2026年九年级数学中考复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》考前冲刺专题训练

2026年九年级数学中考复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》考前冲刺专题训练 1．已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y=x-ax+b交x轴于A、B两点（点B在点A 的右边），交y轴的正半轴于C点． （1）若OC=2，∠OBC=30°，试确定a、b的值；       （2）若b=1，求证：△OAC∽△OCB． 4．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； (3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线． （1）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）已知点，直线与x轴相交于点B，将抛物线从点O沿方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段最短？ （3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且，求证． 6．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接、，． （1）求抛物线的顶点的坐标． （2）求证：． （3）点在抛物线上，点在直线上，是否存在点、使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 8．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； (3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在坐标轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，点B从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C在第一象限，过C作轴，垂足为D，连接交于E，设运动时间为秒．    (1)证明：≌； (2)当与相似时，求t的值； (3)在（2）条件下，抛物线m经过A，B，D三点，请问在抛物线m上否存在点P，使得面积与的面积相等？若存在，请求出． 11．如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)求直线的函数关系式； (3)点为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点，若，求点的坐标； (4)若为抛物线的顶点，平移拋物线使得新顶点为，若点又在原拋物线上，新抛物线与直线交于点，连接，在抛物线平移过程中，当时．直接写出的范围是______________________． 12．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 13．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． (3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 14．已知直线与抛物线有唯一公共点，直线分别交轴，轴于两点． (1)如图1，当，时，求的值； (2)如图2，当时，过点作直线的垂线交轴于点，求坐标； (3)如图3，当时，平移直线，使之与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，求证：． 15．如图，直线分别交轴、轴于点，过点的抛物线与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴交于点，连接交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：； (3)为抛物线上的一动点，直线交于点，是否存在这样的点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 2．(1) (2)存在．或 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得出方程组，求出解即可； （2）设点，再求出，分两种情况：当为直角时，可知与相似，则，即可得点、关于抛物线的对称轴对称，然后得出答案； 当为直角时，作轴，可得，则，再根据可得，即，求出答案即可． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得，， 故抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 设点， 令， 解得或（舍去）， 故点，则． ①当为直角时， ∵与相似，则， ∴轴，则点、关于抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为， ∴点； ②当为直角时， 如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即 则， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 3．（1）；（2）见解析 【分析】（1）在中，解直角三角形即可求得，进而求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为．二次函数的解析式可以为，根据已知条件可得，又根据两边成比例夹角相等即可证明 【详解】解：（1）， ． ． 代入， 得 解得 （2）设点的坐标为，点的坐标为． ∴二次函数的解析式可以为． ， ． ， ． ． 又， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①当时，线段的长最大值为，②证明见详解 (3)或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案；② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图3.2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3.3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 5．（1）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标；（2）当时，有最小值为3；（3）证明见解析. 【分析】（1）依据抛物线解析式y=x2，即可得到开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）依据OA解析式为y=2x，可设顶点坐标为（m，2m），得到抛物线的解析式为y=（x-m）2+2m，进而得出P（2，m2-2m+4），再根据B（2，0），可得PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，进而得到当m=1时，PB最短； （3）设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=k，x1x2=-b，进而得到y1+y2=k2+2b，y1y2=b2，再过D，E作DQ⊥y轴于Q，EP⊥y轴于P，依据△DCQ∽△ECP，△DQF∽△EPF，即可得出，设F（0，f），则OF=-f，，整理即可得到b=-f，即OC=OF． 【详解】（1） ∴开口向上，对称轴为直线x=0 顶点坐标 （2）∵点A（2，4）， ∴OA解析式为y=2x， ∵抛物线y=x2从点O沿OA方向平移， ∴可设顶点坐标为（m，2m）， ∴抛物线的解析式为y=（x-m）2+2m， ∵抛物线与直线x=2交于点P， ∴P（2，m2-2m+4）， 又∵直线x=2与x轴相交于点B， ∴B（2，0）， ∴PB=m2-2m+4=（m-1）2+3， ∴当m=1时，PB最短； （3）设直线DE为y=kx+b，则C（0，b），OC=b， 直线DE与抛物线y=x2联立，得x2-kx-b=0， 设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=k，x1x2=-b， ∴y1+y2=kx1+b+kx2+b=k2+2b，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=b2， 如图，分别过D，E作DQ⊥y轴于Q，EP⊥y轴于P，则∠DQC=∠EPC=90°，而∠DCQ=∠ECP， ∴△DCQ∽△ECP， ∴， ∵∠CFD=∠CFE，∠DQF=∠EPF， ∴△DQF∽△EPF， ∴， ∴， 设F（0，f），则OF=-f， ， 整理可得，k2（b+f）=0， ∵k≠0， ∴b+f=0， ∴b=-f，即OC=OF． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质的综合运用；解决问题的关键是会利用配方法求二次函数的最值；作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例得出结论． 6．（1）抛物线的顶点的坐标为；（2）见解析；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线的解析可求出A（﹣b，0），B（1，0），求出OC＝3，求出抛物线的解析式可得出答案； （2）由点的坐标可出AC，AD，CD的长，得出∠ACD＝90°，证得∠ACD＝∠COB，，由相似三角形的判定方法可得出结论； （3）分OC是平行四边形的一条边、CO是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣1）（x+b）（b＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）， ∴y＝0时，x＝1或x＝﹣b， ∴A（﹣b，0），B（1，0）， ∵tan∠OBC＝3． ∴OC＝3， ∴C点的坐标为（0，﹣3）， ∴（0﹣1）（0+b）＝﹣3， 解得b＝3， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）； （2）证明：如图1， 令y＝0，则x＝1或x＝﹣3，故点A（﹣3，0）， ∵C（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）， ∴AD2，CD，AC3， ∴AD2＝CD2+AC2， ∴∠ACD＝90°， ∵∠COB＝90°，3， ∴∠ACD＝∠COB，， ∴△ACD∽△COB； （3）存在，理由： ①当OC是平行四边形的一条边时， 设：点P（m，m2+2m﹣3），点Q（m，m）， 则PQ＝OC＝3， PQ＝|m2+2m﹣3﹣m|＝3， 解得：m＝﹣1或2或0或﹣3（舍去0）， 故m＝﹣1或2或﹣3； ②当CO是平行四边形的对角线时， 设点P（m，m2+2m﹣3），点Q（n，n）， 由中点可得：， 解得：m＝0或﹣1（舍去0）； 故m＝﹣1或2或﹣3， 则点P（﹣1，﹣4）或（2，5）或（﹣3，0）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 8．(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）利用一次函数求出两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，设点，则， 求出点F的坐标，证明，由，得到，即，求解出m的值即可； （3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与相似，存在、 两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点P 在x轴上时，同理可解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ． 把代入得：， ，                         将、代入得：， 解得，． 抛物线的解析式为； （2）解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G， 抛物线的解析式为，令，得， 解得：或， ， 设点，则， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 得， ∴， 解得， ∴点D坐标为或时，； （3）解：存在，理由： 由题意得，点， 由点A、B、C、D的坐标得，，， ， ， 在中，则，， 当点P在y轴时， ∵以A、C、P为顶点的三角形与相似， 当时， 则， 则， ， ， 则点； 当时， 此时，点P、O重合， ， ， ， 故点； 当点在x轴上时， 只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似， 则， 则点， 综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 9．（1）；（2）9；（3）△AOB∽△DBE.理由见解析. 【分析】（1）易得c=3，故设抛物线解析式为y=ax2+bx+3，根据抛物线所过的三点的坐标，可得方程组，解可得a、b的值，即可得解析式； （2）易由顶点坐标公式得顶点坐标，根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=，代入数值可得答案； （3）根据题意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且，即可判断出两三角形相似． 【详解】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3）， ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0） 根据题意，得， 解得． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G． 由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4） 设对称轴与x轴的交点为F ∴四边形ABDE的面积= =AO•BO+（BO+DF）•OF+EF•DF =×1×3+×（3+4）×1+×2×4 =9； （3）相似，如图， BD=； ∴BE= DE== ∴BD2+BE2=20，DE2=20 即：BD2+BE2=DE2， 所以△BDE是直角三角形 ∴∠AOB=∠DBE=90°，且， ∴△AOB∽△DBE． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式及相似三角形的判定定理的应用. 10．(1)见解析 (2)t的值为2 (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质及同角的余角相等可证明，，再加上，利用全等三角形的判定方法证明即可； （2）与有一组对顶角相等，分和，分别把这两种相似作为已知条件，求出t的值，其中一种不合题意，需舍去；求解即可； （3）将A，B，D的坐标分别代入二次函数解析式，先求出抛物线解析式，再求出直线的解析式，过点B作直线的平行线，构造与同底等高的三角形，平行线与抛物线的交点为P，求出该直线与抛物线的交点即可． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ， 由题意知，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， 当时， ， ， 与为等腰直角三角形， 由（1）知，， ， 的值为2； 当时， ， 为等腰直角三角形， ， 由（1）知，，∴， 故不合题意，舍去， 综上所述，t的值为2； （3）解：由知，，， 将，，分别代入， 得，， 解得：，，， ， 将点代入， 得，， ， 如右图，当点P在直线下方的抛物线上时， 过点B作的平行线，交抛物线于点P，交y轴于点M，连接，    此时与同底等高，面积相等， 将点代入， 得，， ， 联立与， 得，， 解得，， 与点重合，舍去； 当点P在上方的抛物线上时， 直线是直线向下平移1个单位得到的， 将直线向上平移1个单位得到直线， 可得到与同底等高，面积相等， 联立与， 得， 解得，，， 点P坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、一次函数图象的平移及平行线的性质、等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，面积法、解一元二次方程等知识，解题的关键是要能够熟练运用相似的判定与性质，借助图象平移国，利用等面积法解决问题． 11．(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分别过点E、D作，证明求得，设点的纵坐标为，则点的纵坐标为，可得，利用待定系数法求得的解析式，进而可得点，结合已知求得m值即可解答； （4）分当点P在对称轴右边时和当点P在对称轴直线的左侧两种情况，根据二次函数的性质及图象平移规则，结合已知、等腰三角形以及锐角三角函数分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意，分别把代入， 得， 解得； （2）解：设直线的函数关系式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数关系式为； （3）解：由（1）得， 则 令，则， 故， 分别过点E、D作，如图所示： ， ， ， ， 设点的纵坐标为，则点的纵坐标为， 把代入， 得， 设的解析式为， 把分别代入， 得， 解得， 的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， 点为拋物线上第一象限内一点， 整理得， ， 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； （4）解：由（2）得， 整理 为拋物线的顶点， 当点P在对称轴右边时，如图所示： 平移抛物线使得新顶点为又在原拋物线上，新拋物线与直线交于点，连接． 平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， 点在， ， ， ， ， ， ， ， 则， 即 是等腰三角形， 过点作， ， ， 则， 令， 即， 即， ， ， 或， （舍去）或， ， 当点P在对称轴直线的左侧，时 通过对称性，点P坐标为 ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法、二次函数的性质、二次函数图象的平移、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想是解答的关键． 12．(1) (2)①，②存在，或，③位于对称轴左侧，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法可求出a，从而得出二次函数的解析式； （2）①构造一线三垂直模型，得到三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，可以得到关于点横坐的方程，从而可求出的坐标； ②延长交直线于点，可以证得恰好是，的中点，继而可以得出关于，横坐标的方程组，求出的横坐标即可获解； ③由对称性可知，，只要求出的长度，然后与比较，即可判断与对称轴的位置关系． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为， ∴设所求抛物线的解析式为， 把代入，得 ， ， ∴所求抛物线的解析式为； （2）①如图，过D作垂直于y轴，垂足为Q，过E作的垂线，垂足为P， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，，， ， 解得(舍去)， ， ②如图，延长交直线l于点N， 把代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 为 的中点， ， 设 ，则， 设，则 ， ，， ， 化简得：， 解得， 当时，， 当时，， 的坐标为或， ③ 与关于直线对称， ， 当时， ， ，   ， ， ， 在对称轴左侧． 【点睛】本题是二次函数和几何的综合题，考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的顶点式，对称轴，三角形的相似，等腰三角形的判定等知识，关键是要将所求结论转化具体的线段关系，寻找合适等量关系列出方程． 13．(1)二次函数的解析式为： (2)点D的坐标为或 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点D作于H，根据抛物线的对称性求出，设，根据，得出，则，解方程得，，即可求解； （3）结合可求直线的解析式，联立直线与抛物线可得，结合与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线的解析式为，联立直线与抛物线可得，进而，得出，过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K，证明，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解. 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：过点D作于H， 抛物线交y轴于点， ∵、B关于直线对称， ∴． 设． ∵， ∴，即 ∴ ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点D的坐标为或． （3）解：与的数量关系为：． 理由如下：设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴ 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∵与抛物线有唯一交点F， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴． 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∴，即， ∴， ∴． 过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K， 则， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， ∴． 14．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）当，时，直线，抛物线，联立得：，再根据直线与抛物线有唯一公共点得出，计算即可得出答案； （2）当时，抛物线，联立得：，再结合直线与抛物线有唯一公共点，求出，从而得出，求出，，得到，，证明得出，即，求出，即可得出答案； （3）令、、与轴交点分别为，，，设，，的解析式为：，联立得：，求出，，，联立得：，得出，求出，得出，同理可得，，求出，即可得证． 【详解】（1）解：当，时，直线，抛物线， 联立得：， 直线与抛物线有唯一公共点， ， 解得：； （2）解：当时，抛物线， 联立得：， 直线与抛物线有唯一公共点， ， ， ， 当时，，当时，，解得：， ，， ，， 过点作直线的垂线交轴于点， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在轴的正半轴， ； （3）证明：如图，令、、与轴交点分别为，，， ， 设，，的解析式为：， 联立得：， 解得：， ， 点关于轴的对称点为， ，， 联立得：， 平移直线，使之与抛物线交于两点， ， 令为，代入，得：， 解得：， ：， 令，则， ， 同理可得：：，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 15．(1)抛物线解析式为 (2)见解析 (3)存在，点的横坐标为 或 【分析】（1）根据直线轴于点，求出点的坐标，再利用待定系数法即可求得答案； （2）先求出直线的解析式，再根据点在抛物线对称轴上且在直线上，求出点的坐标，从而即可求出直线的解析式，根据即可得到答案； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，根据以以为顶点的三角形与相似，分两种情况：当时，，从而得出，进而得出直线的解析式，再结合抛物线的解析式，即可求得点的横坐标；当时，利用，求出的值，进而求出点的坐标，得出直线的解析式，即可求得答案． 【详解】（1）解：直线交轴于点， 当时，即， 解得：， 点的坐标为， 将，代入抛物线得， ， 解得， 抛物线解析式为：； （2）证明：由（1）得，抛物线解析式为， 对称轴为， 点在抛物线对称轴上， 点的横坐标为， 设直线的解析式为，将，代入解析式得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 设直线解析式为，则， 解得， 直线解析式为， ， ； （3）解：存在， 抛物线解析式为， 令，即， 解得， 点坐标为，点坐标为， ， ，， ， 设直线的解析式为：，将，代入解析式得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，，如图所示， ， 直线的解析式为， 由得，， 解得：，， 当时，如图所示， ， ， 过点作轴于点，则， ， ， ， ， 的坐标为， 设直线解析式为，将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 由得，， 解得：，， 综上所述，点的横坐标为： 或． 【点睛】本题是关于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，是中学数学压轴题，综合性较强，难度较大，熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $