数学终极押题猜想（广东省卷专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 二次函数综合压轴问题 2 押题猜想二 几何图形综合压轴问题 5 押题猜想三 8 押题猜想四 圆的综合问题 11 押题猜想五 三角函数、函数与方程组应用题 14 押题猜想六 几何图形综合压轴问题（填空题） 17 押题猜想七 函数与几何综合问题（选择题） 19 押题猜想八 尺规作图与几何证明 21 押题猜想九 综合与实践 24 押题猜想一 二次函数综合压轴问题 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数压轴问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 2．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 3．（2026·广东中山·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 4．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 押题猜想二 几何图形综合压轴问题 试题前瞻·能力先查 限时：12min （2026·广东珠海·一模）综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 分析有理·押题有据 从近四年的广东中考情况来看，本部分会以大题的题型呈现，主要集中在倒数第二题或者最后的压轴题，主要考查三角形和四边形的性质和判定，同时也会涉及到相似、勾股定理、三角函数等知识点或者常见的辅助线问题，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东汕头·一模）综合与探究：在数学活动课上，同学们以正方形展开探究活动． 【探究发现】如图①，在正方形中，P为对角线上一动点，连接和，则 发现与始终存在一种数量关系；如图②，若过点P作，则发现始终是一个特殊的三角形． 【提出猜想】猜想一：如图③，当点Q在的延长线上时，以上两个结论成立？ 猜想二：如图④，若点P在对角线延长线上且点Q在的延长线上，以上两个结论依然成立？ 【验证猜想】同学们分小组进行了讨论验证，并证明以上两个猜想结果均成立． 根据以上材料，请你完成下列问题： (1)如图①， 同学们发现与始终存在的一种数量关系是 ； 如图②，始终是一个特殊的三角形，即 ． (2)请你选择图③或图④帮同学们把猜想一或猜想二的证明过程写出来． 【拓展应用】 (3)如图⑤，在正方形中，P为边上任意一点，O为的中点，过点P作于点E，连接，，作的外接圆，若，求外接圆的半径． 2．（2026·广东佛山·一模）在中，点，分别在边，上，将沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，四边形是正方形，边长为8，当为的中点时，求的长； (3)如图3，四边形是矩形，连接，当，时，求的值． 3．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等四边形．如图1中，，此时四边形是双等四边形． (1)【初步探究】 如图2，在正方形中，、是边上的两点，连接、交于点．若，求证：四边形为双等四边形； (2)【问题解决】 如图3，在（1）的条件下，连接，若正方形的边长为，，求的长； (3)【拓展应用】 如图4，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等四边形，且，延长交于点，连接．若，，，求的长． 4．（2026·广东佛山·模拟预测）探究矩形、平行四边形中线段的关系，并完成以下问题 【问题提出】 (1)如图1，在矩形中，点E，F分别是边，上的点，连接与交于点O，若，求证：． 【迁移应用】 (2)如图2，在中，，，点E，F分别是边，上的点，连接与交于点O，且，求的值． 【拓展提高】 (3)如图3，在中，点E，F，G是边，，上的一点，连接与交于点H，，，，若，求的值． 押题猜想三 反比例函数与几何图形综合压轴 试题前瞻·能力先查 限时：10min （2026·广东佛山·一模）如1图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E． (1)若点E坐标为，求该反比例函数的表达式； (2)如2图，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点F，若，求点D的坐标； (3)如3图，连接和，过点D作x轴的平行线交于点G，连接，若，猜想与的数量关系，并证明． 分析有理·押题有据 解反比例函数与几何图形的综合压轴题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 虽然部分特殊几何综合压轴问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 2．（2026·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到． (1)探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）； (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2026·广东惠州·一模）如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接． (1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上； (2)猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比． 4．（2026·广东东莞·模拟预测）反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 押题猜想四 圆的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min （2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 分析有理·押题有据 从近五年广东中考来看，圆的综合问题作为中考必考内容，本考点通常以中等难度的解答题形式出现．其中，第1小问侧重逻辑证明，常涉及切线判定、线段数量与位置关系探究、相似三角形判定等核心内容；第2小问则聚焦计算求解，需综合运用勾股定理、相似性质及锐角三角函数等知识，解决角度计算、线段长度及比例关系等问题． 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东惠州·一模）如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，的半径为5，求的长． 2．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． (1)求证：是的切线； (2)求证： (3)若，，求的长． 3．（2026·广东珠海·一模）如图，在中，，点E是边上一点，以为直径的半圆O交于点D，连接并延长，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 4．（2026·广东佛山·一模）已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、． (1)由图1，试说明是等腰直角三角形． (2)与交于点G，将沿翻折得到． ①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明． ②如图3，设．求S与x之间的函数关系式． 押题猜想五 三角函数、函数与方程组应用题 试题前瞻·能力先查 限时：10min （2026·广东·一模）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销A、B两款吉祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元． (1)求A、B两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？ (2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶数量的，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？ 分析有理·押题有据 步骤1‌：根据题意列出方程（组）或不等式（组）； 步骤2‌：优先求解方程（组），得到具体数值； 步骤3‌：将结果代入不等式（组），验证是否满足条件； 步骤4‌：若不满足，调整参数或重新分析题意。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 2．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 3．（2026·广东汕尾·一模）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于与水平线平行，与的夹角为与l的夹角为．经测量：为，为，为，． (1)填空：______，______； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽的高度，并直接写出此时伸缩杆的长度．（参考数据：） 4．（2026·广东江门·一模）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 押题猜想六 几何图形综合压轴问题（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min （2026·广东珠海·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为________． 分析有理·押题有据 从近四年的广东中考情况来看，本部分多以小题的压轴题呈现，对于知识点考察主要集中在三角形、四边形、解直角三角形、相似为主，特别是会涉及到特殊四边形的性质以及判定，同时对于折叠问题主要是主要折叠的边相等，角相等；综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 备考过程中，还需要熟悉并掌握常见的最值模型（将军饮马（遛马过桥）、费马点、胡不归、瓜豆原理、隐圆模型等），可有效提升解题效率。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 2．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 3．（2025·广东东莞·二模）如图，在中，，，E、F分别是的中点，连接，将绕点B旋转一个角，连接并延长，与直线交于点G，则的最小值是______． 4．（2025·广东东莞·二模）如图正方形，边长为12，动点，分别在边，上运动，连接，，将四边形沿翻折得到四边形，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点．是点到的距离，则的最大距离是_______ 押题猜想七 函数与几何综合问题（选择题） 试题前瞻·能力先查 限时：7min （2025·广东江门·一模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 从近五年的广东中考情况来看，函数的压轴小题一般是函数和几何的交汇问题，或者二次函数的性质考查，一般设点是最主要的，一般解题方法如下： 1）确定对称轴‌：先写出对称轴方程。 2）分情况讨论‌：根据对称轴与动区间的位置关系分三类： （1）对称轴在区间左侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 （2）对称轴在区间右侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 （3）对称轴在区间内‌： 顶点为最值点（开口向上为最小值，开口向下为最大值），另一最值在离对称轴较远的端点。 终极猜想·精练通关 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 3．（2023·广东潮州·一模）如图，将直线向下平移一个单位长度后交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线于点C，以线段为边向上方作平行四边形，点E恰好落在双曲线上，连接，若轴，四边形的面积为8，则k的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东珠海·三模）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（    ） A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 押题猜想八 尺规作图与几何证明 试题前瞻·能力先查 限时：8min （2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 分析有理·押题有据 本考点为广东中考必考考点，常在解答题一出现，难度中等。尺规作图题属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题。 终极猜想·精练通关 1.（2026·广东东莞·一模）如图，在Rt中，，已知为的中点． (1)求作：过点作直线的垂线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 2．（2026·广东佛山·一模）如图，是平行四边形的一条对角线． (1)实践与操作：用尺规作图法作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 3．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，． (1)用尺规作图法在线段上找到一点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以D为圆心，为半径作，求证：与相切． 4．（2026·广东汕头·一模）如图，已知中，． (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． (2)求证：直线为的切线． 押题猜想九 综合与实践 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·广东东莞·一模）综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） 分析有理·押题有据 本考点为广东中考必考考点，常在解答题三出现，难度压轴。这个最近四年广东出现的新题型，综合考查考生的理解能力和数学在生活中的实际应用问题，冲刺阶段，不断要加强训练，特别是几何的性质和函数的交汇问题 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东江门·一模）综合与实践 项目背景 折纸，是一种古老而又充满魅力的活动．在折纸的过程中就仿佛踏入了一个几何图形的奇妙世界，探索着其运动变换形态，揭示隐藏的性质与规律．每一次折叠，都是对空间想象力的尝试，也是对几何直观感知的一次锻炼． 问题 如何将一张纸片折叠成一个矩形（拼接处无缝隙、无重叠）？ 尝试思考 三角形纸片（）按图1所示折叠成矩形，若，，，则长度是多少？    类比思考 如图2，任意的平行四边形纸片（，边长，，边上的高为） 问题1：当，，时，能按图2所示折叠成矩形吗？ 问题2：平行四边形纸片要折出图2中的矩形，须满足什么条件?（用含、、的式子表示） 延伸思考 问题3：对于任意的平行四边形纸片（），经过适当的调整，都能按图3所示折叠成矩形，说明、、、这些点是如何确定？    请解答（或回答）下列问题： (1)“尝试思考”中的长度是______； (2)①请回答“问题1”中的问题，要有必要的解答过程； ②直接写出问题2中的条件； (3)请回答问题3，要有必要的解答过程． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． (2)【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． (3)【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 3．（2026·广东广州·模拟预测）综合与实践． 【了解定义】如图1，在和中，，，点，在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【探究性质】小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小明利用图1给出如下已知、求证，请帮助小明完成证明． 已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． (2)【探究运用】如图 2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 4．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 二次函数综合压轴问题 1 押题猜想二 几何图形综合压轴问题 15 押题猜想三 29 押题猜想四 圆的综合问题 43 押题猜想五 三角函数、函数与方程组应用题 52 押题猜想六 几何图形综合压轴问题（填空题） 58 押题猜想七 函数与几何综合问题（选择题） 64 押题猜想八 尺规作图与几何证明 71 押题猜想九 综合与实践 76 押题猜想一 二次函数综合压轴问题 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线与轴有2个交点，理由见解析 (2)(3)或 【详解】（1）解：抛物线与轴有2个交点，理由如下： 将代入抛物线表达式得： ， 判别式， 则抛物线与轴有2个交点； （2）解：根据题意得，抛物线的对称轴为， 点，在抛物线上， 抛物线的对称轴为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 分情况讨论： ①当时，最大值为， ， ， 令得：， 解得或， 由图象可知，抛物线在时，随增大而增大， ，即时，符合题意； ②当时，抛物线在上，随增大而减小， 在处，取得最大值，即、在处，取得最小值，即， ， 解得， ，此种情况不符合题意；综上所述，的取值范围为； （3）解：由（2）知，抛物线的表达式为， 则平移后抛物线的表达式为：， 抛物线的对称轴为， 令得：，解得或， 、，令得：， ， 设直线的表达式为， 将和代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 设，则、、， 分两种情况讨论： ①当点在点的上方时，令直线交直线于点， 将代入得：， ， 点在直线的右侧的第一象限内， ， 、、、， 、， 直线将四边形的面积分成的两个部分， ， 整理得：， 解得：或， ， ， 将代入得： ， ； ②当点在点的上方时，设与交于点， 将代入得：， 解得， ， 、， 由题意得：， ， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得： ， ， 综上所述，点的坐标为或． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数压轴问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 【答案】(1)不是“减半函数”，理由见解析 (2)和 (3)①；． 【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可； （2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到b的值，进而确定“减半点”的坐标； （3）①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程，然后分和两种情况，求得m的值并判断是否满足题意，再代入函数解析式即可解答；②先求出抛物线 H的解析式，进而确定A坐标为 ，点B坐标为，则其中点坐标为，再根据“减半点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”， ∴函数不是“减半函数”． （2）解：设函数图像上的“减半点”的坐标为， 将代入得：，解得：或， 当时，，即“减半点”坐标为； 当时，，即“减半点”坐标为． 综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和． （3）解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为， 将代入得：， 整理得：， ∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解． ∴当时，即，不是抛物线，不符合题意； 当时，，解得：，符合题意； ∴抛物线的解析式 代入抛物线方程：，即． ②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H： ​， ∴直线与 H 的交点A坐标为 直线与 H 的交点B坐标为 ，即， ∴线段 AB 的中点坐标为，即， ∵直线的“减半点”恰好为线段的中点， ∴，解得：． 2．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 3．（2026·广东中山·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 4．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【答案】(1)； (2)点为线段中点 (3)直线过线段中点，证明见解析 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 押题猜想二 几何图形综合压轴问题 试题前瞻·能力先查 限时：12min （2026·广东珠海·一模）综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 【答案】(1) (2)四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为； (3)四边形纸片不是系纸片，折纸画图及其证明过程见解析． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为， ∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等， ∴， ∴， ∴， ∴系纸长与宽的比为． （2）解：四边形纸片不是系纸片， 在长方形中，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠可得，， 连接， 设，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为． （3）解：设，则， ∵四边形是系纸片， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片， 如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片， 证明：由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片是系纸片． 分析有理·押题有据 从近四年的广东中考情况来看，本部分会以大题的题型呈现，主要集中在倒数第二题或者最后的压轴题，主要考查三角形和四边形的性质和判定，同时也会涉及到相似、勾股定理、三角函数等知识点或者常见的辅助线问题，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东汕头·一模）综合与探究：在数学活动课上，同学们以正方形展开探究活动． 【探究发现】如图①，在正方形中，P为对角线上一动点，连接和，则 发现与始终存在一种数量关系；如图②，若过点P作，则发现始终是一个特殊的三角形． 【提出猜想】猜想一：如图③，当点Q在的延长线上时，以上两个结论成立？ 猜想二：如图④，若点P在对角线延长线上且点Q在的延长线上，以上两个结论依然成立？ 【验证猜想】同学们分小组进行了讨论验证，并证明以上两个猜想结果均成立． 根据以上材料，请你完成下列问题： (1)如图①， 同学们发现与始终存在的一种数量关系是 ； 如图②，始终是一个特殊的三角形，即 ． (2)请你选择图③或图④帮同学们把猜想一或猜想二的证明过程写出来． 【拓展应用】 (3)如图⑤，在正方形中，P为边上任意一点，O为的中点，过点P作于点E，连接，，作的外接圆，若，求外接圆的半径． 【答案】(1)，等腰三角形 (2)见解析 (3)1 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 在和中，， ， 、， 、， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：选择图③，证明如下： 令与交于点， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 选择图④，证明如下： 四边形是正方形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图⑤，连接和， 在正方形中，、， ， ， ， 、、为的中点， ， ， ， 同理、， 、， 是等腰直角三角形， ， 设外接圆圆心为点F，连接和， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的外接圆的半径为1． 2．（2026·广东佛山·一模）在中，点，分别在边，上，将沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，四边形是正方形，边长为8，当为的中点时，求的长； (3)如图3，四边形是矩形，连接，当，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴，， ∴； （2）解：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∵点P为的中点， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，延长、交于点，连接，设， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形由四边形沿着翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 3．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等四边形．如图1中，，此时四边形是双等四边形． (1)【初步探究】 如图2，在正方形中，、是边上的两点，连接、交于点．若，求证：四边形为双等四边形； (2)【问题解决】 如图3，在（1）的条件下，连接，若正方形的边长为，，求的长； (3)【拓展应用】 如图4，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等四边形，且，延长交于点，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的长为或 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形为双等四边形． （2）解：如图，过点作于， ∵正方形的边长为，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴． （3）解：如图，当时，过点作于，延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，，， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 如图，当时，于，延长交于，过点作于， 同理可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述：的长为或． 4．（2026·广东佛山·模拟预测）探究矩形、平行四边形中线段的关系，并完成以下问题 【问题提出】 (1)如图1，在矩形中，点E，F分别是边，上的点，连接与交于点O，若，求证：． 【迁移应用】 (2)如图2，在中，，，点E，F分别是边，上的点，连接与交于点O，且，求的值． 【拓展提高】 (3)如图3，在中，点E，F，G是边，，上的一点，连接与交于点H，，，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上找一点K，使，则， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，在上取一点M，使得， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， 则， 由（2）可得， ， ，，且， ， ， 又， ， ∵在中，； 在中，， 又∵， ， ， 又，， ， ， 设，， ，解得：，即，，， ， ， ． 押题猜想三 反比例函数与几何图形综合压轴 试题前瞻·能力先查 限时：10min （2026·广东佛山·一模）如1图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E． (1)若点E坐标为，求该反比例函数的表达式； (2)如2图，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点F，若，求点D的坐标； (3)如3图，连接和，过点D作x轴的平行线交于点G，连接，若，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得：， ∴． （2）解：过点F作交于G，如图， 则， ∴ ∵ ∴ ∵矩形，， ∴点B的纵坐标为9，即， ∴，即点F的纵坐标为3， 当时，则， ∴ ∴ ∴ ∴， 当时，则， ∴． （3）解：，证明如下： ∵反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E， ∴设，，， 则，， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为，， 把代入得， ∴ ∵， ∴轴， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∵矩形 ∴ ∴四边形为矩形， 连接，如图， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 解反比例函数与几何图形的综合压轴题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 虽然部分特殊几何综合压轴问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 2．（2026·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到． (1)探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）； (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）解：，，矩形， 的坐标是， ∵点D为中点， 的坐标是：， 在双曲线上， ， 又的横坐标是，把代入， 则， 点E的纵坐标为； （2）解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 又平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； （3）解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的坐标是． ∵的横坐标是， ∴的横坐标是， ∴， ∵将沿翻折后得到， ∴， 在中，当时，， ，， 如图所示，作于点． 折叠， ， ， 又， 则， ， ， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 3．（2026·广东惠州·一模）如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接． (1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上； (2)猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比． 【答案】(1)，点在直线上； (2)，见解析； (3)与矩形的面积比为． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴， ∵设直线的函数解析式为，并将代入， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∵将代入函数解析式，得， ∴点在直线上； （2）猜想，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交轴于点，过点作于点， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， 由（2）中可知，， ∴， ∵由（2）可知 ∴，则 ∵在中，， ∴， ∵设， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵由，， ∴， ∴，即， 解得，（舍）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点， ∵矩形， ∴，将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∴与矩形的面积比为． 法二：如图，延长交轴于点，取中点，连接， ∵矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， ∴， ∵在中，设，则， ∴根据勾股定理， ∴， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍），（舍）， ∴ ∴， ∴与矩形的面积比为 4．（2026·广东东莞·模拟预测）反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：当时，反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B， ∴点与点关于原点对称， ∴， 又∵轴C，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，且双曲线位于第一、三象限， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵轴C，轴，且AC与BD的延长线交于点E， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴； （3）证明：如图所示， 令，则， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得，，解得， ∴，联立，解得（负值已舍）， ∴， ∵轴，∴，∴，，∴， ∴点C为线段的黄金分割点； ∵轴，， ∴直线的解析式为， ∵点Q为和的延长线交点， ∴， ∴， ∴， ∴点M为线段的黄金分割点． 押题猜想四 圆的综合问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min （2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 分析有理·押题有据 从近五年广东中考来看，圆的综合问题作为中考必考内容，本考点通常以中等难度的解答题形式出现．其中，第1小问侧重逻辑证明，常涉及切线判定、线段数量与位置关系探究、相似三角形判定等核心内容；第2小问则聚焦计算求解，需综合运用勾股定理、相似性质及锐角三角函数等知识，解决角度计算、线段长度及比例关系等问题． 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东惠州·一模）如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）（1）方法一： 是的直径， ， ， 是的切线，，即：， ， ， 由圆周角定理得， ； 方法二： 是的直径， ， 是的切线， ， 为和的公共角， ， ， 由圆周角定理得， ； （2）方法一： 在中，由勾股定理得：， ， ， 由圆周角定理得， ∴， 又∵， ， ，即， 解得． 方法二： ，， ， 直径垂直平分， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ，即， 解得． 2．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． (1)求证：是的切线； (2)求证： (3)若，，求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是半的直径， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是半径， 是的切线； （2）证明：， ， 又， ； （3）解：由（2）可知，， ， ， ， ， 在中，，， ， 解得：（负值舍去）， ． 3．（2026·广东珠海·一模）如图，在中，，点E是边上一点，以为直径的半圆O交于点D，连接并延长，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 4．（2026·广东佛山·一模）已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、． (1)由图1，试说明是等腰直角三角形． (2)与交于点G，将沿翻折得到． ①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明． ②如图3，设．求S与x之间的函数关系式． 【详解】（1）证明：在正方形中，平分， ∴， 在对应的圆周角中，， 在对应的圆周角中，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）解：①证明：由折叠可得， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， 如图，过点M作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴点D，M，B三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 押题猜想五 三角函数、函数与方程组应用题 试题前瞻·能力先查 限时：10min （2026·广东·一模）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销A、B两款吉祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元． (1)求A、B两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？ (2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶数量的，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？ 【答案】(1)A型玩偶的单价为90元，B型玩偶的单价为50元； (2)小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为620元． 【详解】（1）解：设B型玩偶的单价为x元，则A型玩偶的单价为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根，且符合题意， ， 答：A型玩偶的单价为90元，B型玩偶的单价为50元； （2）解：设小江购买A型玩偶a个，则B型玩偶个，购买费用为w元． 根据题意得 ，由题意可得：， ， ∴w随a的增大而增大 又∵a为正整数， 时，w取最小值． 元． 答：小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为620元． 分析有理·押题有据 步骤1‌：根据题意列出方程（组）或不等式（组）； 步骤2‌：优先求解方程（组），得到具体数值； 步骤3‌：将结果代入不等式（组），验证是否满足条件； 步骤4‌：若不满足，调整参数或重新分析题意。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 2．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处． 3．（2026·广东汕尾·一模）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于与水平线平行，与的夹角为与l的夹角为．经测量：为，为，为，． (1)填空：______，______； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽的高度，并直接写出此时伸缩杆的长度．（参考数据：） 【答案】(1)64，53 (2)高度约为，长度约为 【分析】（1）延长交l于点，延长交l于点，由，利用三角形的外角的性质，可求得的度数，利用平角的定义，可得到的度数； （2）延长交l于点，延长交l于点，在中，解直角三角形得，由得，进而得，在中，解直角三角形得． 【详解】（1）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：64，53； （2）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为． 4．（2026·广东江门·一模）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元 (2)购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元 【详解】（1）解：假设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元， 根据题意，得出方程， 解得， 经检验，是方程的解，则， 故甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元． （2）解：设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个， 根据题意，列出不等式组， 解得， 由于m取正整数，则m取10，11，12，13， ∵总费用表达式为， 若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好， 故应购买甲种机器人个，乙种机器人个， 此时费用为（万元）， 答：购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元． 押题猜想六 几何图形综合压轴问题（填空题） 试题前瞻·能力先查 限时：10min （2026·广东珠海·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， 又∵ 在与中 是等腰直角三角形 点在过点且与成角的直线上运动。 延长交直线于点 是等腰直角三角形 点为线段上一点， 当时， 有最小值，在中，。 分析有理·押题有据 从近四年的广东中考情况来看，本部分多以小题的压轴题呈现，对于知识点考察主要集中在三角形、四边形、解直角三角形、相似为主，特别是会涉及到特殊四边形的性质以及判定，同时对于折叠问题主要是主要折叠的边相等，角相等；综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 备考过程中，还需要熟悉并掌握常见的最值模型（将军饮马（遛马过桥）、费马点、胡不归、瓜豆原理、隐圆模型等），可有效提升解题效率。 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 2 【详解】解：设，由题意可知，． 当为等边三角形时，则有，即． ； 如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接． ， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在中，，, ． ，即． 连接，则． ． 当在同一条直线上时，最小，即为的长． 如图2，过点D作，交的延长线于M， 由题意可知，在中，，， ，． 在中，，， ． 的最小值为． 2．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 3 54 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点， 当时，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当点与点重合时，的值最大， 由函数图象经过点， 则当时，， 当时，连接，，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当点与点重合时，的值最大，， ∴的最大值为54． 3．（2025·广东东莞·二模）如图，在中，，，E、F分别是的中点，连接，将绕点B旋转一个角，连接并延长，与直线交于点G，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意得和都是等腰直角三角形，且，，，， ，，， ， ， ， 、C、A、G四点共圆， ， 点G在以为直径的圆上，点E在以B为圆心，为半径的圆上， 当为的切线时，有最小值，此时F、G重合， ， 即的最小值是， 故答案为： 4．（2025·广东东莞·二模）如图正方形，边长为12，动点，分别在边，上运动，连接，，将四边形沿翻折得到四边形，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点．是点到的距离，则的最大距离是_______ 【答案】/ 【详解】解：在正方形中，，， 过点作垂线，并延长交边于点，连接，延长交于点， 则点和点关于对称，四边形是矩形， ∴垂直平分，， ∴， 根据折叠可得， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 根据直角三角形直角边和斜边的关系可得， 故当点重合时取等号，最大， 故最大值为， 故答案为：． 押题猜想七 函数与几何综合问题（选择题） 试题前瞻·能力先查 限时：7min （2025·广东江门·一模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； ∵四边形是正方形，为对角线，， ∴点O是四边形的中心， 连接， ∴， ∴，为所在圆的直径， ∴所对圆心角的度数为， ∵， ∴， ∴所在圆的半径为； 设所在圆的圆心为E，与x轴交于F，与x轴交于G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵弓形的面积扇形的面积三角形的面积， ∴图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积． 故选：A． 分析有理·押题有据 从近五年的广东中考情况来看，函数的压轴小题一般是函数和几何的交汇问题，或者二次函数的性质考查，一般设点是最主要的，一般解题方法如下： 1）确定对称轴‌：先写出对称轴方程。 2）分情况讨论‌：根据对称轴与动区间的位置关系分三类： （1）对称轴在区间左侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 （2）对称轴在区间右侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 （3）对称轴在区间内‌： 顶点为最值点（开口向上为最小值，开口向下为最大值），另一最值在离对称轴较远的端点。 终极猜想·精练通关 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在和之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点坐标为， ∴有两个相等实数根， 即方程有两个相等实数根， ∴， ∴ 故③正确，符合题意； ∵的最大函数值为， ∴有两个不相等的实数根， 故④错误，不符合题意． 故选：B 2．（2024·广东河源·一模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 3．（2023·广东潮州·一模）如图，将直线向下平移一个单位长度后交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线于点C，以线段为边向上方作平行四边形，点E恰好落在双曲线上，连接，若轴，四边形的面积为8，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，延长交轴于，过点作， 将直线向下平移一个单位长度后得到的直线为， 令，得，令，得 ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ∵， ， ， ， ，， 设，则，， 的纵坐标为， 在上，则， ， 在直线上，则① 四边形的面积为8， 即， ， ② 联立①②得， ， 故选：C． 4．（2024·广东珠海·三模）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（    ） A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】解：由函数图象得，当时，点到达点，点到达点， 当时，点在上运动，，当时，点到达点，故选项B正确； ∵，时，， 解得， ∴，故选项正确； 当时，点在线段上，则， 过点作于点，则：， ∴， ∴， ， ∴， ，故选项错误； ， 当时，点在线段上，此时，， ，故选项D正确． 故选：C． 押题猜想八 尺规作图与几何证明 试题前瞻·能力先查 限时：8min （2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 【详解】（1）解：作 的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆， 如图所示即为所求. （2）解：设与的另一个交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，∴， ∵， ∴， ∴. 分析有理·押题有据 本考点为广东中考必考考点，常在解答题一出现，难度中等。尺规作图题属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题。 终极猜想·精练通关 1.（2026·广东东莞·一模）如图，在Rt中，，已知为的中点． (1)求作：过点作直线的垂线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：如图，图形即为所求； （2）解：结论：四边形是矩形． 理由：，， ， ，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 2．（2026·广东佛山·一模）如图，是平行四边形的一条对角线． (1)实践与操作：用尺规作图法作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：由作法得：垂直平分， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 3．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，． (1)用尺规作图法在线段上找到一点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以D为圆心，为半径作，求证：与相切． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，连接即为所求； （2）证明：如图， ， ， ∵直线垂直平分线段， ， ， ， 又， ， ， 为的半径， 与相切． 4．（2026·广东汕头·一模）如图，已知中，． (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． (2)求证：直线为的切线． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； 证明：平分， ， 、， ， ， ， ， ， 与相切； （2）证明：连接， 与相切， ， 由作法可知：， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 直线为的切线． 押题猜想九 综合与实践 试题前瞻·能力先查 限时：15min （2026·广东东莞·一模）综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)米 (3) (4)或 【详解】（1）解：如图，将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． （2）如图，连接、、， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 由（1）可知，， ∴（米）． ∴小河最短是沿线段修建，距离为米． （3）解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、， ∵为的直径，， ∴点、点都在上，为的直径， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，，， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点是的中点， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（1）可知， ∴， ∴； 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知，， 设，则， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 综上所述，线段与的数量关系是或． 分析有理·押题有据 本考点为广东中考必考考点，常在解答题三出现，难度压轴。这个最近四年广东出现的新题型，综合考查考生的理解能力和数学在生活中的实际应用问题，冲刺阶段，不断要加强训练，特别是几何的性质和函数的交汇问题 终极猜想·精练通关 1．（2026·广东江门·一模）综合与实践 项目背景 折纸，是一种古老而又充满魅力的活动．在折纸的过程中就仿佛踏入了一个几何图形的奇妙世界，探索着其运动变换形态，揭示隐藏的性质与规律．每一次折叠，都是对空间想象力的尝试，也是对几何直观感知的一次锻炼． 问题 如何将一张纸片折叠成一个矩形（拼接处无缝隙、无重叠）？ 尝试思考 三角形纸片（）按图1所示折叠成矩形，若，，，则长度是多少？    类比思考 如图2，任意的平行四边形纸片（，边长，，边上的高为） 问题1：当，，时，能按图2所示折叠成矩形吗？ 问题2：平行四边形纸片要折出图2中的矩形，须满足什么条件?（用含、、的式子表示） 延伸思考 问题3：对于任意的平行四边形纸片（），经过适当的调整，都能按图3所示折叠成矩形，说明、、、这些点是如何确定？    请解答（或回答）下列问题： (1)“尝试思考”中的长度是______； (2)①请回答“问题1”中的问题，要有必要的解答过程； ②直接写出问题2中的条件； (3)请回答问题3，要有必要的解答过程． 【答案】(1)6 (2)①能折叠成矩形，理由见解析；②； 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：①能折叠成矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠可知，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②由①知， 由题意得， 即， ∴； （3）解：分别取和的中点和，连接和相交于点，以点为圆心，为半径作圆分别交和于点和，顺次连接、、、，则可折叠成矩形． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． (2)【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． (3)【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)的中点为； (2)①见解析；②的长为或或． (3)的值为． 【详解】（1）解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （2）解：①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． （3）解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 3．（2026·广东广州·模拟预测）综合与实践． 【了解定义】如图1，在和中，，，点，在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【探究性质】小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小明利用图1给出如下已知、求证，请帮助小明完成证明． 已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． (2)【探究运用】如图 2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【详解】（1）证明：和是同位等腰三角形， ． ， 即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是同位等腰三角形． 4．（2026·广东佛山·一模）综合与实践：如何在不同形状的卡纸中，裁出面积尽可能大的矩形？ (1)【特例尝试】 如图1，是一张直角三角形卡纸，，，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），过点P作一边的垂线，与一直角边相交于点M．以线段为边，在三角形卡纸内可剪出一个尽可能大的矩形．求剪出的矩形的最大面积．（先画出示意图，再解答） (2)【拓展延伸】 一块长为，宽为的矩形卡纸如图2所示，沿线段裁切后得到五边形，其中，，，再沿着曲线（以B为坐标原点的某反比例函数图象的一部分）再次裁切，剩下余料为，小明用这块余料裁出矩形，其中边在上，点Q在线段上，点P在曲线上．请你直接写出矩形面积的最大值． 【详解】（1）解：如图1，过点P作，点M在上，以线段为边，作矩形， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为； 如图2，过点P作交于点M，过点P作交于点Q， ∴四边形为矩形， ∵， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 当时，有最大值，最大值为，即． （2）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系， ∵矩形卡纸的长为，宽为，，， ∴，， 设直线的解析式为， 将点A，E代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵曲线是反比例函数的一部分， 设反比例函数的解析式为， 将点E代入得：，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 当时，的最大值为． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $