4.2 方差课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

4.2 方差 1 李教练到八（1）班选拔一名篮球队员，李教练对张同学和陈同学两名学生进行 5 次投篮测试，每人每次投 10 个球，下图记录的是这两名同学 5 次投篮中所投中的个数. 队 员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 张同学 7 8 8 8 9 陈同学 10 6 10 6 8 思考：若李教练想选一个投篮稳定的队员，那他应该选谁更好呢？ 情境 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 问题1：计算两人的平均成绩分别是多少？ 两人的平均成绩相同. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 情境 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 问题2：如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度？ 下图表示数据的分布情况 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 问题3：观察上图，你有什么发现？ 刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近，李飞的与其平均成绩的偏离程度较大. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 探究 有两组数据：① 4，5，6，7，8；②3，6，6，6，9. 如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ x1=＿＿ ① 4 5 6 7 8 (4－x1)+(5－x1)+… +(8－x1)=＿＿＿ x2=＿＿ 6 6 -2 -1 0 1 2 0 ② 3 6 6 6 9 (3－x2)+(6－x2)+… +(9－x2)=＿＿＿ -3 0 0 0 3 0 (xi－x)= (xi－x)= (x1－)+ (x2－)+ ···+ (xn－)=0，无法用各个数据与平均数的偏差之和刻画这组数据的离散程度. ①组数据与平均数差的绝对值之和，这组数据与1 的差的平方和分别为 ②组数据与平均数差的绝对值之和，这组数据与2 的差的平方和分别为 ︱4-6︱+︱5-6︱+︱6-6︱+︱7-6︱+︱8-6︱=6， (4 - 6)² + (5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)² + (8 - 6)² = 10. | 3 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 9 - 6 | = 6， (3 - 6)² + (6 - 6)² + (6 - 6)² + (6 - 6)² + (9 - 6)² = 18. 我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 各个数据与 的差的绝对值之和可能相等，无法来刻画这组数据的离散程度. 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2. 离差平方和 S² 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 离差平方和的概念 思考：如何刻画一组数据与其平均数 的平均离散程度呢？ 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 s2. 方差 s² 刻画了一组数据与其平均数 的平均离散程度. 方差的概念 例1 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 分别计算刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定. 解：因为刘亮和李飞的射击平均成绩均为8环， = (7 - 8)² + (8 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (7 - 8)² +(8 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (7 - 8)² + (9 - 8)² = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6， 所以 于是 = = (6 - 8)² + (8 - 8)² + (7 - 8)² + (7 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (10 - 8)² + (7 - 8)² + (9 - 8)² + (9 - 8)² = 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 = 14， 于是 = 计算结果表明， ， 因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定. ＜ 例2 有两个女生小合唱队，各由 5 名队员组成，她们的身高（单位：cm）为： 甲队：160，162，159，160，159； 乙队：169，165，157，150，164. 试判断哪队队员身高比较整齐， 甲队队员身高的离差平方和是 = (160 - 160)² + (162 - 160)²+ (159 - 160)²+ (160 - 160)²+(159 - 160)² = 6. 解：甲队队员的平均身高是 甲 = ( 160 + 162 + 159 + 160 + 159) = 160 (cm). 于是方差 乙队队员的平均身高是 乙队队员身高的离差平方和是 = (160 - 160)² + (162 - 160)² + (159 - 160)²+ (160 - 160)² + (159 - 160)² = 226. 乙 = (169 + 165 + 157 + 150 + 164) = 161 (cm). 于是方差 计算结果表明， ， 因此，甲队队员的身高比较整齐. ＜ 因为 ，i＝1，2，…，n， 所以 又方差 ，于是 . 思考：根据方差的公式推导出其他不同的形式的方差公式？与同桌交流. 当一组数据个数很多时，求离差平方和与方差的运算量很大，我们可以借助计算器来求. 方差 方差越大（小），数据的波动越大（小） 意义 公式 1.对于一组统计数据3，3，6，5， 3. 下列说法错误的是(　　) A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6 D 2.一组数据1，2，a，4，5的平均数是3,则这组数据的方差是_______.  　2　 3.某次跳绳比赛中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况 如下表： 下列三个命题： （1）甲班平均成绩低于乙班平均成绩； （2）甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大； （3）甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数.（跳绳次数≥150次为优秀） 其中正确的命题是 .（只填序号） ②③ 4.中考体育测试有一个项目是足球颠球，九年级学生赵明和何亮为了训练足球颠球，他们各进行了五次足球颠球训练，下面是他们每次训练的颠球个数： 赵明：25，23，27，29，21；何亮：24，25，23，26，27. 试求出赵明和何亮在训练中足球颠球个数的离差平方和与方差，并判断谁的足球颠球更稳定？ 解：赵明：平均数：25；离差平方和：40；方差：8 何亮：平均数：25；离差平方和：10；方差：2 何亮的足球颠球更稳定. $