4.6 总体的平均数与方差的估计课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

4.6 总体的平均数与方差的估计 1 了解一锅汤的味道 分析一批炮弹的杀伤力 了解这届八年级学生成绩的整体水平 我们知道，当研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差. 问题：在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，那么我们该如何刻画总体的平均水平和离散程度呢？ 用简单随机抽样的方法抽取一个样本，用样本估计总体. 你怎么说明这种做法的合理性呢？ 总体中每个个体都有同等的机会被取到，且前面取到的个体 不影响后面的个体被取到的机会. 当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值. 根据样本数据计算得到的平均数叫作样本平均数，得到的方差叫作样本方差. 例 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件，为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度. 把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265 零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2 （1）求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值； （2）求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值. 解：用简单随机抽样方法从总体中抽取的 100 个零件的质量是一个样本， 将这个样本的平均数记作 ，方差记作 . 甲 甲 甲 ＝ (238×1 + 241×5 + 244×9 + 247×19 + 250×24 + 253×22 + 256×11 + 259×6 + 262×1 + 265×2) ＝250.6 于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是 250.6 g. 质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265 零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2 （1） 质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265 零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2 甲 ＝ [(238 - 250.6)²×1 + (241 - 250.6)²×5 + (244 - 250.6)²×9 + (247 - 250.6)²×19 +(250 - 250.6)²×24+(253 - 250.6)²×22+(256 - 250.6)²×11+ (259 - 250.6)²×6+(262 - 250.6)²×1+(265 - 250.6)²×2] ＝26.82 于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是 26.82. （2） 做一做：在例题中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取 100 个零件，测量它们的质量，整理后得到下表： 质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268 零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1 比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定? 乙 ＝ (236×2 + 240×7 + 242×8 + 245×16 + 250×23 + 252×21 + 254×12 + 256×7 + 260×3 + 268×1)＝249.38. 乙 ＝ [(236 - 249.38)²×2 + (240 - 249.38)²×7 + (242 - 249.38)²×8 + (245 - 249.38)²×16 +(250 - 249.38)²×23 + (252 - 249.38)²×21+(254 - 249.38)²×12 + (256 - 249.38)²×7+(260 - 249.38)²×3 + (268 - 249.38)²×1 ]＝31.1756 由于26.82<31.1756，因此甲车间试生产的零件质量更稳定. （1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？ （2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？ 　　 思考： 反映数据的波动大小． 方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，可用样本方差估计总体方差． 先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况． 总体的平均数与方差的估计 理解样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差的意义 运用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，从而解决实际问题 1.下列说法不正确的是（ ） A.方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 B.用样本方差估计总体方差，当样本容量不大时，样本方差与总体方差相差很大 C.样本方差可以用来估计总体的离散程度 D.对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差 B 2.某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛.下表是这两名运动员 10 次测验成绩（单位：m），你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？ 甲 5.85 5.93 6.07 5.91 5.99 6.13 5.98 6.05 6.00 6.19 乙 6.11 6.08 5.83 5.92 5.84 5.81 6.18 6.17 5.85 6.21 解：甲、乙测验成绩的平均数分别是 x甲 = 6.01 (m) ，x乙 = 6 (m). 方差分别是s2甲≈0.00954，s2乙≈0.02434. 因为s2甲＜s2乙， 所以甲成绩较稳定，应该选甲参加比赛. 3.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近 10 次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下： 甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 （1）这两名运动员的运动成绩各有何特点？ 解:（1）　　　 (585+596+610+ 598+612+597+604+600+613+601)= 601.6(cm)， s2甲 ≈ 65.84； (613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)= 599.3(cm)，s2乙 ≈ 284.21． 由上面计算结果可知：甲队员的平均成绩较好，也比较稳定，乙队员的成绩相对不稳定．但乙队员和甲队员的成绩相比乙队员的成绩比较突出． （2）历届比赛表明，成绩达到 5.96 m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m 就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛． （2）从平均数分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大． 但要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛． $