精品解析：黑龙江大庆市第四十六中学等校2025—2026学年度第二学期初四年级数学试题

2025—2026学年度第二学期初四年级数学试题 注意事项 1．本试卷共5页、28题、120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　 ） A. B. C. D. 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 3. 点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（ ） A. 原点O在点M左侧 B. 原点O在点N的右侧 C. 原点O在点M、N之间，且 D. 原点O在点M、N之间，且 4. 某班有22名男生和18名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸条上，放在盒子中混合均匀，从中任意抽取一张纸条，抽取到女生的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题有（ ）个 ①两个含角的等腰三角形必相似； ②已知线段，点是的黄金分割点，则； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④平分弦的直径垂直于弦． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 可以借助图、图的方武测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图方式放置，再按图方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A. B. C. D. 9. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、写论文等任务．其每次计算仅需约0.0003秒，将0.0003用科学记数法可表示为___________． 12. 下表是n与（其中n为自然数）的部分对应值表： n 5 10 15 20 25 30 35 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为__________． 13. 已知点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 14. 一元二次方程：与的所有实数根的和为________ 15. 如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且，若，则的长为_____． 16. 已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是10，则的取值范围为 ___________． 17. 如图①，在平行四边形中，，连接与相交于点O，点P从点B出发，沿以的速度匀速运动到点D，图②是点P运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中E，F分别是两端曲线的最低点，则的长为____________ 18. 我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的分函数为． 若是二次函数关于的分函数（其中为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是，最小值是，则的最大值为． 描述中正确的是______________(填序号） 三．解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 已知，求代数式的值. 21. 大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放，已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，通道比人工收费通道少用，分别求人工收费通道和通道每小时通过车辆的数量． 22. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 23. 为弘扬法治精神、丰富校园文化，某校举办“校园法治故事漫画大赛”．评审团为客观分析质量，随机抽取了部分参赛的漫画作品，统计其成绩m（满分：100分）情况，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表： 所抽取漫画作品成绩频数分布表 组别 成绩m/分 参赛作品/幅 组内平均分/分 占抽取作品数的百分比 A 10 64 B 30 76 C a 83 D 20 95 请结合以上信息，解答下列问题： （1）______，______，所抽取漫画作品成绩的中位数位于______组（填组别）； （2）求出所抽取的漫画作品成绩的平均数； （3）若该校共收到1200幅漫画作品，请你估计漫画作品成绩高于80分的漫画数量． 24. 在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若，求的长． 25. 某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）． （1）若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示） （2）若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； （3）若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； （3）如图2，若平分，求点的坐标． 27. 如图所示，是的外接圆，延长至点D，使得，P是半圆上一动点（点P在左上半圆，且不与点A，C重合），连接，，，． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）看一看，想一想，证一证：若，以下与线段，，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 28. 已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2． （1）直接写出抛物线C1的解析式　 　； （2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标； （3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期初四年级数学试题 注意事项 1．本试卷共5页、28题、120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚． 3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数定义，对原式添加负号后去括号化简，匹配得到正确选项，即可作答． 【详解】解：的相反数是． 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 3. 点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（ ） A. 原点O在点M左侧 B. 原点O在点N的右侧 C. 原点O在点M、N之间，且 D. 原点O在点M、N之间，且 【答案】D 【解析】 【分析】由可知，原点在之间，根据， ，进行判断即可． 【详解】解：∵点M，N表示的有理数为a，b ，， ∴异号， ∴原点O在点M、N之间， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数．熟练掌握两个有理数的乘积小于0，两数异号，以及绝对值的意义，是解题的关键． 4. 某班有22名男生和18名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸条上，放在盒子中混合均匀，从中任意抽取一张纸条，抽取到女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式计算可得答案． 【详解】解：共有人，其中女生占18人， 所以抽到女生的概率为． 5. 下列命题中，真命题有（ ）个 ①两个含角的等腰三角形必相似； ②已知线段，点是的黄金分割点，则； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④平分弦的直径垂直于弦． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，黄金分割，菱形的性质，角可以是等腰三角形的顶角或底角，可判断①是假命题；由黄金分割相关概念可判断②是真命题；根据三角形中位线定理及矩形性质可判断③是假命题；根据直径平分弦可判断④是假命题 【详解】解：∵角可以是等腰三角形的顶角或底角， ∴两个含角的等腰三角形不一定相似，故①是假命题； ∵线段，点C是的黄金分割点，当时，则有， 当时，，故②是假命题； 顺次连接一个四边形各边中点得到一个距形，则这个四边形的对角线一定垂直；故③是真命题； 平分弦的直径不一定垂直于这条弦，故④是假命题； 故选：D． 6. 可以借助图、图的方武测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图方式放置，再按图方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设图中长方体木块的长边减短边的长为，桌子的高度为，根据两图形给定的数据，得出关于、的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：设图中长方体的长边减短边的长为，桌子的高度为， 根据题意得， 解得：， 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径画弧，与边相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点E，作射线；③分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点M，N；④作直线，与边相交于点F，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得平分，垂直平分，即可得出，，再由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 8. 小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数图象的平移变换特点，以及代入特殊点排除错误选项即可得到答案． 【详解】解：令得，故函数过原点，所以排除； 的图象可由反比例函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，经过上述变化可得到选项，不能得到． 9. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据△AMC≌△QPE≌△BPD，可知PM=AB，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，经过点P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△QPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确画出分割线是解题的关键． 10. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、写论文等任务．其每次计算仅需约0.0003秒，将0.0003用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中要求，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：由题意得，． 12. 下表是n与（其中n为自然数）的部分对应值表： n 5 10 15 20 25 30 35 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据表格信息分别找出对应的中的n的值，根据同底数幂的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：根据表格信息可得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 13. 已知点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键． 由点A和点B在反比例函数图象上，可求出y₁和y₂的值，再根据y₂>y₁列出不等式求解，需考虑a的取值范围及分母不为零的情况． 【详解】解：∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． ∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． 又∵， ∴． 当时，，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，即， ∵，分母为负， ∴， 解得． 综上，a的取值范围为或． 故答案为或． 14. 一元二次方程：与的所有实数根的和为________ 【答案】2 【解析】 【分析】先确定方程的根的情况，再由 二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：因为方程化为一般形式为， 因为此方程， 所以有两个不相等的实数根，两根之和为， 方程化为一般形式为， 因为此方程， 所以无实数根． 所以与的所有实数根的和为2． 15. 如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解． 【详解】解：连接OD交AC于M． 由折叠的知识可得：OM＝OD＝OA，∠OMA＝90°， ∴∠OAM＝30°， ∴∠AOM＝60°， 的长为，的长为， ∵， ∴∠DOB＝30°， ∴∠AOB＝90°， ， 的长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式、轴对称的性质、解直角三角形，解题关键是根据轴对称和弧长比求出圆心角的度数． 16. 已知关于的代数式有意义，满足条件的所有整数的和是10，则的取值范围为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，体现了分类讨论的思想，根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，根据满足条件的所有整数的和是10，得到，3，2，1或4，3，2，1，0，从而，从而得出答案． 【详解】解：，， ， 满足条件的所有整数的和是10， ，3，2，1或4，3，2，1，0， ， ． 故答案为：． 17. 如图①，在平行四边形中，，连接与相交于点O，点P从点B出发，沿以的速度匀速运动到点D，图②是点P运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中E，F分别是两端曲线的最低点，则的长为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，得出相等的边和三角形的面积关系，然后结合函数图象利用面积求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F分别是两段曲线的最低点，点E的纵坐标为5，点F的纵坐标为， ∴中边上的高为，中边上的高为， ∵， ∴， 解得：， ∴． 18. 我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的分函数为． 若是二次函数关于的分函数（其中为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是，最小值是，则的最大值为． 描述中正确的是______________(填序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】当时，分当时，当时两种情况讨论，可判断①；根据和关于对称，结合图象可判断②；由题意可知，在上，且此时；在上，且此时；列方程求出的值，即可求解． 【详解】解：由题意得， 当时，抛物线的开口向上，，有最小值， 当时，抛物线的开口向下，，随着的增大而减小，有最大值，无最小值， 故①错误； 当时，函数的图象如图1： 由图象可知函数的图象关于点对称， ∵点与点关于点对称， 若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上， 故②正确； 当时，函数的图象如图2： 时，的最大值是，最小值是，求的最大值， 在上，且此时， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 在上，且此时， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 的最大值为， 故③正确； 故答案为：②③． 三．解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求解． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题考查了实数的运算，正确化简各数以及熟练掌握负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质是解答本题的关键． 20. 已知，求代数式的值. 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 21. 大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放，已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，通道比人工收费通道少用，分别求人工收费通道和通道每小时通过车辆的数量． 【答案】人工收费通道每小时通过120辆车，则ETC通道每小时通过300辆车 【解析】 【分析】设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． 22. 如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即 于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知 ，，求∶ （1）的度数 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）过点P作交延长线于T，证明，解求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解；如图所示，过点P作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：点P距离地面的高度约为． 23. 为弘扬法治精神、丰富校园文化，某校举办“校园法治故事漫画大赛”．评审团为客观分析质量，随机抽取了部分参赛的漫画作品，统计其成绩m（满分：100分）情况，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表： 所抽取漫画作品成绩频数分布表 组别 成绩m/分 参赛作品/幅 组内平均分/分 占抽取作品数的百分比 A 10 64 B 30 76 C a 83 D 20 95 请结合以上信息，解答下列问题： （1）______，______，所抽取漫画作品成绩的中位数位于______组（填组别）； （2）求出所抽取的漫画作品成绩的平均数； （3）若该校共收到1200幅漫画作品，请你估计漫画作品成绩高于80分的漫画数量． 【答案】（1）40，30，C （2） （3）720幅 【解析】 【分析】（1）用A组的作品数除以其所占的百分比可求得抽取参赛作品的数量，然后根据整体与部分的关系即可求得a、b的值；再根据中位数的定义即可确定中位数所在的组； （2）用各组的作品数乘以其平均数，然后求和，最后除以抽取作品数即可； （3）用1200乘以C、D两组所占的百分比的和即可解答． 【小问1详解】 解：抽取的总作品数为：（幅）， C组的作品数为：（幅），即； B组作品所占的百分比为：，即． 将成绩从小到大排列，第50、51位均在C组，故所抽取漫画作品成绩的中位数位于C组． 【小问2详解】 解：（分） 答：所抽取的漫画作品成绩的平均数分． 【小问3详解】 解：（幅）． 答：漫画作品成绩高于80分的漫画有720幅． 24. 在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 25. 某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为元．市场调查发现，当销售单价为元时，一天能卖出幅；若每涨价元，一天就会少卖幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为元，剪纸的销售单价上涨元（销售单价不高于元）． （1）若每天投入元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为__________幅；（用含，的代数式表示） （2）若商家计划每天投入广告费元，且希望每天的总销售利润达到元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； （3）若商家决定不投入广告费，求总销售利润与之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）为了扩大销量，应上涨元 （3）当该种剪纸的销售单价上涨元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）先得出销售单价上涨元后的销售量，再求出投入元的广告费后的销售量即可； （2）把代入（1）中表达式，根据总销售利润达到元列一元二次方程，解方程求出的值，根据销售单价不高于元得出符合条件的的值即可； （3）把代入（1）中表达式得销售量为幅，根据利润每件利润销售量即可得出与之间的函数表达式，根据二次函数的性质，结合求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵每涨价元，一天就会少卖幅，销售单价上涨元， ∴每天销售量为， ∵当天投入元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅， ∴实际销售量为幅． 【小问2详解】 解：当时，，销售量为幅， ∵每天的总销售利润达到元， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵销售单价不高于元，即， 解得：， ∴不符合题意，舍去． 答：为了扩大销量，应上涨元． 【小问3详解】 解：不投入广告费时，则，销售量为幅， ∴ ． ∵， ∴时，随的增大而增大， ∵销售单价不高于元，即， ∴当时，取最大值，最大值为（元）． ∴当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； （3）如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【小问1详解】 解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 27. 如图所示，是的外接圆，延长至点D，使得，P是半圆上一动点（点P在左上半圆，且不与点A，C重合），连接，，，． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）看一看，想一想，证一证：若，以下与线段，，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （3） 正确． 理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∵是直径， ∴， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，进行求解即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角得出， 证明， 得出，证明，即可得出答案； （3）过点C作于点H，设，则，根据，得出，从而得出，根据，得出，即，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2． （1）直接写出抛物线C1的解析式　 　； （2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标； （3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为　 　． 【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）Q（﹣，）；（3）n＝（1±2）m 【解析】 【分析】（1）逆向考虑，抛物线C2平移到抛物线C1，即可求抛物线C1的解析式； （2）求出A、B、P的点的坐标，设Q（t，t2-2t-3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，可以证明△BNQ∽△QMP，由相似可得=，求出t即可； （3）求出M、N、E点坐标，设MD的解析式为y=kx+b，将点M代入解析式可得y=kx+m2-km，再由直线MD与抛物线y=x2只有一个交点，联立方程kx+m2-km=x2，由判别式△=0可得k=2m，则直线MD为y=2mx-m2，在求出D点坐标代入MD的解析式即可求解． 【详解】（1）由已知可知，抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C1：y＝ax2+bx+c， ∴抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4， 故答案为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）∵y＝（x﹣1）2﹣4， 令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵点P（，t）在抛物线C1上， ∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣， ∴P（，﹣）， 设Q（t，t2﹣2t﹣3）， 过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N， ∵BQ⊥BP， ∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°， ∴∠BQN＝∠PBM， ∴△BNQ∽△QMP， ∴＝， ∴＝， ∴t＝﹣或t＝3， ∵Q点在第二象限， ∴t＝﹣， ∴Q（﹣，）； （3）∵点M与N在y＝x2上， ∴M（m，m2），N（n，n2） ∵EM∥x轴， ∴E（﹣m，m2）， 设MD的解析式为y＝kx+b， ∴m2＝km+b， ∴b＝m2﹣km， ∴y＝kx+m2﹣km， ∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点， ∴kx+m2﹣km＝x2， ∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0， ∴k＝2m， ∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2， ∵NE＝DE， ∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2）， ∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2， 整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0， ∴n＝（1±2）m， 故答案为n＝（1±2）m． 【点睛】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的平移特点，通过构造直角三角形相似求点的坐标，并会求直线与抛物线交点坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $