数学（黑龙江哈尔滨卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．春风不语，文物有声．春日里的博物馆，藏着时光的沉淀，也藏着文明的回响．趁着春假暖阳，很多同学走进博物馆，赴一场与历史的温柔相遇，下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．截至2025年12月，我国生成式人工智能（AI）的用户规模最新官方数据为6.02亿人，将数据602000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图是由7个小正方体组成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 第4题图 5．方程的解为（    ） A． B． C．1 D． 6．二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 7．将边长相同的黑白小正方形按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有1个小正方形，第②个图案中共有4个小正方形，第③个图案中共有9个小正方形，…，按此规律拼下去，则第⑧个图案中小正方形的个数共有（    ） A．36个 B．42个 C．49个 D．64个 第7题图 第8题图 第9题图 8．如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在中，．①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧．两弧相交于点，作射线．②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点．③连接．根据以上作图，若点到直线的距离为1，则线段的长（    ）． A．1 B． C． D．2 10．如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段 向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 第10题图 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是_____________． 12．因式分解：___________． 13．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口恰好遇到绿灯的概率为______． 14．不等式组的解集是________ 15．在一个半径为的圆上，截取一段长度为的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为____． 16．物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 第16题图 第18题图 第20题图 17．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______． 18．如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时，__________． 19．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 20．如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 三、解答题（本大题共7个小题，其中21-22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本题7分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题7分）如图1，图2所示，正方形网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形；请按要求画出符合条件的格点三角形． (1)在图1中，画出以为直角边的等腰直角三角形； (2)在图2中，画出以为一边的等腰三角形；且保证一个内角的正切值为并直接写出的面积 图1 图2 第22题图 23．（本题8分）八年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校八年级学生的预习情况，对该校八年级学生每天的课前预习时间（单位：）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数分布表和扇形图： 组别 课前预习时间（t/分） 频数（人数） 频率 1 2 2 a 0.10 3 16 0.32 4 b c 5 3 第23题图 根据图表中的信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量为_________；____；______；______ (2)计算第4组扇形圆心角的度数． (3)该校八年级有1200名学生，估计这些学生中课前预习时间不少于20分钟的人数． 24．（本题8分）已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接．    第24题图 (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形． 25．（本题10分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 26．（本题10分）如图，为直径， ，弦交于点E，连接． 第26题图 (1)如图1，求证： (2)如图2，过点B作交于点G，交于点F，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作 于M，延长分别交于P，交于N，连接，若 求线段 的长． 27．（本题10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B． 第27题图 (1)求的长； (2)如图1，点D为第三象限内一点，连接，其中，点C在x轴的负半轴上，，连接，，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，直线交于点E，交的延长线于点F，过点D作轴，交的延长线于点G，其中，且，当时，求n的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2．春风不语，文物有声．春日里的博物馆，藏着时光的沉淀，也藏着文明的回响．趁着春假暖阳，很多同学走进博物馆，赴一场与历史的温柔相遇，下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 3．截至2025年12月，我国生成式人工智能（AI）的用户规模最新官方数据为6.02亿人，将数据602000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的标准形式为，其中要求，为整数，只需确定和的值即可求解． 【详解】解：． 4．如图是由7个小正方体组成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．从左边看得到的每列正方形的个数是解决本题的关键． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】 解：从左边看得到的图形是： ， 故选：C． 5．方程的解为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】去分母化分式方程为整式方程，求解后检验的步骤即可得到结果． 【详解】解: 方程两边同乘最简公分母，得 解得 检验：当时， ∴ 原分式方程的解为． 6．二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像和坐标轴交点． 将代入解析式解方程即可． 【详解】解：令，得， 解得或， 所以交点坐标为和． 故选：A． 7．将边长相同的黑白小正方形按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有1个小正方形，第②个图案中共有4个小正方形，第③个图案中共有9个小正方形，…，按此规律拼下去，则第⑧个图案中小正方形的个数共有（    ） A．36个 B．42个 C．49个 D．64个 【答案】D 【分析】根据题意得到小正方形的个数是序号的平方，进而求解即可． 【详解】解：∵第①个图案中小正方形的个数为； 第②个图案中小正方形的个数为； 第③个图案中小正方形的个数为； …… ∴第⑧个图形的小正方形的个数． 8．如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过点作的平行线交于点，利用平行线分线段成比例得到为的中点，再结合相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 四边形是平行四边形， 是的中点，， ， ∴， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在中，．    ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧．两弧相交于点，作射线． ②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点． ③连接． 根据以上作图，若点到直线的距离为1，则线段的长（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F，    由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：B． 10．如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段 向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分、、三种情况进行讨论，得到关于的解析式，再判断即可． 【详解】解：过点作交于点，如图1． 菱形的边长为6，面积为， ． 设运动时间为秒，则． 当时，点在上运动，此时． 作交于点，如图1，则 ， ， ，即，解得， 此时 ， 该部分函数图象是开口向上的抛物线，故选项符合题意； 当时，如图2，此时点在上，点在上，则， 此部分的函数图象是一条线段且随的增大而增大； 当时，如图， ， ，即，解得， 此时 ， 该部分函数图象是开口向下的抛物线， 综上，A符合题意． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列不等式，求解即可． 【详解】解：由题意知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零，因此可得： ， 解得：． 12．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先确定多项式的公因式为，提取公因式后，剩余因式符合平方差公式的形式，再利用平方差公式继续分解即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 13．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口恰好遇到绿灯的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，根据概率公式：随机事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有可能的总结果数，先算出交通信号灯亮灯的总时长，然后直接代入数据计算即可． 【详解】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒， ∴该路口交通信号灯亮灯的总时长为：（秒）， 又∵绿灯时间为25秒， ∴根据概率公式，小明过该路口恰好遇到绿灯的概率为． 故答案为：． 14．不等式组的解集是________ 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定原则，得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得； 解不等式 ， 移项得； 可得不等式组的解集为． 15．在一个半径为的圆上，截取一段长度为的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为____． 【答案】/140度 【分析】本题考查的知识点是求圆的周长、求圆心角，解题关键是熟练掌握求圆心角的方法． 先求出圆的周长，再根据即可求出所对的圆心角度数． 【详解】解：该圆的周长为， 长度为的圆弧所对的圆心角度数为． 故答案为：． 16．物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 【答案】18 【分析】设阻力和阻力臂的函数解析式为，得出，再根据阻力阻力臂动力动力臂求解即可． 【详解】解：由题意得，设和阻力臂的函数解析式为， 将代入，得， ∵阻力阻力臂动力动力臂， 动力， ∴动力为18． 17．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ， 值为， 故答案为：． 18．如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时，__________． 【答案】或/或 【分析】分两种情况：①延长交于，由，，，得，，，根据将沿翻折，使得点落在点处，有，，在 中，可得，，即知，再用勾股定理即得；②与交于，同①方法可求出． 【详解】解：分两种情况： ①延长交于，如图： ， ， ，，， ， ，， 是边的中点， ， 将沿翻折，使得点落在点处， ，， 在 中，， ， ， 在 中， ； ②与交于，如图： 由题意知：， 将沿翻折，使得点落在点处， ，， 在 中，， ， ， 在 中， ； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角函数及解直角三角形的有关知识，解题的关键是明确翻折前后的对应角和边相等，在计算中利用等角的三角函数值相等解决问题． 19．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标． 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 20．如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 【答案】②③⑤ 【分析】证明得出，进而根据三角形的外角的性质可得，即可判断②，证明，得出不一定成立，故①不正确，证明求得，进而判断③，过点作于，过点于，求得，证明得出，，则四边形的面积是，即可判断④，以为边向下作等边三角形，得出四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小，进而得出点与点距离的最小值为，进而判断⑤ ． 【详解】四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴， 在和中， ， ， ∴ ∴，故②正确 ∵， ∴ 又 ∴ ∴不一定成立，故①不正确 如图 ∵， ∴， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∵ ∴，故③正确； 过点作于，过点于， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积是，故④不正确 如图，以为边向下作等边三角形， ∵，， ∴四边形是的内接四边形，即在上运动，当在线段上时，最小， 过点作，则， ∴， ∴ ∴点与点距离的最小值为，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，其中21-22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】括号里先通分进行分式加减运算，然后再进行分式乘除运算，根据特殊角的三角函数值求出x的值后代入，即可得出最后结果． 【详解】解： ， 当时， ， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记分式混合运算的运算法则以及特殊的三角函数值是解答本题的关键． 22．如图1，图2所示，正方形网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形；请按要求画出符合条件的格点三角形． (1)在图1中，画出以为直角边的等腰直角三角形； (2)在图2中，画出以为一边的等腰三角形；且保证一个内角的正切值为并直接写出的面积 【答案】(1)见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形，解直角三角形等知识，解题的关键是数形结合． （1）以点为旋转中心，将逆时旋转得到，最后连接即可； （2）根据勾股定理可得，则取，此时，再连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求， ． 23．八年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校八年级学生的预习情况，对该校八年级学生每天的课前预习时间（单位：）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数分布表和扇形图： 组别 课前预习时间（t/分） 频数（人数） 频率 1 2 2 a 0.10 3 16 0.32 4 b c 5 3 根据图表中的信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量为_________；____；______；______ (2)计算第4组扇形圆心角的度数． (3)该校八年级有1200名学生，估计这些学生中课前预习时间不少于20分钟的人数． 【答案】(1)50，5，24，0.48 (2) (3)1032人 【分析】（1）根据3组的频数和百分数，即可得到本次调查的样本容量，根据2组的百分比即可得到a的值，进而得到2组的人数，由本次调查的样本容量-其他小组的人数即可得到b，用b除以本次调查的样本容量得到c； （2）根据4组的人数占总人数的百分比乘上，即可得到扇形统计图中“4”区对应的圆心角度数； （3）根据每天课前预习时间不少于的学生人数所占的比例乘上该校八年级总人数，即可得到结果． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为： ， ， ， ． 故答案为：50，5，24，0.48． （2）解：第4组扇形圆心角的度数为：． （3）解：估计这些学生中课前预习时间不少于20分钟的人数为： （人）． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，用整个圆的面积表示总数（单位1），用扇形面积表示各部分占总数的百分数．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 24．已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接．    (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，结合，即可得证； （2）根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】（1）证明：∵直线是线段的垂直平分线， ∴，即，且，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当时，， ∴， ∴四对全等的等腰三角形是：，，，． 25．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 (2)当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． （2）解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少． 26．如图，为直径， ，弦交于点E，连接． (1)如图1，求证： (2)如图2，过点B作交于点G，交于点F，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作 于M，延长分别交于P，交于N，连接，若 求线段 的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）如图1，连接，根据为的直径，得出， 结合 ，得出，证明，即可证出； （2）如图2，连接，根据 ，得出，再证明，得出，根据，得出，再结合，即可证明； （3）如图3，延长交于点T，连接，证明四边形为矩形，得出，再根据，得出，即可得，过点 F 作 于U，证明，得出，再证出，根据，得出，即可得，得出，证出，再证明，即可得，结合，得出，根据，，，算出，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴，      ∵ ，    ， ∵ ， ∴， ∴； （2）证明：如图2，连接， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵为 的直径， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ； （3）解：如图3，延长交于点T，连接， ∵为 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ 四边形为矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， 过点 F 作 于U， ∴， ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 为 的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∵ 经过圆心O， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴中， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． 27．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B． (1)求的长； (2)如图1，点D为第三象限内一点，连接，其中，点C在x轴的负半轴上，，连接，，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，直线交于点E，交的延长线于点F，过点D作轴，交的延长线于点G，其中，且，当时，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，解出x的值即可解题； （2）过点作于点，设与轴交于点M， 由解析式可以得到，的长，然后证明，即可得到，即可求出长，根据解题即可； （3）过点作 交直线于点,交于点,设交轴于点，得到，然后设交于点,交于点,在上取一点,使，则有，则有，然后利用，计算解题即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：当时，， ∴， 又∵， ∴， 点的坐标为， 过点作于点，设与轴交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； （3）过点作 交直线于点,交于点,设交轴于点. ， ， ， ∴四边形为矩形. ， 同理四边形为矩形, ∴. ， ， ， ， ∵, ∴. ∵ , ∴， 设交于点,交于点, ， ， ， ， ， 在上取一点,使， ∵, ∴， ∴， ∵, ∴， , ∴， ∴， ∴， ∵点的横坐标为,在直线上, ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶)【W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D] 9.A1[B1[C1[D] 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.A[B1[C][Dj 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.A][B1[C1ID1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分) 12 13. 15 16 17 18. 19 20. 三、解答题（本大题共7个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) (1) (2) D 图1 图2 第22题图 23.(8分) (1) _；a=-;b=;c=— (2) (3) 24.(8分) (1) D O B B 图1 图2 第24题图 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) (1) (2) 26.(10分) G Q Q B B E B E E M D 图1 图2 图3 第26题图 (2) 3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（10分) (1) A 图1 图2 第27题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．春风不语，文物有声．春日里的博物馆，藏着时光的沉淀，也藏着文明的回响．趁着春假暖阳，很多同学走进博物馆，赴一场与历史的温柔相遇，下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．截至2025年12月，我国生成式人工智能（AI）的用户规模最新官方数据为6.02亿人，将数据602000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图是由7个小正方体组成的几何体，其左视图是（   ） A． B． C． D． 第4题图 5．方程的解为（    ） A． B． C．1 D． 6．二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 7．将边长相同的黑白小正方形按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有1个小正方形，第②个图案中共有4个小正方形，第③个图案中共有9个小正方形，…，按此规律拼下去，则第⑧个图案中小正方形的个数共有（    ） A．36个 B．42个 C．49个 D．64个 第7题图 第8题图 第9题图 8．如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在中，．①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧．两弧相交于点，作射线．②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点．③连接．根据以上作图，若点到直线的距离为1，则线段的长（    ）． A．1 B． C． D．2 10．如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段 向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 第10题图 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是_____________． 12．因式分解：___________． 13．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口恰好遇到绿灯的概率为______． 14．不等式组的解集是________ 15．在一个半径为的圆上，截取一段长度为的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为____． 16．物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值，“杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用．如图，用启瓶器很容易将瓶盖启开，运用的就是“杠杆原理”，即阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力F（单位：N）和阻力臂L（单位：）之间的函数图象如图所示，若动力臂为，则需要使用________N的动力刚好将瓶盖启开． 第16题图 第18题图 第20题图 17．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______． 18．如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时，__________． 19．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 20．如图，在菱形中，，，点为中点，点、分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面五个结论： ①；②；③当时，； ④当时，四边形的面积是；⑤点与点距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有______．（诸填写序号） 三、解答题（本大题共7个小题，其中21-22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本题7分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题7分）如图1，图2所示，正方形网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形；请按要求画出符合条件的格点三角形． (1)在图1中，画出以为直角边的等腰直角三角形； (2)在图2中，画出以为一边的等腰三角形；且保证一个内角的正切值为并直接写出的面积 图1 图2 第22题图 23．（本题8分）八年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校八年级学生的预习情况，对该校八年级学生每天的课前预习时间（单位：）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数分布表和扇形图： 组别 课前预习时间（t/分） 频数（人数） 频率 1 2 2 a 0.10 3 16 0.32 4 b c 5 3 第23题图 根据图表中的信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量为_________；____；______；______ (2)计算第4组扇形圆心角的度数． (3)该校八年级有1200名学生，估计这些学生中课前预习时间不少于20分钟的人数． 24．（本题8分）已知：在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，过点作交直线于点，连接．    第24题图 (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的等腰三角形． 25．（本题10分）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 26．（本题10分）如图，为直径， ，弦交于点E，连接． 第26题图 (1)如图1，求证： (2)如图2，过点B作交于点G，交于点F，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作 于M，延长分别交于P，交于N，连接，若 求线段 的长． 27．（本题10分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交y轴于点A，交x轴于点B． 第27题图 (1)求的长； (2)如图1，点D为第三象限内一点，连接，其中，点C在x轴的负半轴上，，连接，，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，直线交于点E，交的延长线于点F，过点D作轴，交的延长线于点G，其中，且，当时，求n的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 6 7 8 9 10 O D B C D A D A 小 A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 11.x>2 12.a2-b2+b) 位哥 14.-2<x≤1 15.140° 16.18 17.33 18.3V13或2V1319.1-2,0 20.②③⑤ 三、解答题（本大题共7个小题，其中21-22题各7分，23一24题各8分，25一27题各10分，共计60分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 21.(本题7分) 解： x一÷1 x-1 X x+1-1 (1分) x+1x-1x+1 x+1 (x+1)x-1x (2分) 61 -11 (3分) 当=92sin45+2an60°=2×2+2×3=1+233时， (5分) 1 1 1V3 x-11+23-1236 原式c3 (7分) 22.(本题7分) 解：(1)如图，△ABE即为所求； 1/11 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 图1 (3分) (2)如图，△CDF即为所求， 图2 (6分) 2 ×4×5=10. (7分) 23.(本题8分) 解：(1)本次调查的样本容量为：16÷0.32=50， a=50×0.1=5, b=50-2-5-16-3=24, c=24÷50=0.48 故答案为：50,5,24,0.48.(4分) (2)第4组扇形圆心角的度数为：360°×0.48=172.8°. (6分) (3)估计这些学生中课前预习时间不少于20分钟的人数为： 1200×16+24+3=1032(人).(8分) 50 24.(本题8分) 证明：(1)，直线DE是线段AC的垂直平分线， ∴AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD,AO=CO,(1分) CE‖AB, ∴.∠DAO=∠ECO, 2/11 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ·△AOD≌△COEASA, (2分) ∴.OE=OD, ∴.四边形ADCE是平行四边形， (3分) ,AC⊥DE, ∴.四边形ADCE是菱形： (4分) (2)当∠ACB=90时，OD BC, ∴.BD=DC=AD, 四对全等的等腰三角形是： △ADE≌△CED,△ADE2△DBC,△CED≌△DBC,△ADC≌△CEA,(4分) 25.(本题10分) 解：(1)设航海模型的单价为x元，则航空模型的单价为x+35元， 2500_3、2400 由题意得， x+354X (2分) 解得：X=90, (3分) 经检验，x=90是方程的解且符合题意，(4分) 则x+35=90+35=125, 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元. (5分) (2)设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型120-m个， 由题意得，m≥号120-m, (7分) 2 解得：m≥40， (8分) 由题意得，y=125×0.8m+90120-m=10m+10800, .10>0, ∴.y随m的增大而增大， ∴.当m=40时，y有最小值，最小值为10×40+10800=11200， 此时120-m=120-40=80,(9分) 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少.(10分) 26.(本题10分) 证明：(1)如图1，连接BC, 3/11 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D 图1 AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.∠CAB+∠CBA=90°，(1分) .AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA=45°， AC=AC, .∠D=∠B=45°， ,∠AEC=∠BCD+∠B=45°+∠BCD, ∠CAD=∠CAE+∠DAE=45°+∠DAE, .BD=BD .∠BCD=∠DAE,(2分) ∴.∠AEC=∠CAD: (3分) (2)如图2，连接BD, G E D 图2 BF‖AD, ∴.∠BGD=∠ADC=45°， BC=BC' ∴.∠BDC=∠BAC=∠ADC=45°， 4/11 厨学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠BGD=∠BDG=45°， ∴.BG=BD,∠GBD=90°， (4分) AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， sin∠BAD=BD=BG (5分) ABAB :BF‖AD, .∠ABG=∠BAD, sin∠ABG=BG (6分) AB (3)如图3，延长BF交⊙O于点T,连接CT、AT、BD、AN,BC, 图3 ,AB为⊙O的直径， .∠ATB=90°， :∠BDA=∠DBG=90°， ∴.四边形ATBD为矩形， ·AD=BT,AT=BD, AD-BG=4 FG, 3 ·BT-BG=号FG, 3 G-PG. .TG-FG=TE, “含rG-FG=P 5/11 厨学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :TF=号FG,(7分) 过点F作FU⊥TC于U, .∠TUF=90°， .BC=BC, .∴.∠UTF=∠CAB=45°， .∠UFT=∠UT℉=45°， ..TU=UF, .'∠CGT=∠BGD=45°， ∴.∠TCG=90°=∠TUF, ∴.UF‖CG, .TU-IF_1 UC FG3 瓷光号 tan∠Ucr 31 .'AT=BD, .'AT=BD: ∴.LTCA=∠DCB, tan∠DCB=tan∠UCF= ∴.tan∠BAD=tan∠DCB= .BD-1 ·AD3' .AD=3 BD, ,BM⊥CD, .∠BMD=90°， ,∠ADC=45°， .∠DPM=45°， ∴.∠DPM=∠DBM=45°， ∴.DP=BD,BM=PM, 6/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ..AD=3DP, ∴AD-PD=3DP-DP=2DP, ∴AP=2DP,(8分) ,∠APN=∠DPM=45°，AB为⊙O的直径， .∠N=90°， .∠NAP=45, .∠NAP=∠NPA, .'NA=NP, ∴.AP=2NP, ∴.2DP=2NP, ∴.NP=2DP, (9分) .'BP=2 DP, .NP=BP, OP经过圆心O, .OP⊥BN .∠OPB=90°=∠EMB, .AN=NP=BP, ∴.BN=2AN, ∴.tan∠ABN= AN1 BN-2, .EM‖OP, ∴.△BEM一△BOP, :EM=BM=BM、-1 OP BP 2BM2 .OP=2, .EM=1, ..EM M =ian∠ABN-=2 ∴.BM=2EM=2, ∴.PM=2, .BM CM =tan∠DcB=号 7/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.CM=3BM=6, ∴Rt△PCM中，CP=VPMP+CM=V2+6=2V10. (10分) 27.(本题10分) 解：(1)令y=0,则nx-n=0,解得n=1,(1分) ∴.点B的坐标为(1,0) ∴.OB=1; (2分) (2)当x=0时，y=-n, ..OA=-n, 又，OC=OA, ..OC=-n, 点A的坐标为(0，-n),(3分) 过点D作DN⊥BC于点N,设BD与y轴交于点M, .∠AOB=∠MOB=∠ABM=∠BDN=90, ∴.∠OAB+∠OBA=∠OBM+∠OBA=90°， ∴.∠OAB=∠OBM, ∴△OAB一△NBD,(4分) 器-8限成 1-t DN' 解得：DN=-1-t n s=0cDN=-小1片=分+ (5分) n (3)过点B作BR⊥DG,BR交直线EF于点R,交DG于点P,设DG交y轴于点N. 8/11 耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 R B ,'DG‖BH,∠BHD=90°， .∠HDN=90°， .∠HON=90°， ∴.四边形HDNO为矩形 .DN=OH,∠DNO=90°， 同理四边形ONPB为矩形， ∴.PN=OB=1. S=-1t18 -t+ 251 = DW=11 ·PD=16 :OC=OA,∠AOC=90°， ∴.∠AC0=∠OAC=45. :DG‖BC, .∠CBD=∠BDG=∠AFE, (7分) 设EF交OB于点K,交BD于点Q, .∠CKF=LBKQ ∴.∠BQE=∠KCF=45, ,BD⊥BE, ∴.∠BEQ=45°， 9/11 厨学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ∴.BE=BQ,∠BER=135, 在BD上取一点M,使BM=BG, :∠MBG=90°， ∴.∠BMG=45°， ∴.∠DMG=135=∠BER, EG=BD,BM=BG, .BE=DM, ∴.∠BDG+∠DBP=90°，∠DBP+∠PBG=90°，∠EBR=∠PBG, ∴.∠EBR=∠MDG, .△MDG≌△EBR, ∴.DG=BR, :点R的横坐标为1，在直线y=kx-k+5上， ∴.R(1,5) .DG=BR=5,(9分) 心号 9 BPBP,ian∠BDP=PB-PB ·tan∠PBG=PG=5 PD 16 5 9 5 BP BP-16 ·BP=12 ' 9 14 GN=PG+PN=+1= 5 51 G14_12 5,-5 :14n-n=-12 5 5 -4 .n= 3· (10分) 10/11 ©学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 11/11 11 2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共30分） 11．_______________ 12．_______________ 13．_______________ 14．_______________ 15．_______________ 16．_______________ 17．_______________ 18．_______________ 19．_______________ 20．_______________ 三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（7分） (1) (2) 第22题图 23．（8分） (1) _________；a=____；b=______；c=______. (2) (3) 24．（8分） (1) 第24题图 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） (1) (2) 26．（10分） (1) 第26题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（10分） (1) 第27题图 (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $