2026年中考数学二轮复习《反比例函数与几何综合解答题》常考热点题型专题提升训练

2026年中考数学二轮复习《反比例函数与几何综合解答题》 常考热点题型专题提升训练 1．如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数 的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 2．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴正半轴交于点A，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点C是AB延长线上一点，过点C作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当时，求值． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 4．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与x轴交于点． (1)求k，m的值； (2)过第一象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D，若，求n的值． 5．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点在反比例函数的图象上； 6．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若，请直接写出关于的不等式的解． (3)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，且一次函数与x轴，y轴分别交于点，D． (1)求一次函数的解析式和点A，B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得则点P的坐标为_____． 8．在平面直角坐标系中的位置如图所示，边经过原点O，点A，B关于y轴对称，交y轴于点E，交x轴于点G，连接，交x轴于点F，反比例函数的图象经过点B，C．已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积； (3)将向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_______． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式，并直接写出，两点的坐标； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 10．如图所示，过点的一次函数图象交反比例函数图象于A，B两点，连接，，与x轴负半轴夹角为，且，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出：一次函数值小于反比例函数值时，x的取值范围． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点，过点作的垂线交反比例函数的图象于另一点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)点是第三象限内反比例函数图象上位于点右侧的一点，若，求点的坐标； (3)设点是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交于点，若与相似，求点的坐标． 12．如图所示，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，B两点，点P是反比例函数图像上一动点． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)设点P是第四象限内反比例函数图像上的点，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，函数的图象过点和两点． (1)求和的值； (2)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点． 若，求直线解析式； 若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、 (1)求点的坐标及反比例函数的关系式； (2)如图2，若过点的直线交轴正半轴于点，交反比例函数的图象于点， ①若，求的面积； ②在①的条件下，反比例函数的图象上有一动点，若点的横坐标为，且点关于直线的对称点为，当为直角三角形时，求点的横坐标的值． 15．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图1所示，四边形的四个顶点分别为，，，． (1)当四边形的边与反比例函数的图象有且只有1个公共点时，求的值； (2)如图2，若反比例函数的图象与四边形的边分别交于点，，且，是的两个黄金分割点，求四边形的面积； (3)如图3，若反比例函数的图象与四边形的边围成的封闭区域内部（不含边界）刚好有个整点（横、纵坐标都为整数的点）时，直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二轮复习《反比例函数与几何综合解答题》常考热点题型专题提升训练》参考答案 1．(1) (2)16 (3) 【分析】（1）证明，得出； （2）根据，得出，求出，，从而得出，即可得出答案； （3）设点P的坐标为，根据为以点为直角顶点的直角三角形，得出，即可得出， 【详解】（1）解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ； ∵为以点为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 2．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）过点B、C分别作轴于N，轴于M，易得，从而可求点、和的坐标，进而，，再根据三角形面积之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； ∵，∴， 将点，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）过点B、C分别作轴于N，轴于M， 则， ∴，∴， ∴，∴， ∵轴，∴，， ∴，， ∴． 3．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入得得出，联立反比例函数与直线解析式，解方程，即可求解； （2）分在轴和在轴两种情况讨论，根据，利用两点距离公式建立方程，解方程，即可求解； （3）设，过点作交轴于点，交轴于点，分别求得，，根据 ，，建立方程求得的坐标，再求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立， 解得：或， ∴， （2）解：①当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ②当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或； （3）解：如图，设，过点作交轴于点，交轴于点，连接, 设解析式为 ∴ 解得： ∴的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵，则直线的解析式为 同理可得直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵与轴交于点． 当时，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 4．(1)，； (2)． 【分析】（1）分别将点，代入反比例函数，一次函数，即可求解； （2）由题意可得，，，三点的纵坐标相等，表示出、的坐标，求出，的长度，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将点代入可得，，解得， 将点代入可得，解得， 则，； （2）解：由（1）可得，反比例函数为，一次函数为， 由题意可得，，，三点的纵坐标相等，为，且， 将代入可得，即， 将代入可得，解得，即， 则，， 由可得，解得， 检验，，符合题意， 则． 5．(1) (2)见详解 【分析】（1）如图，过点D作，过点C作，根据菱形的性质和已知点坐标利用勾股定理求出，证明，得出，即可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，则，，验证即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作，过点C作， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ， ∴点在反比例函数的图象上． 6．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求得的值，从而可得反比例函数的解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得点的坐标，再将点、的坐标代入一次函数解析式中即可得解； （2）确定一次函数的图象在反比例函数图象的下方时的取值范围即可得解； （3）设直线与 直线的交点为，求出点的坐标， 设， 根据三角形的面积公式表示出，列方程求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象， ， 反比例函数解析式为， 将代入， 得， ． 将，两点分别代入，得 ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：观察图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 不等式的解集为或． （3）解：如图，设直线与 直线的交点为， 把代入得， ，即， 设， 的面积为， ， ， 解得或， 点的坐标为或 ． 7．(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）将点C代入一次函数表达式即可确定函数解析式，然后联立两个函数求解即可； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 联立两个函数：， 解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）根据函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为或； （3）将代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， ∴点坐标为． 8．(1) (2)6 (3)2 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）证明，推出，根据阴影部分的面积，据此计算即可求解； （3）设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点，B关于y轴对称， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵反比例函数的图象经过点B，C， ∴点C，B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点A，C关于x轴对称， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积； （3）解：由（2）得点D的坐标为， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 即将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上． 9．(1)，，， (2) 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式，再根据一次函数解析式先求出点C、D坐标即可； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得，， ， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为， 将点和点的坐标代入得， ，解得， 一次函数的解析式为； ，； （2）解：的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， 解得， 点在第三象限， ， 将代入得，， 点坐标为． 10．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题关键是利用三角函数和勾股定理求出点的坐标，再结合函数性质求解解析式、面积和不等式解集． （1）先根据和，利用勾股定理求出点的坐标；再将点代入反比例函数解析式求出的值；最后将点和点代入一次函数解析式，求出结果； （2）先联立一次函数与反比例函数解析式，求出交点的坐标；再利用的面积等于与的面积之和，以为公共底，、两点横坐标的绝对值之和为高，代入面积公式计算； （3）通过观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的的取值范围，即为一次函数值小于反比例函数值时的解集． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点D， ． ∴设，． 则在中， ． ． 点坐标为． 设反比例函数解析式为，把代入并解得，． 设一次函数解析式为， 代入A，C两点坐标并解得，，． ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为． （2）令并解得，或3． ∴点B的坐标为． ． （3）联立一次函数与反比例函数解析式，可得： ， 解得，，即两函数图像的交点横坐标为和； 结合函数图像可知： 当或时，一次函数图像位于反比例函数图像的下方，此时一次函数值小于反比例函数值． 故答案为： 或． 11．(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据点的坐标得到直线的表达式，进而得到反比例函数的表达式以及点的坐标． （2）首先证明，得到直线的表达式，通过证明四边形是矩形，得到直线的表达式，进而得到点的坐标． （3）分两种情况讨论：若,则，所以可以得到直线的函数表达式，以及点的坐标；若，则，连接，设的中点为，的坐标为，通过直角三角形的性质推出，列出关于的方程，再求解即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入直线，得， ， 把点的坐标代入直线，得， ， 将点的坐标代入反比例函数，得， 即反比例函数的表达式为， 联立，解得，， 点的坐标为； （2）解：由题可知， 如图，设直线交轴于点，直线交轴于点，过点作轴于， 令代入中，解得， ∴． ∵， ，． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 设直线的函数表达式为， 把，代入得， ，解得， 直线的函数表达式为． 如图，设点在图中所示的位置，过点作交于点，连接， ∵，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴直线是由直线通过平移一定距离得到的， ∴设直线的表达式为， 又∵直线经过点，代入表达式得：，解得：， ∴直线的表达式为， ∴联立，解得：或， ∵点是第三象限内反比例函数图象上位于点右侧的一点， ∴取， ∴点的坐标为； （3）解：联立， 解得或， ， ①若，如图，易知， 设直线的函数表达式为， 直线经过点， ，解得，即， 联立， 解得，， ∴点的坐标为； ②若，如图，连接，设的中点为，的坐标为， 则， ∴， ∵，， ∴点的坐标为，且， ∴，即， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或或， ∵点是第三象限内的反比例函数图象上一点， ∴点的横坐标为负的，而且不能取（与点重合）， ∴， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设，过点P作y轴平行线交于点D，则，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：． ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 由反比例函数的对称性得：； （2）解：设， 过点P作y轴平行线交于点D，则， ①当点P在点D上方时， ， ∴，解得（舍），， ∴； ②当点P在点D下方时， ， ∴，解得：，（舍）， ∴，     综合①、②得点P的坐标是或． 13．(1) (2)①直线解析式为；②存在，或 【分析】（1）函数的图象过点和两点．可得方程组，解方程即可得出答案； （2）①设，过点作轴与交于点，则，，根据，求出点的坐标，可得答案； ②设，当时，过点作轴，于于，利用，求出点的坐标，再根据矩形的性质可得的坐标；当时，则，根据题意知，从而解决问题． 【详解】（1） 解：函数的图象过点和两点， 可得：， 解得：， （2）解：由（1）可知，点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， ， 直线的解析式为， 由知反比例函数的解析式为， 设点的坐标为， 如下图所示，过点作轴与交于点， 则点的坐标为， ， ， ， 解得:舍去， 点的坐标为， 将直线沿轴向左平移得直线， 设直线的解析式为， 将代入， 可得：， ， 直线解析式为； 设点的坐标为， 当时， 如下图所示，过点作轴，于于， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得或， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 当时，则， ， 解得或负值舍去， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 根据题意知， 综上：点的坐标为或． 14．(1)，反比例函数的关系式是 (2)①②或 【分析】（1）先将B点纵坐标代入一次函数解析式可求出a的值，进而得到B点坐标；又将B点坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，得到反比例函数关系式；再联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组可求出A点坐标． （2）①先表示出点C、D的坐标，然后可利用线段的比例关系结合A点坐标，得到C、D坐标的关系；进而求出C、D的坐标；再利用割补法计算的面积． ②因为P、Q关于直线对称，所以可根据P点横坐标m得到Q点坐标；又因为为直角三角形，所以需分三种情况讨论：、、，结合直角三角形的性质和勾股定理列方程，求解得到m的值． 【详解】（1）将代入一次函数，得 ，解得， 故． 将代入反比例函数，得 ，解得， ∴反比例函数关系式为． 联立方程，得 ，即，解得． 对应，故． （2）①设直线解析式为． 把代入，得， ∴， ∴直线解析式为， 令，得，即（时）． 与反比例函数联立，得， 整理得，即． 解得，， ∴， 故． ∴． 因为在左侧，在右侧时（）， ∵， ∴，即，， ∴，解得， ∴，． 此时直线方程为． 如图，过点D作轴交直线于点F，则， ∴， ． ②由①知． 反比例函数上点，其中． 点关于直线的对称点为． ∴ 分三种情况讨论直角三角形： 若，则，即 代入化简得， 因式分解为，在内无解． 若，则，即 代入化简得， 因式分解为，在内得． 若，则，即 代入化简得， 解得，其中满足． 经检验，和均使三角形构成直角三角形． ∴或． 15．(1)的值为 (2)四边形的面积为 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，菱形的性质与判定，坐标与图形，解直角三角形，黄金分割点，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先求得直线的解析式，当四边形的边与反比例函数的图象有且只有1个公共点时，直线的解析式与反比例函数解析式联立得出，即可求解； （2）先证明四边形为菱形，过点作交于点，过点作交于点，根据黄金分割点的性质，得出，，且得出方程，可解出，故此可求出四边形的面积； （3）根据整点的定义，在函数图象找到4个整点，然后平移一次函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：令直线的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的函数表达式为， ∵与反比例函数的图象有且只有1个公共点， 即仅有一个实数根， 化简得， 故， 解得或（舍去）， 故的值为． （2）解：∵，，，， ∴， ∴四边形为菱形， 过点作交于点，过点作交于点，如图所示： 令点的坐标为， ∵，是的两个黄金分割点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 得方程， 解得， ∴四边形的面积为． （3）解：如图所示，反比例函数的图象与四边形的边围成的封闭区域内部（不含边界）刚好有个整点时，为、、、四个整点， 当直线经过时满足题意， 将点代入， 得，解得， 将点代入， 得，解得， 结合题意，该封闭区域不含边界， ∴当时，满足题意． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $