - 6.005)²= 0.16129. S2 = (5.81 - 6.005)² + (5.84 - 6.005)²+(5.85 - 6.005)²+(5.91 - 6.005)²+(5.98 - 6.005)²+(6.01 - 6.005)² +(6.11 - 6.005)²+(6.13 - 6.005)²+(6.19 - 6.005)² +(6.22 - 6.005)² = 0.206 05. 于是 又 在数据分析中，数据的分组是重要的方法之一，虽然可以有多种方法对数据进行分组，但使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是非常合理的. 思考：前面的分组符合“组内离差平方和最小”的原则吗？ 按照组内离差平方和最小的原则，应保证跳远最好成绩相差不多的运动员在一个组.有下面 9 种情况： 对上面的分组，可以利用计算机设计算法、编写程序，然后依次计算组内 离差平方和(前面已经计算出第一组、第二组各5个数据的组内离差平方和), 得到下表(结果保留四位小数): 第一组 1 个数据，第二组 9 个数据； 第一组 2 个数据，第二组 8 个数据； ···； 第一组 9 个数据，第二组 1 个数据. 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 0.163 8 第一组2个，第二组8个 0.125 1 第一组3个，第二组7个 0.079 8 第一组4个，第二组6个 0.051 0 第一组5个，第二组5个 0.044 8 第一组6个，第二组4个 0.040 7 第一组7个，第二组3个 0.074 8 第一组8个，第二组2个 0.106 1 第一组9个，第二组1个 0.154 7 计算结果表明，将排序后的前 6 个数据分为一组，后 4 个数据分为另一组， 可以使组内离差平方和最小. 即应将编号为 ①④⑤⑦⑧⑩的运动员分为一组， 其他运动员为另一组进行分层训练.通过数据也可以看到，这样的分组是合理的. 数据分组的步骤有哪些？ 数据的分组一般步骤： 1. 第一步：从小到大排序； 2. 第二步：确定组数和各组内数据的个数，我们只讨论分两组的情形，如果一共有 n 个数据，要把较小的 m 个数据分为一组，把剩下的 (n - m) 个数据分为另一组； 3. 第三步：通过“组内离差平方和最小” 的原则来确定 m 的大小. 31.25 现有一组数据：12，15，18，20，22，25，将其分成两组{12，15}和{18，20，22，25}，求这种分组情况的组内离差平方和为________． 解析：第1组数据的平均数为(12＋15)÷2＝13.5， 则离差平方和为(12－13.5)2＋(15－13.5)2＝4.5. 第2组数据的平均数为(18＋20＋22＋25)÷4＝21.25， 则离差平方和为(18－21.25)2＋(20－21.25)2＋(22－21.25)2＋(25－21.25)2＝26.75. 所以这种分组情况的组内离差平方和为4.5＋26.75＝31.25. 一组数据的离差平方和为86，第一种分组的组间离差平方和为60，第二种分组的组内离差平方和为a.已知第二种分组比第一种更合理，则a的取值范围是________. 0≤a<26 数据分类 组间离差平方和： 组内离差平方和： 根据组内离差平方和最小原则进行数据分组 数据分类 离差平方和 组内离差平方和 组内离差平方和最小 组间离差平方和 分组原则 组间离差平方和最大 1.下表给出了21名运动员的百米比赛成绩由高到低的分组方案以及组内离差平方和，结合表格可得最合理的分配方案是( ) C 方案 分组情况 组内离差平方和 方案1 第一组9个，第二组12个 0.1019 方案2 第一组10个，第二组11个 0.0985 方案3 第一组11个，第二组10个 0.0898 方案4 第一组12个，第二组9个 0.1242 A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案4 2. 已知6名学生的成绩为 70， 75， 80， 85， 90， 95(单位：分). 将数据分为两组，使组内离差平方和最小化(即组内成绩差异最小)，计算最小组内离差平方和(保留 1 位小数). 解：最小组内离差平方和为 100.0，对应切割点在 80 和 85 之间，数据分组为 {70，75，80} 和 {85， 90，95}. 解：数据分组为 {70，75，80} 和 {85，90，95}， 计算得最小组内离差平方和为 100.0. 3.下面是某工厂 8 台机器去年的月平均维修时长（单位：h）：10，12，14，16，18，20，22，24.将这些维修时长分成两组：第一组，10，12，14，16；第二组，18，20，22，24.试计算上述分组情况下的组内离差平方和与组间离差平方和. 解：第一组的平均数： 第二组的平均数： 8个数据的平均数： 组内离差平方和： 组间离差平方和： 1. 已知一组数据：3， 10， 1， 20. (1)将数据从小到大排序为： ； (2)按“第一个间隔”分组(即切割点在数字 ⁠和 之间)，计算组内离差平方和为 ； (3)按“第二个间隔”分组(即切割点在数字 ⁠和 之间)，计算组内离差平方和为 ； 1，3，10，20　 1　 3　 146　 3　 10　 52　 (5)按“第 个间隔”分组，组内离差平方和最小. 三　 (4)按“第三个间隔”分组(即切割点在数字 ⁠和 之间)，计算组内离差平方和为 ； 10　 20　 解： 第一组的平均数： 第二组的平均数： 组内离差平方和： 2.下面是我国 9 个城市 2024 年 4 月份的平均相对湿度（单位：%）：53，56，61，62，58，58，66，70，65. 将这些平均相对湿度数据分成两组：第一组，53，56，58，58；第二组，61，62，65，66，70.试计算上述分组情况下的组内离差平方和. 3.某校举办了诗词竞赛，满分 10 分，以下是 10 名选手的得分：7，6，7，8，9，6，8，8，8，10.请你按照“组内离差平方和最小”的原则，把这10名选手按得分分成两组. 解：将 10 个数据由小到大排序：6，6，7，7，8，8，8，8，9，10.把 10 个数据分成两组，共有 9 种情况. 分别计算 9 种分组情况的组内离差平方和，结果如下（结果保留三位小数）： 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 10.889 第一组2个，第二组8个 6.875 第一组3个，第二组7个 6.095 第一组4个，第二组6个 4.500 第一组5个，第二组5个 6.000 第一组6个，第二组4个 6.750 第一组7个，第二组3个 6.857 第一组8个，第二组2个 6.000 第一组9个，第二组1个 8.222 计算结果表明，第 4 种情况的组内离差平方和最小. 因此，把这 10 名选手按得分分成的两组是第一组：6，6，7，7；第二组：8，8，8，8，9，10. $