黑龙江大庆市第四十六中学等校2025—2026学年度第二学期初四年级数学试题

**基本信息** 以数学核心素养为导向，融合AI计算、机器人表演等科技与生活情境，覆盖代数、几何、统计等模块，通过基础题与综合探究题的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、视图平移、概率计算|第2题结合橡皮擦平移考查视图变化，体现空间观念；第11题以AI计算时间考查科学记数法，关联科技前沿| |填空题|8/24|反比例函数、圆的折叠、新定义“m分函数”|第18题通过新定义函数考查二次函数性质，培养创新意识；第15题扇形折叠问题融合几何直观与推理| |解答题|10/66|方程应用、圆的切线证明、抛物线综合|第25题剪纸销售问题构建利润模型，体现应用意识；第27题圆与相似综合证明，发展逻辑推理能力；第28题抛物线平移与动态几何结合，考查创新应用|

数学答案 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A B B B D C 一．选择题（共10小题） 1．-b+a的相反数的是（　 ） A．-a+b B．-a-b C．b+a D．a-b 【解答】解：-b+a的相反数的是-(-b+a)=b-a=-a+b 故选：A 2.如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘。在此过程中，下列叙述正确的是（　　） A.主视图不变 B.左视图不变 C.俯视图不变 D.三种视图都不变 （2题） 【解答】解：略 故选：B． 3．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a,b.如果ab＜0，a+b＞0，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（　　） A．原点O在点M左侧 B．原点O在点N的右侧 C．原点O在点M、N之间，且|OM|＞|ON| D．原点O在点M、N之间，且|OM|＜|ON| 【解答】解：判断a.b的符号：ab<0∴a.b异号(即一正一负).又：a<b∴.a<0,b>0. 这说明原点位于点M和点N之间。 2.判断a,b的绝对值大小∵.a+b>0 根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号。∵和为正数∴正数的绝对值大于负数的绝对值. 3.确定原点位置：在数轴上，绝对值表示点到原点的距离。 ∴点N到原点的距离大于点M到原点的距离，即|OM|＜|ON| 故选：D． 4．某班有22名男生和18名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸条上，放在盒子中混合均匀，从中任意抽取一张纸条，抽取到女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【解答】解：共有40人，其中女生占18人，所以概率为 故选：C． 5.下列命题中，真命题有（ ）个. ①两个含45°角的等腰三角形必相似； ②已知线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，则AC=-1； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④平分弦的直径垂直于弦。 A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 【解答】解：①两个含45°角的等腰三角形含45°角有两种情况，顶角为45°和底角为45°；两种情况下三角形内角不对应相等。故命题①为假命题。 ②黄金分割点定义为较长线段与全长线段的比等于较短线段与线段的比；此题默认AC为较长线段。故命题②为假命题。 ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直； 中点四边形可得命题③为真命题 ④垂径定理的推论指出平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。此命题忽略了不是直径这一条件。故命题④为假命题。综上。真命题只有③ 故选：A． 6.可以借助图1、图2的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图1方式放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（ ） A. (a-b)cm B. C. D. (6题) 【解答】解：设题图中长方体木块的长边减短边的长为xcm,桌子的高度是hcm,依题意得,解得h= 故选：B． 7．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC长为半径画弧，与边AB相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在∠CAD的内部相交于点E，作射线AE；③分别以点A，B为圆心，大于CD的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在∠CAD的内部相交于点M，N；④作直线MN，与边BC相交于点F，则∠EAF的大小为（ ）A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°，∠BAC=180°-∠B-∠C=110°，由作图可得：AE平分∠BAC，MN垂直平分AB，∴∠BAE=∠BAC=55°，BF=AF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠EAF=∠BAE-∠BAF=25° 故选：B． 8．小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数 （a为常数）的图象的是（　　） A. B.C.D. 【解答】解：令x=0得y=0,故函数过原点，所以D排除；的图象可由反比例函数向右平移a个单位，再向上平移1个单位得到，经过上述变化可得到B选项，不能得到A，C。 故选：B． 9．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（　　） A. B. C. D. 【解答】解：∵经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形面积。如图，经过点P，Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分 ，由图形可知△AMC≌△EPQ≌△BPD，∴AM=PB，∴PM=AB， ∵PM=，∴AB= 故选：D． 10．如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB=1，则△APQ的最大面积是（　　） A. B. C. D. 【解答】解： 如图，过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP，交AP的延长线于点F，连接AC交弧BD于点P1, 则∠QEP=∠CFP=90°. 又∵∠QPC=90°, ∴∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°, ∴∠EQP=∠FPC. 由旋转得PC=PQ ∴△QPE≌△PCF(AAS) ∴EQ=PF. ∵AP+PF≤AC，∴P1C≥PF，即当点P在点P1处时，EQ的值最大，最大值为CP1的长 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AP1=CD=AB=1,∴AC= ∴CP1=, ∴△APQ的最大面积是 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11.是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、写论文等任务其每次计算仅需约0.0003秒，将0.0003用科学记数法可表示为________________ 故答案为：3×10-4． 12．下表是n与2n（其中n为自然数）的部分对应值表： 根据表格提供的信息，计算1024×32768的结果为__________ 【解答】解：根据表格信息可得1024=210，,32768=215，所以1024×32768=210×215=225.∵225=33554432 故答案为：33554432． 13．已知点A（-1，y1）、B（a,y2）在反比例函数y=的图像上，若y2>y1,则a的取值范围是_________________ 【解答】解：∵y=中k=1,所以图象在第一象限或第三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小，若因为-1<0，y2>y1,则a<-1或a>0 故答案为：a<-1或a>0 14．一元二次方程:2x2-7=4x与x2+2x=-3的所有实数根的和为___________ 因为方程2x2-7=4x化为一般形式为2x2-4x-7=0,因为此方程△>0,所以有两个不相等的实数根，两根之和为2，方程x2+2x=-3化为一般形式为x2+2x+3=0,因为此方程△>0，所以无实数根。所以2x2-7=4x与x2+2x=-3的所有实数根的和为2. 故答案为：2 15.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若AC=2，则的长为_____________ 【解答】解：连接OD交AC于M. 由折叠的知识可得：OM=OD=OA,∠OMA=90°, ∴sin∠OAM=,∴∠OAM=30°,∴∠AOM=60°，∵，∴∠BOD=30°，∴∠AOB=90° ∵AC=2，∴AO=，∴弧AB的长为， 故答案为：． 16.已知关于x的代数式有意义，满足条件的所有整数x的和是10，则a的取值范围为______________________ 【解答】解：由题意得：4-x≥0,x-a-2≥0,∴a+2≤x≤4，又∵满足条件的所有整数x的和是10,∴x可取4,3,2,1或4,3,2,1,0,∴-3<a≤-1 故答案为：-3<a≤-1 17．如图①，在平行四边形ABCD中，BC=15cm,连接AC、BD，AC与BD相交于点O，点P从点B出发，沿B-C-D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图②是点P运动时，线段OP的长y(cm)随时间t(s)变化的函数关系图象，其中E，F分别是两端曲线的最低点，则AB的长为_______________ 【解答】解：解：四边形ABCD是平行四边形，:OB=OD, AB=CD,:.S△BOC=S△COD, ∵E,F分别是两段曲线的最低点，点E的纵坐标为5，点F的纵坐标为, ∴△BCO中BC边上的高为5cm,△COD中CD边上的高为cm, ∵BC=15cm, ∴,解得：CD=, AB=cm. 故答案为：cm． 18．我们称函数为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y=x+4的3分函数为． 若是二次函数y=x2-2x-4关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当m≥1时，的最小值为-5； ②当m=1时，若点P(a,b)(a≠0）在函数的图象上，则点Q（2-a,-b）也在函数的图象上； ③当m=-1时，若时，的最大值是5，最小值是-1，则x2-x1的最大值为．描述中正确的是______________(填序号） 【解答】解：由题意得： 当抛物线的开口向上，y′=x2-2x-4=（x2-2x+1）-5=（x-1）2-5，有最小值-5， 当抛物线的开口向下，y′有最大值，无最小值． 故①错误； 当m=1时，函数y′的图象如图1： ∵x=a和x=2-a关于x=1对称， ∴若点P（a,b）（a≠1）在函数y′的图象上，则点Q（2-a,-b）也在函数y′的图象上． 故②正确； 当m=-1时，函数y′的图象如图2： ∵x1≤x≤x2时，y′的最大值是5，最小值是-1，求x2-x1的最大值， ∴x1在y=x2-2x-4上，且此时y=5， x2-2x-4=5， x2-2x+1=10， （x-1）2=10， ∴x=1+（不合题意，舍去）或x=1-, x2在y=-x2+2x+4上，且此时y=-1， -x2+2x+4=-1， x2-2x-5=0， 解得：x=1+或x=-1-（不合题意，舍去）， ∴x2-x1的最大值为1+-（1-）=+ 故③正确， 故答案为：②③ 三．解答题（共10小题） 19．（4分）计算：． 【解答】解：原式1-(3-)+1-+4=3． 20．（4分）已知a-b-1=0,求代数式的值 【解答】解：∵a-b-1=0,∴a-b=1,原式,∵a-b=1，∴原式=3 21．（5分）大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和ETC通道同时开放已知ETC通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，ETC通道比人工收费通道少用3h分别求人工收费通道和ETC通道每小时通过车辆的数量． 【解答】解：解：设人工收费通道每小时通过x辆车，则ETC通道每小时通过2.5x辆车， 根据题意得： 解得：x=240， 经检验，x=240是所列方程的解，且符合题意， ∴2.5x=2.5×240=600（辆）． 答：人工收费通道每小时通过240辆车，ETC通道每小时通过600辆车． 22．（6分）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN 于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A，CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．(这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分)．已知AB=80cm,AP=50cm, ∠DCE=50°。 （图1）（图2） （1）求∠CAB的度数。 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到1cm．参考数据∶) 解：（1）如图1过点A作AH∥CD， 由题意可得：∠ABN=90°， ∵CD∥MN，AH∥CD， ∴AH∥CD∥MN， ∴∠EAH=∠DCE=50°，∠BAH=∠ABN=90°， ∴∠CAB=∠EAH+∠BAH=140°； （2）如图2过点P作PT⊥HA交HA延长线于T， ∵∠PAC=90°， ∴∠PAT=180°-90°-50°=40°， ∴PT=AP•sin∠PAT=50•sin40°≈50×0.643≈32（cm）， ∴AB+PT=112cm, 答：点P距离地面的高度约为112cm. 23.（7分）为弘扬法治精神、丰富校园文化，某校举办“校园法治故事漫画大赛”．评审团为客观分析赛事质量，随机抽取了部分参赛的漫画作品，统计其成绩m（满分：100分）情况，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表： 所抽取漫画作品成绩频数分布表 组别 成绩m/分 参赛作品/幅 组内平均分/分 占抽取作品数的百分比 A 10 64 10% B 30 76 b% C 83 40% D 20 95 20% 请结合以上信息，解答下列问题： （1）a=_____，b=_____，所抽取漫画作品成绩的中位数位于_____组（填组别）； （2）求出所抽取的漫画作品成绩的平均数； （3）若该校共收到1200幅漫画作品，请你估计漫画作品成绩高于80分的漫画数量． 【解答】解：解：（1）由题意可知，A组的频数为10，其频率为10%，故抽取的总作品数为：10÷10%=100（幅）， C组的作品数为：100×40%=40（幅），即a=40； B组作品所占的百分比为：30÷100×100%=30%，即b=30． 将成绩从小到大排列，第50、51位均在C组，故所抽取漫画作品成绩的中位数位于C组． 故答案为：40，30，C； （2）（10×64+30×76+40×83+20×95）÷100=81.4（分） 答：所抽取的漫画作品成绩的平均数81.4分． （3）1200×（40%+20%）=720（幅）． 答：漫画作品成绩高于80分的漫画有720幅． 24．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使，连结EF，CE，DF．（1）求证：四边形CDFE是平行四边形． （2）连结DE，交AC于点O，若AB＝BD＝6，求DE的长． 【解答】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC，EF=， ∴CD∥EF， ∵CD= ∴CD=EF， ∴四边形DCEF是平行四边形； （2）解：∵CD=，BD=AB=6， ∴CD=BD=2，BC=BD=4， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCD=90°， 在Rt△ABC中，AC= 在平行四边形DCEF中，OC=CF=AC=，DE=2OD， 在Rt△OCD中，OD= ∴DE=2OD= 25．(8分）某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为10元．市场调查发现，当销售单价为12元时，一天能卖出40幅；若每涨价1元，一天就会少卖2幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入m元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为W元，剪纸的销售单价上涨x元（销售单价不高于20元）． （1）若每天投入m元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为______________幅；（用含x,m的代数式表示） （2）若商家计划每天投入广告费100元，且希望每天的总销售利润达到420元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； （3）若商家决定不投入广告费，求总销售利润w与x之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）∵每涨价1元，一天就会少卖2幅，销售单价上涨x元， ∴每天销售量为（40-2x）幅， ∴实际销售量为（40-2x+5）幅． 故答案为：（40-2x+5）； （2）当m=100时，5=50，销售量为40-2x+5=（90-2x）幅， ∵每天的总销售利润达到420元， ∴（12+x-10）（90-2x）=420， 解得：x1=3，x2=40． ∵销售单价不高于20元，即12+x≤20， 解得：x≤8， ∴x=40不符合题意，舍去． 答：为了扩大销量，应上涨3元． （3）不投入广告费时，则m=0，销售量为（40-2x）幅， ∴w=（12+x-10）（40-2x） =-2x2+36x+80 =-2（x-9）2+242． ∵-2＜0， ∴x≤9时，w随x的增大而增大， ∵销售单价不高于20元，即x≤8， ∴当x=8时，w取最大值，最大值为-2（8-9）2+242=240（元）． ∴当该种剪纸的销售单价上涨8元时，每天的销售利润最大，最大利润是240元． 26.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数的图象交于点A（4，a）,与y轴交于点B，经过点A，点O的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，△AHC是以AC为斜边的直角三角形。(1)求反比例函数解析式； （2）如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； （3）如图2，若AH平分∠BAC，请直接写出点H的坐标 【解答】解：（1）∵一次函数y=-x+6经过点A（4，a）， ∴a=-4+6=2， ∴点A（4，2）， ∵反比例函数y=经过点A（4，2）， ∴k=4×2=8， ∴反比例函数的解析式为y= （2）作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N， ∴AM=2，AN=4， ∵直线AC与双曲线y=关于原点中心对称， ∴点A，点C关于原点中心对称， ∵点A（4，2）， ∴点C（-4，-2）且OA=OC， ∴在Rt△AOM中，∠AMO=90° ∴OC=OA= ∴AC=4 ∵∠AHC=90°，HO是斜边AC上的中线， ∴HO=AC=2， 一次函数y=-x+6，当x=0时，y=6， ∴B（0，6）， ∴OB=6， ∵HO=2，HB=6-2 ∴S△BAH=×4×（6-2）=12-4 （3）延长CH交AB的延长线于点D， ∵AH平分∠BAC， ∴∠DAH=∠CAH， ∵△AHC为直角三角形，且AC斜边，点H在第二象限， ∴∠AHD=∠AHC=90° 在△AHD和△AHC中， ∴△AHD≌△AHC（ASA）， ∴HD=HC，AD=AC， 即点H是CD的中点， ∵点D在直线y=-x+6上， ∴设点D（t,-t+6）， ∵点D在第二象限， ∴t＜0， ∵AD=AC， ∴（t-4）2+（-t+6-2）2=（4）2， ∴2（t-4）2=（4）2， 解得：t=4-2，t=4+2（不合题意，舍去）， ∴-t+6=-（4-2）+6=2+2 ∴点D（4-2，2+2）， ∵点H是CD的中点， ∴点H的坐标为（-，）． 27.（9分）如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，延长AB至点D，使得BC2=BD•AB，P是半圆弧AC上一动点（点P在左上半圆，且不与点A，C重合），连接PA，PB，PC，CD． （1）若∠PAB=65°，求∠PCB的度数； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）看一看，想一想，证一证：若AB=2BC，以下与线段PA，PB，PC有关的三个结论： PA＞PB−2PC，PA＝PB−2PC，PA＜PB−2PC，你认为哪个正确？请说明理由． 【解答】（1）∵四边形ABCP是圆内接四边形，∴∠PAB+∠PCB=180°，∵∠PAB=65°，∴∠PCB=115°； （2）∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠CBD=∠ABC=90°， ∵BC2=BD•AB， ∴， ∴△ABC∽△CBD， ∴∠CAB=∠DCB， ∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠CAB=90°， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （3）PA=PB-2PC正确．理由如下： 过点C作CH⊥PB于点H，如图所示： ∵AC是直径， ∴∠ABC=∠APC=90°， ∵AB=2BC， ∴设BC=x，则AB=2x， 由勾股定理得AC=x， ∵∠CPH=∠CAB， ∴cos∠CPH=cos∠CAB， ∴ ∴PH=PC， ∵∠CBH=∠PAC， ∴cos∠CBH=cos∠PAC， ∴ ∴BH=， ∴PB=PH+BH=PC+PA=， ∴PA=PB-2PC 28.（9分）已知抛物线C1：y=ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y=x2． （1）直接写出抛物线C1的解析式; （2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标； （3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE=DE，设点M，N的横坐标分别为m,n,直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为____________ 【解答】解：（1）由已知可知，抛物线C2：y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C1：y=ax2+bx+c, ∴抛物线C1：y=（x-1）2-4， 故答案为y=（x-1）2-4； （2）∵y=（x-1）2-4， 令y=0，（x-1）2-4=0， 解得x=3或x=-1， ∴A（-1，0），B（3，0）， ∵点P（，t）在抛物线C1上， ∴t=（-1）2-4，解得t=- ∴P（，-）， 设Q（t,t2-2t-3）， 过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N， ∵BQ⊥BP， ∴∠QBN+∠MBP=∠QBN+∠MQN=90°， ∴∠BQN=∠PBM， ∴△BNQ∽△QMP， ∴∴ ∴t=-或t=3， ∵Q点在第二象限， ∴t=-，∴Q（-，）； （3）∵点M与N在y=x2上， ∴M（m,m2），N（n,n2） ∵EM∥x轴， ∴E（-m,m2）， 设MD的解析式为y=kx+b, ∴m2=km+b, ∴b=m2-km, ∴y=kx+m2-km, ∵直线MD与抛物线y=x2只有一个交点， ∴kx+m2-km=x2， ∴Δ=k2-4（m2+km）=0， ∴k=2m, ∴直线MD的解析式为y=2mx-m2， ∵NE=DE， ∴D（-2m-n,2m2-n2）， ∴2m2-n2=2m（-2m-n）-m2， 整理得，n2-2mn-7m2=0， ∴n=（1±2）m, 故答案为n=（1±2）m. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ 准考证号 班 级 姓 名 △△△△△○ △△△△△ 装 △△△△△ △△△△△ 订 △△△△△ △△△△△ 线 △△△△△ △△△△△ 内 △△△△△ △△△△△ 不 △△△△△ △△△△△ 要 △△△△△ △△△△△ 答 △△△△△ △△△△△ 题 △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ )2025—2026学年度第二学期初四年级数学试题 注意事项 1. 本试卷共5页、28题、120分。考试时间120分钟。 2. 答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚。 3. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 5. 保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．-b+a的相反数的是（　 ） A．-a+b B．-a-b C．b+a D．a-b 2.如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘。在此过程中，下列叙述正确的是（　　） A.主视图不变 B.左视图不变C.俯视图不变D.三种视图都不变 （2题）(3题) 3．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a,b.如果ab＜0，a+b＞0，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（　　） A．原点O在点M左侧 B．原点O在点N的右侧 C．原点O在点M、N之间，且|OM|＞|ON| D．原点O在点M、N之间，且|OM|＜|ON| 4．某班有22名男生和18名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸条上，放在盒子中混合均匀，从中任意抽取一张纸条，抽取到女生的概率是（ ） A. B. C. D. 5.下列命题中，真命题有（ ）个. ①两个含45°角的等腰三角形必相似； ②已知线段AB=2，点C是AB的黄金分割点，则AC=-1； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直； ④平分弦的直径垂直于弦。 A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 6.可以借助图1、图2的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图1方式放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（ ） A. (a-b)cm B. C. D. (6题) (7题) 7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC长为半径画弧，与边AB相交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在∠CAD的内部相交于点E，作射线AE；③分别以点A，B为圆心，大于CD的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在∠CAD的内部相交于点M，N；④作直线MN，与边BC相交于点F，则∠EAF的大小为（ ）A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 8.小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数 （a为常数）的图象的是（　　） A. B.C.D. 9.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（　　） A. B. C. D. (9题) (10题） 10.如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB=1，则△APQ的最大面积是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、写论文等任务其每次计算仅需约0.0003秒，将0.0003用科学记数法可表示为________________ 12．下表是n与2n（其中n为自然数）的部分对应值表： 根据表格提供的信息，计算1024×32768的结果为__________ 13.已知点A（-1，y1）、B（a,y2）在反比例函数y=的图像上，若y2>y1,则a的取值范围是_________________ 14．一元二次方程:2x2-7=4x与x2+2x=-3的所有实数根的和为___________ 15.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若AC=2，则的长为_____________ 16.已知关于x的代数式有意义，满足条件的所有整数x的和是10，则a的取值范围为______________________ 17.如图①，在平行四边形ABCD中，BC=15cm,连接AC、BD，AC与BD相交于点O，点P从点B出发，沿B-C-D以1cm/s的速度匀速运动到点D，图②是点P运动时，线段OP的长y(cm)随时间t(s)变化的函数关系图象，其中E，F分别是两端曲线的最低点，则AB的长为_______________ （15题）（17题） 18．我们称函数为函数y的m分函数（其中m为常数）．例如：对于关于x的一次函数y=x+4的3分函数为． 若是二次函数y=x2-2x-4关于x的m分函数（其中m为常数）．则下列结论中 ①当m≥1时，的最小值为-5； ②当m=1时，若点P(a,b)(a≠0）在函数的图象上，则点Q（2-a,-b）也在函数的图象上； ③当m=-1时，若时，的最大值是5，最小值是-1，则x2-x1的最大值为．描述中正确的是______________(填序号） ( △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ 准考证号 班 级 姓 名 △△△△△○ △△△△△ 装 △△△△△ △△△△△ 订 △△△△△ △△△△△ 线 △△△△△ △△△△△ 内 △△△△△ △△△△△ 不 △△△△△ △△△△△ 要 △△△△△ △△△△△ 答 △△△△△ △△△△△ 题 △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△ △△△△△○ △△△△△ △△△△△ )三．解答题（本大题共10小题，共66分） 19．（4分）计算：． 20.（4分）已知a-b-1=0,求代数式的值 21.（5分）大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和ETC通道同时开放已知ETC通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，ETC通道比人工收费通道少用3h分别求人工收费通道和ETC通道每小时通过车辆的数量． 22.（6分）如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN，小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC，即AB⊥MN 于点B，CD∥MN，AP⊥AC于点A，CE是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间．(这里的小腿CD，CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分)．已知AB=80cm,AP=50cm, ∠DCE=50°. （22题） (24题） （1）求∠CAB的度数。 （2）点P距离地面的高度．(结果精确到1cm．参考数据∶) 23.（7分）为弘扬法治精神、丰富校园文化，某校举办“校园法治故事漫画大赛”．评审团为客观分析赛事质量，随机抽取了部分参赛的漫画作品，统计其成绩m（满分：100分）情况，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表： 所抽取漫画作品成绩频数分布表 组别 成绩m/分 参赛作品/幅 组内平均分/分 占抽取作品数的百分比 A 10 64 10% B 30 76 b% C 83 40% D 20 95 20% 请结合以上信息，解答下列问题： （1）a=_____，b=_____，所抽取漫画作品成绩的中位数位于_____组（填组别）； （2）求出所抽取的漫画作品成绩的平均数； （3）若该校共收到1200幅漫画作品，请你估计漫画作品成绩高于80分的漫画数量． 24．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，E、F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使，连结EF，CE，DF．（1）求证：四边形CDFE是平行四边形． （2）连结DE，交AC于点O，若AB＝BD＝6，求DE的长． 25.(8分）某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为10元．市场调查发现，当销售单价为12元时，一天能卖出40幅；若每涨价1元，一天就会少卖2幅．同时，考虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关．经测算，若当天投入m元的广告费，则销售量会在原基础上增加幅．设这种剪纸每天的总销售利润为w元，剪纸的销售单价上涨x元（销售单价不高于20元）． （1）若每天投入m元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为______________幅；（用含x,m的代数式表示） （2）若商家计划每天投入广告费100元，且希望每天的总销售利润达到420元．为了扩大销量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格； （3）若商家决定不投入广告费，求总销售利润w与x之间的函数表达式，并求出当销售单价上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ 26.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数的图象交于点A（4，a）,与y轴交于点B，经过点A，点O的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，△AHC是以AC为斜边的直角三角形。(1)求反比例函数解析式； （2）如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； （3）如图2，若AH平分∠BAC，请直接写出点H的坐标 27.（9分）如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，延长AB至点D，使得BC2=BD•AB，P是半圆弧AC上一动点（点P在左上半圆，且不与点A，C重合），连接PA，PB，PC，CD． （1）若∠PAB=65°，求∠PCB的度数； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）看一看，想一想，证一证：若AB=2BC，以下与线段PA，PB，PC有关的三个结论： PA＞PB−2PC，PA＝PB−2PC，PA＜PB−2PC，你认为哪个正确？请说明理由． 28.（9分）已知抛物线C1：y=ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y=x2． （1）直接写出抛物线C1的解析式; （2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标； （3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE=DE，设点M，N的横坐标分别为m,n,直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为____________ ( 第 1 页 共 7 页 )初四年级数学试题 学科网（北京）股份有限公司 $■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 回回 2025-2026学年度第二学期初四年级数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 o] [o] [0] [0] [0] [o] o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [ [1] [1] [1] [1] 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 21 [2] [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效， [4] [4] [4] [4] [4] [4] 4] 5. 保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] [51 [5] [5 [6] [6] [6] [6] [6] [61 [6] 6] 正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [ [] [ [81 81 [8] [8] [8] [8l [81 [ [9] [9 [9] [9] [9] [9] [9] [9] 单选题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9A][B][C][D] 5[A][B][C][D] I0[A][B][C][D] 填空题 11 12 13 14 15. 16. 17. 18. 解答题 19. 4分)计算：（π-3°-p2-+(-D216-8+(-)2 囚囚■ 20.(4份)已知a-b1=0,求代数式3Ca-2b)+3b 的值 a2-2ab+b2 21.(5分) 22.(6分) D mto M 图1 图2 O 23.(7分)(1)a=,b=一，所抽取漫画作品成绩的中位数位于组（填组别）： (2) (3) 囚囚■ ■ 24.(6分) I 25.(8分) 1 26.(8分) HO 图1 图2 I ■ 囚■囚 囚■囚 图由出學 8 0 N (6)8z a8, 0 0 (6)LZ d 口△△△△△ △△△△△ 2025一2026学年度第二学期初四年级数学试题 △△△△△ 注意事项 △△△△△O 1.本试卷共5页、28题、120分。考试时间120分钟。 △△△△△ 2.答题前，考生先将自己准考证号、班级、姓名在试卷、答题卡相应位置填写清楚。 准考证号 3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 班 级 4.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试卷上答题无效。 姓 名 5.保持答题卡清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一。选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） △△△△△O 1.-b+a的相反数的是() △△△△△装 A. -a+b B.-a-b C.bta D.a-b △△△△△ 2.如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘。在此过程中， △△△△△订 △△△△△ 下列叙述正确的是( ) △△△△△线 A.主视图不变 B.左视图不变C.俯视图不变D.三种视图都不变 △△△△△ △△△△△内 △△△△△ △△△△△不 正面 (2题) (3题) △△△△△ △△△△△要 3.点M,N在数轴上的位置如图所示，点M,N表示的有理数为a,b.如果ab<0,a+b>0,那 △△△△△ 么下列描述数轴原点的位置说法正确的是() △△△△△答 △△△△△ A.原点0在点M左侧 B.原点O在点N的右侧 △△△△△题 i C.原点O在点M、N之间，且OM>OND.原点O在点M、N之间，且OM<ON △△△△△ 4.某班有22名男生和18名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸条上，放在盒子中混 △△△△△O 合均匀，从中任意抽取一张纸条，抽取到女生的概率是() △△△△△ 18 △△△△△ A. B. 9 11 22 2 D. 20 △△△△△ △△△△△ △△△△△O 初四年级数学试题 第1页 ∧∧∧∧∧ 5.下列命题中，真命题有()个. ①两个含45°角的等腰三角形必相似： ②已知线段AB=2,点C是AB的黄金分割点，则AC=√5-1； ③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直： ④平分弦的直径垂直于弦。 A.1个B.2个C.3个D.4个 6.可以借助图1、图2的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按 图1方式放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是() A.(a-b)cm B. +b]mD 图1 图2 (6题) (7题) 7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC长为半径 画。与边侣相胶于点：@分测以点c,了为圆心，大于号D的长为年径面孩（弧所在圆的 半径相等)，两弧在∠CAD的内部相交于点E,作射线AE;③分别以点A,B为圆心，大于1CD 的长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧在∠CAD的内部相交于点M,N;④作直线MN, 与边BC相交于点F,则∠EAF的大小为( )A.20° B.25 C.30° D.35° 8.小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数 y=- a+1(a为常数)的图象的是（） x-a 共4页 9.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共 顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分， 则剪痕的长度是( ) A.2V2 2B.5 C. 35 D.10 (9题) B(10题) 1O.如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP,CP,将线 段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ,连接AQ.若AB=1,则△APQ的最大面积是() A.1 8. 2-√5 C. √2-1 D.√2+1 4 2 2 二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.ChatGPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够真正像人类一样来聊天交流， 甚至能完成撰写邮件、视频脚本、写论文等任务.其每次计算仅需约0.0003秒，将0.0003用 科学记数法可表示为 12.下表是n与2（其中n为自然数）的部分对应值表： 5 10 15 20 25 30 35 2 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算1024×32768的结果为 13.已知点A(-1,y)、B(ay2)在反比例函数y=1的图像上，若y>y,则a的取值范围是 14.一元二次方程：2x2-7=4x与x2+2x=-3的所有实数根的和为 初四年级数学试题 第2页 15.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点0恰好落在AB上的点D 处，且'm元=1：2，若AC=2,则B的长为 16.己知关于x的代数式√4-x+√x-a-2有意义，满足条件的所有整数x的和是10，则a 的取值范围为 17.如图①，在平行四边形ABCD中，BC=15cm,连接AC、BD,AC与BD相交于点O,点P从点B 出发，沿B-C-D以1cm/s的速度匀速运动到点D,图②是点P运动时，线段OP的长y(cm)随时 间t(s)变化的函数关系图象，其中E,F分别是两端曲线的最低点，则AB的长为 y/cm 5N5 35 D (15题) t/s (17题) y=(x≤m) 18.我们称函数 -(x>m为函数y的m分函数（其中m为常数）.例如：对于关于x的 x+4(x≤3) 一次函数y=x+4的3分函数为 -x-4(x>3) 若y是二次函数y=x-2x-4关于x的m分函数（其中m为常数）.则下列结论中 ①当m≥1时，y的最小值为-5； ②当m=1时，若点P(a,b)(a≠0)在函数y'的图象上，则点Q(2-a,-b)也在函数y'的图象上； ③当m=-1时，若x≤x≤x2时，y'的最大值是5，最小值是-1，则xx,的最大值为√6+√10.描 述中正确的是 (填序号) 共4页 △△△△△ 三.解答题（本大题共10小题，共66分） △△△△△ △△△△△ 19.(4分)计算：（π-3P-5-+(-D26-8+(-)2。 △△△△△O △△△△△ 准考证号 20.(4分)已知ab-1=0,求代数式3(a-2b)+3弘的值 a2-2ab+b2 班 级 21.(5分)大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和ETC通道同时开放·已知ET℃ 通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，ETC 姓 名 通道比人工收费通道少用3h分别求人工收费通道和ETC通道每小时通过车辆的数量. △△△△△O △△△△△装 △△△△△ 22.（6分)如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的 △△△△△订 几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN,小腿部分CD刚好与地面MN平行，上身AP垂 △△△△△ △△△△△线 直于大腿AC,即AB⊥MN于点B,CD∥MN,AP⊥AC于点A,CE是机器人小腿CD上踢后与大腿 △△△△△ AC在同一直线的瞬间.（这里的小腿CD,CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）.已知 △△△△△内 △△△△△ AB=80cm,AP=50cm,∠DCE=50°」 △△△△△不 D △△△△△ △△△△△要 △△△△△ (22题) (24题) △△△△△答 M 7777777777777777777777777 △△△△△ 图1 图2 B △△△△△题 (1)求∠CAB的度数。 △△△△△ △△△△△O (2)点P距离地面的高度.（结果精确到1cm.参考数据： △△△△△ sin40°≈0.643，c0s40°≈0.766，tan40°≈0.839) △△△△△ △△△△△ △△△△△ 初四年级数学试题 第3页 △△△△△O △△△△△ 23.(7分)为弘扬法治精神、丰富校园文化，某校举办“校园法治故事漫画大赛”，评审团 为客观分析赛事质量，随机抽取了部分参赛的漫画作品，统计其成绩m(满分：100分)情况， 并将调查结果绘制成如下不完整的统计表： 所抽取漫画作品成绩频数分布表 组内平均分/ 占抽取作品数 组别 成绩m/分 参赛作品/幅 分 的百分比 A 60<m≤70 10 64 10% B 70<m≤80 30 76 b% 80<m≤90 a 83 40% D 90<m≤100 20 95 20% 请结合以上信息，解答下列问题： (1)a=一，b=一一，所抽取漫画作品成绩的中位数位于_-组（填组别）； (2)求出所抽取的漫画作品成绩的平均数； (3)若该校共收到1200幅漫画作品，请你估计漫画作品成绩高于80分的漫画数量. 24.(6分)在Rt△ABC中，∠C-90°，E、F分别是边AB,AC的中点，延长BC到点D,使CD= 连结EF,CE,DF.(1)求证：四边形CDFE是平行四边形. (2)连结DE,交AC于点O,若AB=BD=6,求DE的长. 共4页 25.(8分)某文创店销售南充特色剪纸工艺品，已知每幅剪纸的成本价为10元.市场调查发 现，当销售单价为12元时，一天能卖出40幅：若每涨价1元，一天就会少卖2幅.同时，考 虑到薄利多销，销售量不仅与价格有关，还与当天的广告宣传投入有关.经测算，若当天投入 m元的广告费，则销售量会在原基础上增加5V幅.设这种剪纸每天的总销售利润为w元， 剪纸的销售单价上涨×元（销售单价不高于20元）· (1)若每天投入m元的广告费，则每天这种剪纸的实际销售量为 幅；（用含 x,m的代数式表示) (2)若商家计划每天投入广告费100元，且希望每天的总销售利润达到420元.为了扩大销 量、提高知名度，请你为店主选择一个合适的上涨价格： (3)若商家决定不投入广告费，求总销售利润w与x之间的函数表达式，并求出当销售单价 上涨多少元时，每天的总销售利润最大？最大利润是多少？ k 26.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y=二的图象 交于点A(4,a),与y轴交于点B,经过点A,点0的直线与反比例函数y=的图象在第三 象限交于点C,△AHC是以AC为斜边的直角三角形。(1)求反比例函数解析式： (2)如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； (3)如图2，若AH平分∠BAC,请直接写出点H的坐标 图1 图2 初四年级数学试题 第4页 27.(9分)如图所示，⊙0是△ABC的外接圆，延长AB至点D,使得BC=BD·AB,P是半圆弧 AC上一动点（点P在左上半圆，且不与点A,C重合），连接PA,PB,PC,CD. (1)若∠PAB=65°，求∠PCB的度数； (2)求证：CD是⊙0的切线： (3)看一看，想一想，证一证：若AB=2BC,以下与线段PA,PB,PC有关的三个结论： PA>√5PB-2PC,PA=√5PB-2PC,PA<√5PB-2PC,你认为哪个正确？请说明理由. BD 28.(9分)己知抛物线C,:y=ax+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得 到抛物线C2:y=x. (1)直接写出抛物线C的解析式 (2)如图1，已知抛物线C与x轴交于A,B两点，点A在点B的左侧，点P( ,t)在抛物 2 线C,上，QB⊥PB交抛物线于点Q.求点Q的坐标； (3)已知点E,M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线 C2只有一个公共点(MD与y轴不平行)，直线DE与抛物线交于另一点N.若线段NE=DE,设点 M,N的横坐标分别为m,n,直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n)为 图1 备用图 共4页