第九章 统计单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 (考查范围：第九章　时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本．若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为(　　) A．120 B．200 C．150 D．100 2．某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分为89,87,93,91,96,94,90,92，这组数据的第25百分位数和平均数分别是(　　) A．89和91.5 B．89.5和91.5 C．90和91.5 D．90.5和92 3．一个容量为60的样本中，数据的最大值是150，最小值是30，组距是12，则样本数据的组数为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 4．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是(　　) 　　 A．图1的平均数＝中位数＝众数 B．图2的众数<中位数<平均数 C．图2的平均数<众数<中位数 D．图3的平均数<中位数<众数 5．某学校高三年级男生共有N1个，女生共有N2个，为调查该年级学生的年龄情况，通过分层随机抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为1，2和S，S.已知1＝2，则该校高三年级全体学生年龄的方差为(　　) A．N1S＋N2S B．N2S＋N1S C.S＋S D.S＋S 6．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，样本量为200，如图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为(　　) A．5 B．7 C．10 D．50 7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月最高气温和平最低气温的雷达图．图中A点表示10月的最高气温约为15 ℃，B点表示4月的最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　) A．各月的最低气温都在0 ℃以上 B．7月的温差比1月的温差大 C．3月和11月的最高气温基本相同 D．最高气温不低于20 ℃的月份有5个 8．某校高二(1)班某次数学考试的平均分为70分，标准差为s，后来发现成绩记录有误，甲同学得80分却误记为60分，乙同学得70分却误记为90分，更正后计算得标准差为s1，则s和s1之间的大小关系是(　　) A．s1>s B．s1<s C．s1＝s D．与人数有关，无法判断 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有(　　) A．应采用分层随机抽样法 B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人 C．乙被抽到的可能性比甲大 D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力 10．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格．若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则(　　) A．成绩在[70,80)分的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1 000 C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 11．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在某次测量中，甲工厂生产的某产品的A样本数据如下：43,50,45,55,60.若乙工厂生产的该产品的B样本数据恰好是由A样本数据中每个数都增加5后得到的，据此可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为________. 13.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，可知成绩在[70,80)的人数为________，估计本次考试成绩的第60百分位数为________(结果精确到 0.01)． 14.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论： ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率； ②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率； ③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定． 其中，所有正确结论的序号是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表： 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由． 16.(15分)在一次数学竞赛考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高一学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900. (1)若采用随机数法抽样，已知用计算机产生的若干0～9范围内的随机数如下，以第3个数5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数． 0　6　5　1　2　9　1　6　9　3　5　8　0　5　7　7　0 9　5　1　5　1　2　6　8　7　8　5　8　5　5　4　8　7 6　6　4　7　5　4　7　3　3　2　0　8　1　1　1　2　4 4　9　5　9　2　6　3　1　6　2　9　5　6　2　4　2　9 4　8　2　6　9　9　6　1　6　5　5　3　5　8　3　7　7 8　8　0　7　0　4　2　1　0　5　0　6　7　4　2　3　2 1　7　5　5　8　5　7　4　9　4　4　4　6　7　1　6　9 4　1　4　6　5　5　2　6　8　7　5　8　7　5　9　3　6 2　2　4　1　2　6　7　8　6　3　0　6　5　5　1　3　0 8　2　7　0　1　5　0　1　5　2　9　3　9　3　9　4　3 (2)若采用比例分配的分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计该校900名考生选做题得分的平均数与方差． 17.(15分)某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案(1)每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案(2)每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中a的值； (2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由；(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替) (3)假设该销售员选择了你在(2)中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单． 18.(17分)某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了100个零件并称出它们的质量(单位：g)．质量按照[495,505)，[505,515)，…，[535,545]分组，得到频率分布直方图如图所示． (1)估计该工厂生产的零件质量的平均数；(每组数据用该组的中点值作代表) (2)估计该工厂生产的零件质量的80%分位数． 19.(17分)某市去年4月1日至4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表. 分组 频数 频率 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] (2)作出频率分布直方图． (3)根据国家标准，污染指数在0～50时，空气质量状况为优；污染指数在51～100时，空气质量状况为良；污染指数在101～150时，空气质量状况为轻微污染；污染指数在151～200时，空气质量状况为轻度污染． 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价． 第九章 统计 (考查范围：第九章　时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A　解析：因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本时，每个个体被抽到的可能性为，所以＝0.25，得N＝120.故选A. 2．B　解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为87,89,90,91,92,93,94,96.又8×25%＝2，所以这组数据的第25百分位数为＝89.5， 平均数为＝91.5. 故选B. 3．A　解析：组数＝＝＝10，故样本数据的组数为10.故选A. 4．C　解析：图1的频率分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确； 图2中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； 图3左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确． 故选C. 5．C　解析：学校高三年级男生共有N1个，所占比例为，女生N2个，所占比例为， 故该校高三年级全体学生年龄的方差为S2＝[S＋(1－)2]＋[S＋(x2－)2]， 当1＝2时，＝1＝2，S2＝S＋S.故选C. 6．D　解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为(0.012 5＋0.025 0＋0.012 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.故选D. 7．D　解析：由题图可得各月的最低气温都在0 ℃以上，故A正确；7月的温差高于5 ℃，而1月的温差低于5 ℃，故B正确；3月和11月的最高气温都在10 ℃左右，基本相同，故C正确；最高气温不低于20 ℃的月份为6、7、8月，有3个，故D错误． 8．B　解析：设更正前的成绩依次为a1，a2，…，an，n∈N*，不妨取a1＝60，a2＝90， 则a1＋a2＋…＋an＝70n，即60＋90＋a3＋…＋an＝70n， (a1－70)2＋(a2－70)2＋…＋(an－70)2＝ns2， 即102＋202＋(a3－70)2＋…＋(an－70)2＝ns2. 更正后平均分为＝＝70， 所以方差为s＝[(80－70)2＋(70－70)2＋(a3－70)2＋…＋(an－70)2] ＝[102＋(a3－70)2＋…＋(an－70)2]＝[ns2－400]＝s2－<s2， 故更正后的标准差s1<s.故选B. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．ABD　解析：由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法．抽样比例为＝，因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确．故选ABD. 10．ABC　解析：由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．故选ABC. 11．BD　解析：对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n， 则n－m＝－＝， 因为没有确定2(x1＋x6)与x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小，故A错误； 对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确； 对于C，因为x1是最小值，x6是最大值， 所以x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，故C错误； 对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确． 故选BD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 55．6　解析：A样本数据为43,50,45,55,60， 所以B样本数据为48,55,50,60,65， 所以B样本数据的均值为×(48＋55＋50＋60＋65)＝55.6. 据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为55.6. 13. 18　76.67　解析：由题图可知，成绩在[70,80)的频率为1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10＝0.3，所以成绩在[70,80)的人数为60×0.3＝18.因为成绩在[40,70)的频率为(0.010＋0.015×2)×10＝0.4，在[40,80)的频率为0.4＋0.3＝0.7>0.6，所以本次考试成绩的第60百分位数在[70,80)中，所以第60百分位数为70＋10×≈76.67. 14. ②③　解析：不能确定甲、乙两校的男女比例，故①不正确； 因为甲、乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，所以甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确； 因为不能确定甲、乙两校的男女比例，所以不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些． (2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好． (3)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好． 16. 解：(1)根据题意，读出的编号依次是512,916(超界)，935(超界)，805,770,951(超界)，512(重复)，687,858,554,876,647,547,332. 将有效的编号从小到大排列，得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876，所以样本编号的中位数为×(647＋687)＝667. (2)由题意得样本平均数为＝×7＋×8＝7.2， 样本方差为s2＝×[4＋(7－7.2)2]＋×[1＋(8－7.2)2]＝3.56. 所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56. 17. 解：(1)因为(0.005×3＋2a＋0.03＋0.015)×(35－25)＝1， 所以a＝0.02. (2)每日人均业务量的平均值为(30×0.005＋40×0.005＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.02＋80×0.015＋90×0.005)×10＝62， 方案(1)人均日收入为100＋62×2＝224元， 方案(2)人均日收入为200＋(62－50)×4＝248元． 因为248元>224元， 所以选择方案(2)． (3)因为40÷400＝0.1，所以该销售员的收入超过了90%的公司销售人员． 由频率分布直方表可知， 前5组的频率和为(0.005×2＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8， 前6组的频率和为(0.005×2＋0.02＋0.03＋0.02＋0.015)×10＝0.95. 因为0.8<0.9<0.95，设该销售员的每日的平均业务量为x， 则(x－75)×0.015＋0.8>0.9， 所以x>81.7.又因为x∈N*， 所以x最小取82. 故他每日的平均业务量至少应达82单． 18. 解：(1)由题意得(0.005＋0.015＋0.02＋0.035＋t)×10＝1，解得t＝0.025. 则各个小组的频率分别为0.15,0.2,0.35,0.25,0.05. 估计该工厂生产的零件质量的平均数约为500×0.15＋510×0.2＋520×0.35＋530×0.25＋540×0.05＝518.5. (2)设80%分位数为x， 因为前三组频率和为0.7，前四组频率和为0.95，所以x∈[525,535)， 所以0.7＋(x－525)×0.025＝0.8，解得x＝529， 即该工厂生产的零件质量的80%分位数为529. 19. 解：(1)频率分布表： 分组 频数 频率 [41,51) 2 [51,61) 1 [61,71) 4 [71,81) 6 [81,91) 10 [91,101) 5 [101,111] 2 (2)频率分布直方图如图所示． (3)答对下述两条中的一条即可： ①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好． ②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数为15，加上处于轻微污染的天数，共17天，占当月天数的，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善． 1/16 学科网（北京）股份有限公司 $