第九章 统计-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册单元测试卷

**基本信息** 该单元卷聚焦《第九章统计》核心内容，通过快递行业、空气质量监测等现实情境与折线图、雷达图等多样图表，考查抽样方法、数据特征及统计应用，适配单元复习，培养数据观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分层抽样、方差、中位数、图表分析|结合空气质量折线图考查标准差比较，体现数学眼光| |多选题|3/18|抽样方法判断、数据特征综合|辨析简单随机抽样与分层抽样，培养推理意识| |填空题|3/15|茎叶图、中位数众数、分层抽样方差|通过体操评分茎叶图计算平均数，强化数据处理| |解答题|5/77|抽样应用、频率分布直方图、决策问题|以鱼卷销售、机器零件决策为情境，考查统计建模，发展应用意识|

人教A版必修第二册《第九章统计》 2025-2026学年单元测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名．现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(    ) A. B. C. D. 2.若某同学连续次考试的名次次考试均没有出现并列名次的情况不超过，则称该同学为班级的尖子生根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是(    ) A. 甲同学：均值为，众数为 B. 乙同学：均值为，方差小于 C. 丙同学：中位数为，众数为 D. 丁同学：众数为，方差大于 3.的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标．如图是某地月日至日的日均值单位：变化的折线图，关于日均值说法正确的是(    ) A. 这天的日均值的中位数为 B. 前天的日均值的极差大于后天的日均值的极差 C. 前天的日均值的标准差大于后天的日均值的标准差 D. 前天的日均值的平均数小于后天的日均值的平均数 4.若样本的平均数是，方差为，则对于样本，下列结论正确的是(    ) A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为 C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为 5.已知甲、乙两组是按大小顺序排列的数据甲组：，，，，，；乙组：，，，，，若这两组数据的第百分位数、第百分位数分别对应相等，则等于(    ) A. B. C. D. 6.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为，下面叙述不正确的是(    ) A. 各月的平均最低气温都在以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于的月份有个 7.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图图、“后”从事快递行业岗位分布条形图图，则下列结论中错误的是(    ) A. 快递行业从业人员中，“后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“后”的人数超过总人数的 C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“后”的人数比“前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“后”的人数比“后”的多 8.哈希表是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构常用的方法之一是“除留余数法”例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置如键值和均映射到同一位置现有一个容量为个位置编号的哈希表，以除留余数法除数为进行映射，需要存储个数据设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是(    ) A. 至少有个位置存放了不少于个数据 B. 若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C. 若的方差为，则的最小值为，最大值为 D. 若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列抽样方法不是简单随机抽样的是(    ) A. 从平面直角坐标系中抽取个点作为样本 B. 某可乐公司从仓库中的箱可乐中一次性抽取箱进行质量检查 C. 某连队从名战士中，挑选出名最优秀的战士去参加抢险救灾活动 D. 从个手机中逐个不放回地随机抽取个进行质量检验假设个手机已编号 10.已知样本数据，则这组数据的(    ) A. 众数为 B. 平均数为 C. 分位数为 D. 方差为 11.某赛季甲、乙两名篮球运动员各场比赛得分情况如表： 场次 甲得分 乙得分 则下列说法正确的是(    ) A. 甲运动员得分的极差与乙运动员得分的极差不同 B. 甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 C. 甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一次体操比赛中，位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示其中茎表示十位数，叶表示个位数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据的平均数为______． 13.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，其中，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第百分位数是          ． 14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取件做使用寿命的测试，则车间应抽取的件数为          ；若，，三个车间产品的平均寿命分别为，，小时，方差分别为，，，则总样本的方差为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某单位有名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如表所示： 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 中年 青年 小计 若要抽取人调查身体状况，则应怎样抽样？ 若要开一个人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ 16.本小题分 鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．小张把去年年底采购鱼卷的数量单位：箱在的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成如表： 采购数单位：箱 客户数 根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在箱以上含箱的“熟客”人数； 若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； 由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调至元，且每下调元销售量可增加箱，求小张在今年年底收入单位：元的最大值． 17.本小题分 某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：    记表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示台机器在购买易损零件上所需的费用单位：元，表示购机的同时购买的易损零件数． 若，求与的函数解析式； 若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于，求的最小值； 假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，或每台都购买个易损零件，分别计算这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买个还是个易损零件？ 18.本小题分 为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自年起全面推行家庭医生签约服务已知该城市居民约为万，从岁到岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图所示为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了名年满周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图所示． 估计该城市年龄在岁以上且已签约家庭医生的居民人数； 据统计，该城市被访者的签约率约为为把该城市年满周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高图中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由． 19.本小题分 某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到名员工近一周每人手机日平均使用流量单位：的数据，其频率分布直方图如图：   若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题． 求这名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数； 在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工名，其手机日使用流量的平均数为，方差为；抽取了女员工名，其手机日使用流量的平均数为，方差为． 已知总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为证明：． 用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差． 人教A版必修第二册《第九章统计》 2025-2026学年单元测试卷 1.【答案】  【解析】解：根据分层抽样原理，设在高二年级的学生中应抽取的人数为，则，解得； 在高二年级的学生中应抽取人． 2.【答案】  【解析】解：甲同学：若均值为，众数为，则有一次名次应为，故排除； 乙同学：均值为，设乙同学次考试的名次分别为，，， 则方差， 则， 所以，，均不大于，符合题意； 丙同学：中位数为，众数为，有可能是，，，不符合题意，故排除； 丁同学：众数为，方差大于，有可能是，，，不符合题意，故排除． 3.【答案】  解：对于，这天中日均值的中位数为，故选项A错误； 对于，前天的日均值的极差为，后天的日均值的极差为，所以B错误； 对于，前天的日均值波动小于后天的日均值， 由折线图和标准差的定义可知前天的日均值的标准差小于后天日均值的标准差，所以C错误； 对于项，前天的日均值的平均数， 后天的日均值的平均数所以D正确． 4.【答案】  解：样本的平均数是，方差为， 所以样本的平均数为，方差为． 5.【答案】  解：因为，，所以第百分位数为，第百分位数为， 解得，所以． 6.【答案】  解：由雷达图知各月的平均最低气温都在以上，正确； B.七月的平均温差大约在左右，一月的平均温差在左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确；C.三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为，正确； D.平均最高气温高于的月份有，，月，故D错误， 7.【答案】  解：由题图可知，快递行业从业人员中，“后”占总人数的，超过一半，故A正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“后”的人数占总人数的百分比为，超过， 所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“”后的人数超过总人数的；故B正确； 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“后”的人数占总人数的百分比为，超过“前”的人数占总人数的百分比，故C正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“后”的人数占总人数的百分比为，小于“后”的人数占总人数的百分比，但“后”从事技术岗位的人数占“后”人数的比未知，不一定正确． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：设为数据除以的余数为的数的个数， 对于选项，， 不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，错； 对于选项，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、， 这些数据除的余数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 所以，，，，，，，， 将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，错； 对于选项，由题意可知，这个数的平均数为， 且，， 因为，， 当这个数中有个，个时，取最小值， 即， 当这个数中有个，个时，取最大值， 即，错； 对于选项，不妨这个数依次为：、、、、、、， 满足极差为，此时，所有位置都有数据， 若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为， 因为，此时至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，对． 9.【答案】  【解析】解：对于，不是简单随机抽样，因为简单随机抽样中总体的个数是有限的，而题中是无限的； 对于，不是简单随机抽样，因为简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取； 对于，不是简单随机抽样，原因是最优秀的名战士是名战士中特定的，不存在随机性，不是等可能抽样．对于，是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是不放回的抽取，且总体数据少． 10.【答案】  【解析】解：把数据从小到大排列，得到．对于：观察得数据出现的次数最多，所以众数为，故A正确．对于：平均数为，故 B正确． 对于：因为一共有个数据，且，所以分位数为第个数，即分位数为，故C错误．对于：方差为 ， 故D正确． 11.【答案】  【解析】解：：甲运动员得分的极差为，乙运动员得分的极差为，A错误， ：甲运动员得分的中位数为，乙运动员得分的中位数为，B正确， ：甲运动员得分的平均数为， 乙运动员得分的平均数为，C错误， ：甲运动员得分的方差为， 乙运动员得分的方差为， ，D正确， 故选：． 计算甲、乙二人的极差，中位数，平均分，方差，比较即可． 本题考查了求平均数，方差，中位数，极差的计算问题，是基础题． 12.【答案】  【解析】解：根据茎叶图知，这个数据从小到大排列为：，，，，，，； 去掉一个最高分，一个最低分，剩余数据的平均数为 ． 故答案为：． 根据茎叶图写出这个数据，计算去掉一个最高分和一个最低分后剩余数据的平均数． 本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查众数、中位数、百分位数的求法，属于基础题． 求出众数，中位数，根据数据的百分位数定义，计算即可． 【解答】 解：数据，，，，，其中的中位数为，众数为， ，， 该组数据，，，，，有个，且， 所以这组数据的第百分位数是第位数，即，即为． 故答案为． 14.【答案】  【解答】解：由分层抽样可得：车间应抽取的件数为； 样本的总体平均数为：， 样本的总体方差为：． 故答案为：；． 15.【答案】解：用分层抽样，因为老年人数为，中年人数为，青年人数为，对应的比例为：：， 若要抽取人，则抽取老年人， 中年人， 青年人． 用分层抽样，因为管理部门人数为为，技术开发部门人数为，营销部门人数为，生产部门人数为，对应的比例为：：：：：：， 若要开一个人的座谈会，则抽取管理部门人， 技术开发部门人，营销部门人，生产部门人．  16.【答案】解：由表一数据，补出值如图如右： 根据上图，可知采购量在以上的客户端数量为： 人， 由图一可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为： 箱， 小张去年年底总的销售量为箱． 若没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为元， 若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为箱， 每箱的利润为元， 则今年的年底小张的收入为 元， ， 小张在今年年底收入单位：元的最大值为元  17.【答案】解：当时， ． 由柱状图知，更换的易损零件数为个频率为， 更换的易损零件数为个频率为， 更换的易损零件数为个频率为， 更换的易损零件数为个频率为 又更换易损零件不大于的频率为不小于． 且 则， 的最小值为件；  假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件， 所须费用平均数为：元，  假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件， 所须费用平均数为元， ， 购买台机器的同时应购买台易损零件．  18.【答案】解：该城市年龄在岁的签约人数为：万， 在岁的签约人数为：万， 在岁的签约人数为：万， 在岁以上的签约人数为：万， 故该城市年龄在岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万； 年龄在岁的人数为：万， 年龄在岁的人数为：万， 所以，年龄在岁的人数大于万，小于万，签约率为， 年龄在岁的人数为万，签约率为． 年龄在岁以上的人数为：万，签约率超过，上升空间不大， 故由以上数据可知这个城市在岁这个年龄段的人数为万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低， 所以为把该地区满周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高这个年龄段的签约率．  19.【答案】解：估计这名员工近一周每人手机日使用流量的众数    由频率分布直方图可知流量少于  的所占比例为  ，流量少于  的所占比例为  ， 所以抽取的名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在  内， 且中位数为  ． 证明：根据方差的定义，总样本的方差为    由  ，可得 同理可得  因此  估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数为   由知，估计该大型企业全体员工手机日使用流量的方差为   1 学科网（北京）股份有限公司 $