精品解析：广东东莞实验中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量自查高二数学

2025—2026 学年第二学期期中教学质量自查 高二 数学 命题人：傅利门 审题人：唐建 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项） 1. 计算：（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 3. 的展开式中常数项是（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 求出展开式的通项，令x的指数为0即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 令，即，则常数项为. 故选：B. 4. 端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（ ） A. 4 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子， 则每位同学都有4种不同的购买方式种数，故总共有种不同的购买方式种数. 故选：D 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 6. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 7. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，，求导得到其单调性，从而得到，化简后得到答案. 【详解】令，， 故恒成立， 故在上单调递增， 故，即. 故选：B 8. 已知函数有两个极值点，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题化为有两个实数根，即和在上有两个交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【详解】，， 依题意得有两个左右异号的实根， 即有两个左右异号的实根， 所以和在上有两个交点， ，， 记，， 显然在上恒成立，即在上单调递减，且， 当时，，，所以在上单调递增， 当时，，，所以在上单调递减， 所以，当趋向0时，趋向，当趋向时，趋向0， 综上，当，即时，和在上有两个交点. 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则正整数x的值是1 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，根据排列数公式直接判断；选项B、D，根据组合数公式及性质直接求解；选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果. 【详解】选项A，因为，故A正确； 选项B，，故B正确； 选项C，由， ，得，故C正确； 选项D，因为，所以或，即或6，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减，在上单调递增 B. C. 若，则实数的取值范围是 D. 当时，若方程有且只有一个根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】借助导数可得A；利用函数单调性与可得B；参变分离后构造函数，求导后可得该函数单调性，即可得其最小值，即可得C；利用函数的单调性计算即可得D. 【详解】对A：， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对B：因， 由，及在上单调递增， 可得，故B正确； 对C：，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C正确； 对D：令，即， 由C知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由，， ， 若方程有且只有一个根，则或，故D错误. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 【答案】18 【解析】 【分析】先确定百位数字，再从剩余3个数字中选2个分别作为十位和个位，最后用乘法计算总和即可. 【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择； 而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择， 所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择. 故答案为：18. 13. 展开式中，的系数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分不含项和含一个项两种情况，直接根据组合数的知识进行求解即可. 【详解】展开式中，的项为，则的系数为. 故答案为： 14. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】对已知函数两次求导数，由题意可得函数关于点，对称，即，从而即可得答案． 【详解】解：由题意，，， 由，得，解得，而， 所以函数关于点，对称， 所以， . 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分，要求有解析过程） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为0 【解析】 【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线； （2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值． 【小问1详解】 对函数求导，， ， 所求得的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）有， 令，解得：或， 故函数在递增，在递减， 故函数在取最大值， ，， 故函数在的最大值为4，最小值为0． 16. 某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人． （1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？ （2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？ （3）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？ （4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？ 【答案】（1）8； （2）16； （3）360； （4）540. 【解析】 【分析】（1）由分步乘法计数原理计算即可； （2）分两种情况采用分步乘法计数原理计算即可； （3）定序问题使用除法计算即可； （4）分三所学校人数为三种情况，结合分堆法和分类加法计数原理计算即可. 【小问1详解】 从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，分两步完成， 第一步从男生4人中选1人有4种选法，第二步从女生2人中选1人共2种选法，故有种选法； 【小问2详解】 从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有2种情况： 第一种：男生选2人，女生选1人，共有种选法， 第一种：男生选1人，女生选2人，共有种选法， 故总共有种选法； 【小问3详解】 活动后6人排成一排拍照共有种排法，男生甲与女生乙有2种排法，满足顺序排法相同， 所以活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边共有排法； 【小问4详解】 现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，则三所学校分配志愿者人数为：， 若人数为，则有种安排方法， 若人数为，则有种安排方法， 若人数为，则有种安排方法， 根据分类加法计数原理共有种安排方法. 17. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）台，万元 【解析】 【分析】（1）先通过待定系数法求解出与的关系，然后根据利润定义表示出即可； （2）利用导数分析的单调性，从而可求的最大值以及对应的值. 【小问1详解】 设，代入可得，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 18. 已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. （1）求和的值； （2）若，且，求被5除的余数； （3）若，求的展开式中系数最大的项. 【答案】（1）， 或 ； （2）1 （3），； 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质，可得，根据等差数列的性质列出方程，可求得； （2）由（1）知，将写成，分析其展开式的特点，可得其被5除的余数； （3）根据项的系数最大，列出相应不等式，求出参数，即可求得相应的项. 【小问1详解】 由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且 ，解得 . 第4、5、6项系数、、，成等差数列得 . 由 ，，， 整理得 ，解得 或 . 故 ， 或 ； 【小问2详解】 由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 . 又 ，则     ， 故 被5除的余数为 . 【小问3详解】 由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 . 展开式通项为 ，系数为 ，. 设第 项系数最大，则满足， 由 ，得 ，即 . 由组合数计算公式得 ，故 ，因为，所以. 由 得 ，即 . 故 ，因为，所以，所以. 综上 ，即 或 . 故系数最大的项为第3项和第4项:，； 19. 已知函数． （1）讨论单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）当时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1） 当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）1 （3） 证明：当，且时，则，可得． 要证明，即证， 而， 令，只需证明即可， 由，再令，可得， 由于函数在上单调递增，所以在上单调递增， 则，即在上单调递增， 可得，即在上单调递增， 故，得证. 【解析】 【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，即可得到单调性； （2）分和，两种情况讨论，利用导数求解函数的单调性，求得的最小值，构造函数，求得函数的单调性，结合，即可求解； （3）原不等式即为，转化为，构造，利用导数求得的单调性，结合，证得即可. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，且， ①当时，，故在单调递增； ②当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 解：由函数的定义域为． ①若，由（1）知在单调递增， 因为，所以不满足恒成立； ②若，由（1）知，在单调递减，在单调递增， 故在时取得最小值，所以， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又因为，所以，当且仅当时取到等号， 所以的解为，故所以实数的值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026 学年第二学期期中教学质量自查 高二 数学 命题人：傅利门 审题人：唐建 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项） 1. 计算：（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 2. 函数的单调递增区间是（   ） A. B. C. D. 3. 的展开式中常数项是（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 4. 端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（ ） A. 4 B. 16 C. 32 D. 64 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则正整数x的值是1 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式的二项式系数和为 C. 展开式的各项系数和为 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减，在上单调递增 B. C. 若，则实数的取值范围是 D. 当时，若方程有且只有一个根，则 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 13. 展开式中，的系数为_________. 14. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数；，请你根据上面探究结果，计算__________． 四、解答题（共5小题，共77分，要求有解析过程） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 16. 某校志愿者团队共派出6人参加志愿服务活动，其中男生4人，女生2人． （1）从这6人中选出男、女队长各1人参加志愿服务活动，共有多少种选法？ （2）从这6人中选出3人完成本次活动的宣传工作，其中至少需要1名女生和1名男生，共有多少种选法？ （3）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙左边，有多少种不同的排法？ （4）现要将6名志愿者分配到三所学校参加志愿服活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？ 17. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 18. 已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. （1）求和的值； （2）若，且，求被5除的余数； （3）若，求的展开式中系数最大的项. 19. 已知函数． （1）讨论单调性； （2）若恒成立，求的值； （3）当时，证明：当时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $