陕西西安第一中学2025-2026学年下学期期中质量检测高一数学试题

西安第一中学2028届下学期期中质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上。 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案。 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上。 4考试结束后，监考人将答题卡收回，考生自己保管试卷。 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.己知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则侧这四个数的方差为() A.月 B.月 C.3 D.2 2.如图，圆台010的高为V15,QP是母线，01Q=3,0P=QP.现在将圆台的侧面 沿QP剪开，并展开成平面图形，点P在侧面展开图中对应的点为P1,P2,则线段P1P2 的长度为() A.8 B.8W2 C.16 D.16√2 3.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形BB1C1C内部（不含边界） 运动，给出以下两个结论： D ①存在点P满足PD1⊥MB1: B ②存在点P满足PD1与平面A1D1M所成角的大小为60. p 判断正确的是() D A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确 C.①②均正确 D.①②均不正确 4.复数a、B分别对应复平面内的点P、Q,若a2-2@β+2β2=0，则△P0Q(其中0为坐标原点)，是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个锐角为60的直角三角形 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,若C=2B,则哈+（恺）°的最小值为() A.3V2 B.42-1 C.3 D.号 6.已知w≠0，函数f()=2cos(ωx+)在区间(0，习内恰有三条对称轴和两个极大值点，则() A.-19<0<- 3 3 B.号<w<9 c.-号≤w<-号 D.号≤w<-号 西安第一中学2028届期中质量检测数学试题第1页共4页 7.在△ABC中，AB=AC=4V2,当1∈R时，AB-7BC的最小值为4.若AM=MB,AP=sin20AB+cos20AC,其 则MP列的最小值为() A.2 B.1 C.25 D.V2 8.六个边长为2的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的四点O,A,B,C均为正六边形的顶点，且A,B的位置 如图所示，则OB·AC-OA·AC的值在下列哪个范围内() B A.[10,90] B.[10,100] C.[12,90] D.[12,100] 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共18分) 9.如图，AC为圆锥S0底面圆0的直径，点B是圆0上异于A、C的动点，S0=2,OC=V2, 则下列结论正确的是() A.圆锥S0的侧面积为2V3π B.三棱锥S-ABC体积的最大值为4 A 0 C.圆锥S0外接球的表面积为9π D.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为V10+4V5 10.如图，在△ABC中，M为BC边上的动点，N为AC边上的动点，线段AMBN相交于点P.则下面说法正确的 是() A.若MN分别为BC与AC中点，则PA+PB+P元=O B.若点0是平面内任意一点，且满足丽-0i+A(隔+)AE0,+).则 点P的轨迹一定过三角形的内心. C.若AN=AC,AP=是AB+mAC,则实数m的值为品 B D.若∠BAC=BC=2,M为BC中点，则AM]的最大值为3. 11.如图，在等边正三棱柱ABC-A1B1C1中（注：侧棱长和底面边长相等的正三棱柱叫做等边 正三棱柱)，AB=3,已知点E,F分别在线段AA1,CC1,G是线段AC上任意一点，连接A1G,EG, B A1E=CF=1,若过B1,E,F三点的平面把等边正三棱柱分成上下两部分，则() 西安第一中学2028届期中质量检测数学试题第2页共4页 A.上半部分是四棱锥 B.下半部分的体积是3V3 C.△EB1F的面积是3v丽 D.当∠A1GE最大时，AG的长度是V6 4 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12.己知复数z=i,若复数z1满足|z1-z=1,则z1-2的最大值为 13.甲、乙、丙等6名同学参加校园歌手大赛，他们通过抽签决定出场顺序，记事件A=“甲、乙两人的出场顺序相 邻，B=“丙在第2位出场，则P(A∩B)= 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是CC1,DD1的中点，平面a经过直线BF且平行于直 线A1E,则点D到平面a的距离为 D B E A D 四、解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分） 15.已知函数f()=4sin(ωx+月cosωx-1(w>0)在一个周期内的图象如图所 示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角 形. B (1)求f(x)的解析式，及f(x+m)为偶函数时的最小正实数： (2)求AB·AD的值， 16.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=6,LBAC=60,点M在边BC上且BM=BC,AM与AC边上的中线 BN相交于点P. M (1)求中线BN的长： (2)求LMPN的余弦值， 17.如图1是一个由菱形ABCD和两个直角三角形△ADQ和△CDP所组成的平面图形，其中LBAD=,PD1CD,QD1 AD,AD=1,PD=QD=V2,现将△ADQ和△CDP分别沿AD,CD折起，使得点P与点Q重合于点S,连接BS,得到如图 2所示的四棱锥S-ABCD. 西安第一中学2028届期中质量检测数学试题第3页共4页 D B 图1 图(2) (1)求证：AC⊥平面SBD: (②若E为棱5A上一点，记=A0≤1≤) (i)若入=子求直线CE与平面SBD所成角的正切值； (i)是否存在点E使得直线CE与直线AD所成角为60°，若存在请求出的值，若不存在请说明理由 18.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图 所示)，且正四棱柱的高010是正四棱锥的高P01的3倍. D B 夕 (1)若AB=6,P01=2,求该几何体的体积与表面积. (2)若正四棱锥的侧棱长为6，P01=2,且Q,N分别是线段A1B1,PB1上的动点，求AQ+QN的最小值. l9.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且BA·BC=c2-besin (1)求A: (2)若△ABC是锐角三角形，且b=2,求△ABC的周长的取值范围； (3)若b=3,c=2,等边△DEF的顶点D,E,F分别在边AB,BC,CA上（不含端点），求△DEF的面积的最小值 西安第一中学2028届期中质量检测数学试题第4页共4页 西安第一中学2028届期中质量检测数学试题参考答案 1 2 3 4 5 7 8 9 10 A D C C A B ACD ABD 11 ACD 12.V5+1 13.六0.05 14.9 如图，取AA1的中点G,连接GB,GF,GC,则GA1∥CE,GA1=CE, 所以四边形A1GCE是平行四边形，所以A1E∥GC,同理AD∥GF 又AD∥BC,所以BC∥GF,所以BC,FG确定一个平面，即为平面a 过D作DH⊥CF,垂足为点H,因为BC⊥平面CDDC1,DHC平面CDD1C1, 所以BC⊥DH,又BCnCF-=C,BC,CFC平面BCFG, 所以DH⊥平面BCFG,即DH⊥a. 在Rt△CDF中，CF=V5,所以H-DRxC2=2=5 CF 55 D 15.(1)f)=4sin (ox+cosox-1, ∴)-4（停sino+5 cosmx)coso-l -2/3sin@xcos@x+2cos2@x-1-V3sin2@x+cos2@x-2sin(2@x+ 由△ABC为等腰直角三角形知，=BC=2y4=4,所以I上恶-8，得o人2sin(任x+) 因为心+0-2sm后(+m0+月-2sin(原+m+)为偶函数，所以好H子+k∈乙，得mr+4∈乙，所以最小正实 数m为 (2)令)-2，则+-+2，keZ,即+2，k∈Z, 取0：x=即x=手，所以A(（2) 答案第1页共5页 令)=0，且B在A左侧，则呀x+-0,解得：x=子故B(号，0) 且D在A右侧，周期T-8,所以xD=+8号，即D(侣，0） 所以AB=(-2,-2),AD=(6,-2), 所以4B·AD=(-2,-2)·(6,-2)=-12+4-8. 16.(1)由AC=6,BN为中线，则A=3, 在△ABN中，由余弦定理得BN2=AB2+AN-2AB·AW.cos∠BAC-4+9-2×2×3x=7, 则BN-√7. (2)以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， B C 由AB=2,AC-6,∠BAC=60°，得A(0,0),B(1,V3,C(6,0),N3,0), 则AB(1,V3),BC-(5,V),BN(2,-V),则BBC-(,-),即AMAB+B正(，9)， 所以MMBN-×2+34×(V同-}， -份+(9-，224（同7. 则N哥高喜吾所以/N的余滋独温 17.(1)连结AC,交BD于点O,又，底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD, 由题可得SD⊥AD,SD⊥CD,且AD∩CD=D,ADC平面ABCD,CDC平面ABCD, ∴SD⊥平面ABCD,又ACC平面ABCD,∴.SD⊥AC, ,'SD∩BD=D,SDC平面SBD,BDC平面SBD, AC⊥平面SBD. (2)(i)连结SO交CE于点G,由(1)得CO⊥平面SBD, ∴.∠CGO为直线CE与平面SBD所成角， ,'SD=V2,AD=CD=1,∠BAD=60°， ∴.A=SC=AC-=V3, 圖g号 在三角形SEC中，由∠ASC-60°，SC-V3,所以由余弦定理得： CBS+sx2-255cos∠45c-5+32x9V3✉cos60 V33 答案第2页共5页 cos∠BC4=8c24c2-AB2=33生=2w5 2EC AC ∴sin∠CG0-cos∠GCO-os∠BCA=29,即cs∠CG0-T, .tan∠CGO=sm∠coe 2 _23 cos∠cG0匢 31 ·∴直线CE与平面SBD所成角的正切值为 3 (ii)连结BE,,BCAD, ∴.∠ECB或其补角为直线CE与直线AD所成角，则假设存在点E,满足∠E 由=(0s1)得sE=3,A=51-). 在三角形SEC中，由∠ASC=60°，所以由余弦定理得： CE=SE2+Sc2-2S8.5C.cos60°=32+3-2W51xV3×V32-3+3, 过点E作EH⊥AD,交AD于H, 由SD⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,得SD LAD,所以EHIISD, 由(0)可得因为AD1,所以DrA=1-5, 在三角形DHB中，由余弦定理得： BH-DH2+DB2-2DH DB cos ZADB-VR2+1-2Acos60=VR2-A+I, 再由EHIISD,SD⊥平面ABCD可得EH⊥平面ABCD, 又因为HBC平面ABCD,所以EH⊥HB, 在直角三角形EHB中，由勾股定理得： BE=√EHP+B=√2(1-)2+2-1+1=V32-51+3. 在三角形BCE中，又因为BC=1,∠ECB=60°，所以由余弦定理得： eos∠BC8aa 32-3+3+1-32+5-3 2+1 2√32-3+3.1 解得=？ 2， “存在使得直线CB与直线AD所成角为60。 18.(1)由题可知，正四棱锥P-A1B1C1D1中A1D1=A1B1=AB=6, 过点P作PMLA1B1,垂足为M,则PEPO+OP-√4+9=√13. 正四棱锥PA1B1CD1的体积为481CD,S48CD,P01-A1B时×2=AB2 侧面积为S=4×6xV312W3. 答案第3页共5页 B=60°， D 、O B 2=24, 因为AA1=BB1CC1=DD1=OO1=6, 所以正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为AB2.OO136x3PO1=216, 去掉上底面的表面积为S25×6×6=180. 所以该几何体的体积为24+216=240，表面积为12V13+180=180+12W13. (2)如图，将侧面PA1B1和侧面ABB1A1展开， 易知AQ+QN的最小值为展开图中A,Q,N三点共线时AN的最小值， 即展开图中点A到线段PB1上点的最小值， 由题可知AA1=BB1=OO1=3PO16,PB1=6, 过点P作PMLA1B1,垂足为M,则Pf=PO+O1f, 因为正方形A1B1C1D1中，O1MB1M,所以PB=Pf+MB=PO+2MB D C 所以2MB=PB3-PO=32,所以MB1=4,所以AB=A1B18. A M B MO B 因为A2-()'+(6PM2-72+24N5,AB,=AB2+BB=10 因为c08APB,=4P2+P8子AB=8+24N5 D >0,所以∠APB1为锐角： 2APPB12√72+24V56 0 B coS∠AB1P=4+4P-64-45=8=35>0,所以∠PB,4为锐角， 2AB1PB1120 15 所以AN的最小值为点A到PB的距离 所以4NAB,sm∠ABP101-(9-104-aS型 15 3 即AQ+QN的最小值为8v+2 3 19.(1)因为BA·Bc-ccosB=-t2-bcsin2所以acosB+bsin=c, 由正弦定理得sinAcosB++-sinBsin2-sinC, sinC=sin(+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以sinBsin-cosAsinB, 因为B∈(0，网，simB40,所以smc0s41-2sm2学解得sim(sim1舍去)， 因为0<4K元，所以=容即A 。品品所以a品晋 (2)由(1)知4号由正弦定理得只=之=， sinB 又sinC-sin(4+B)=sim(B+)）, 所以△ABC的周长Fac+2=5+2C+252m】+2 且+2=n85cos8+5+2 sinB sinB sinB sinB -um43-25a5+393. sinB 2sgoT 答案第4页共5页 0<B<5 因为△ABC是锐角三角形，所以 c产-所以65所以唱 又tam晋tan(（任-9-=-2V5,所以tam号∈(2V3.1), 所以5+3∈(3+V3,6+2W3 tan 即△ABC的周长的取值范围是(3+V3,6+2V3 (3)设∠BDB=a,DE=EF=DF=x,则∠ADF=经-a,∠AFD=a,∠EFC--a, B A品京8岩在e高忘微C:他侵到 sinB sinc 因为gC-a,所以+m学-a sinB sinC a 所以x= sasi如(a 在△ABC中，AB-2,AC-3,所以之=3=a sinc sinB sint' sinB sinC 所a希点六所以器（可aam司 a 3W3 6V3 7sina+3v3cosa 因为7sina+3V3cosc=2W19sin(a+p)s2W19, 其中tamg-,9e(0,到，当a+受即ana-y时，等号成立， 所以e誓所以S299(-,即△Da不的面积的最小值为 76 答案第5页共5页