精品解析：上海交通大学附属第二中学2025--2026学年第二学期期中质量检测七年级数学试卷

2025学年第二学期期中质量检测 七年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分100分） 考生注意：请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上不计分 一、单选题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 如果，那么下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可，找到错误的选项即为答案． 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．∵满足最简二次根式的两个条件， ∴是最简二次根式，故此选项符合题意． 3. 已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（　　） A. 4 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理求出第三边的范围即可选出答案． 【详解】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣4＜x＜4+9, 因此，三角形的第三边应满足5＜x＜13， 只有10符合不等式， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记定理是解题关键． 4. 如图，四位同学根据所学数学知识在找同位角，其中正确的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是同位角 C. 与是同位角 D. 与是同位角 【答案】C 【解析】 【详解】解：A. 与不是同位角； B. 与不是同位角； C. 与是同位角； D. 与不是同位角． 5. 给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 6. 哪吒在面对困难和挑战时，始终展现出无畏的勇气．如图是根据哪吒照片抽象出的一幅直观图．已知点为与的角平分线的交点， ，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与的交点为，连接并延长至点，由平角的性质可得，，结合三角形内角和为可得，．根据角平分线的性质可得，，结合四边形内角和为可得，，根据平行线的性质容易判断． 【详解】解：如图，设与的交点为，连接并延长至点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 化简，得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. “3与的和不大于1”用不等式可表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：“3与x的和不大于1”用不等式表示为． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 解得． 故答案为：． 9. 已知：如图，在中，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，，则点到直线的距离为_____． 【答案】 3 【解析】 【详解】根据题意，CD是斜边AB上的高，  ，垂足为D，即 , B到直线的垂线段就是。 ， 点到直线的距离为． 10. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线上，若，则的度数为_____． 【答案】 ##度 【解析】 【详解】解：如图， 因为三角板的直角顶点在直线上， 所以与互余，即， 因为， 所以， 因为两条直线平行， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以． 11. 现有直线和直线外一点，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：_____． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：观察作图痕迹可知，该同学作出的图形中，上方直线与截线所成的角等于下方直线与截线所成的角，这两个角在截线的同侧，并且都在被截直线的上方， ∴这两个角是一组同位角， ∵作图保证了这两个同位角相等，  ∴该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 12. 化简： _____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】按照移项、合并同类项、化系数为1的步骤求解，最后对结果进行分母有理化即可． 【详解】解： ， ， ， 因为， ∴， ， ． 14. 不等式组解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定原则，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式，不等式两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得； 解不等式，移项得， 合并同类项得， 不等式组的解集为． 15. 如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【答案】 ##25度 【解析】 【详解】解：在  与  中，      ， 设  与  相交于点  ， 在  中，  ， 在  中，，  ， ， ， 16. 任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对35进行如下操作：，这样对35只需进行3次操作后变为1．那么对520需进行_____次操作后变为1． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查取整函数与算术平方根的运算．按照题目定义的操作规则，对520连续进行取平方根后向下取整的操作，直至结果为1，统计操作次数即可． 【详解】由于，∴ 故第1次操作：， 同理，第2次操作：， 第3次操作：， 第4次操作：， 对520进行4次操作后变为1． 17. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】延长到点，根据折叠的性质，得，，再根据折叠的性质，平行线的性质，邻补角的定义，角的和差计算即可． 【详解】解：如图，延长到点， ∵将长方形纸片沿折叠，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵沿边将折叠到处， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，_____度 【答案】46或106或136 【解析】 【分析】根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线的交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角求解即可． 【详解】解：①如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点Q，且，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点Q，且，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，或或． 三、简答题（本大题共3题，每题6分，共18分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式= = = =． 20. 化简： 【答案】 【解析】 【详解】 解：已知 ， 化简原式中各项非最简二次根式：     将化简结果代入原式计算 21. 化简： 【答案】 【解析】 【详解】 解 ∵， ∴原式 四、解答题（本大题共5题，22－23每题7分，24题8分，25题10分，26题8分，共40分） 22. 若关于的方程的解大于1小于3，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 方程的解大于1小于3， ， 去分母，得：， 移项，得：， 系数化为1，得：． 23. 如图，已知，垂足为，，．证明：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质进行证明即可． 【详解】略 24. 如图，在中，，，，三点在同一直线上，， （1）求证：； （2）猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ，， ， ． 25. 如何将任意一个四边形剪开拼成一个三角形？ （1）操作：如图，依次取四边形四条边的中点、、、，连接、、，沿着、、把四边形剪开成个三角形，个四边形；右上角的四边形保持不动，把左上角的三角形绕点旋转，把右下角的四边形绕点旋转，把左下角三角形平移使得点与点重合．通过以上操作，得到的图形就是拼接之后形成的三角形． 通过以上操作，若拼得的三角形是三边长均为的三角形，则_____； （2）思考：以上操作中，如果，则拼接之后形成的三角形的三个内角分别是、_____、_____； （3）应用：以上操作引起了同学们极大的兴趣，大家尝试把五边形拼成三角形．小马虎仿照前面操作：把一边中点和其余四边中点分别连起来，得到2个三角形、3个四边形，通过旋转平移拼三角形，他（能，不能）拼成三角形． （4）小牛试着把特殊的五边形拼成一个特殊三角形；如图3，五边形可以看作由一个正方形和等腰直角三角形重合一边组成的五边形；小牛取中点，连接，通过分割、旋转三角形把五边形拼成了一个以为腰的等腰直角三角形．请参考小牛的做法，设计一个把图3拼成三角形的方法．（直接作图，不需要写做法） 【答案】（1） （2）； （3）不能 （4） 解：如图：，即：拼成三角形后的三角形． 【解析】 【分析】（）利用旋转后线段共线的性质，通过拼接三角形边长与的倍数关系，算出； （）利用平角和三角形内角和，结合已知角度，算出拼接后三角形的另外两个内角为； （）分析五边形的分割拼接方式，发现无法实现无缝拼接，因此不能拼成三角形； （）通过选取中点连线、分割旋转的方法，将五边形拼接成以为腰的等腰直角三角形 【小问1详解】 解：绕旋转后，与旋转后的线段共线， 且总长度，拼接后的三角形边长为，即为该边长， ∴； 【小问2详解】 解：在边上，共线， 故， 拼接后三角形的三个内角分别等于图1中的、，第三个内角为． 【小问3详解】 解：仿照四边形的操作，该分割方法旋转平移后，无法让所有顶点、边恰好拼接为三角形， 因此不能拼成三角形； 【小问4详解】 略 26. 如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． （1）若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． （2）如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． （3）若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 【答案】（1） 解：若，则与不一定相等，如图： （2） 解：若，则与一定相等， 证明：假设，这里不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， 与（三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角）矛盾， 故假设不成立， ∴； 若假设时，同理与三角形的外角性质矛盾， ∴； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但； （2）假设，这里不妨设，在上截取，连接，证明，然后根据全等三角形的性质，三角形的外角性质进行证明即可； （3）分9种情况讨论，根据三角形内角和以及三角形的外角性质列二元一次方程组求解即可． 【小问1详解】 当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但， 故若，则与不一定相等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时， ∵ ∴ 设， 则在中，由三角形内角和定理可得 ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵ ∴ 设， ∴ 在和中，由三角形内角和定理可得 解得， 此时，不符合题意； ③当时，此时重合，不符合题意； ④当时， ∵， ∴， 设 则在中，由三角形内角和定理得，则 在中，由三角形内角和定理可得 ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴； ⑤当时， ∵， ∴，设， 则在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得 ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑥当时，此时重合，不符合题意； ⑦当时， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑧当时， 设，，则中，由三角形内角和定理可得， ∴ ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 ∴ 解得 ∴ ⑨时，此时三点重合，不符合题意， 综上：度数、度数和度数之和为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中质量检测 七年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分100分） 考生注意：请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上不计分 一、单选题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 如果，那么下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（　　） A. 4 B. 5 C. 10 D. 15 4. 如图，四位同学根据所学数学知识在找同位角，其中正确的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是同位角 C. 与是同位角 D. 与是同位角 5. 给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 哪吒在面对困难和挑战时，始终展现出无畏的勇气．如图是根据哪吒照片抽象出的一幅直观图．已知点为与的角平分线的交点， ，，若，则（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. “3与的和不大于1”用不等式可表示为_____． 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 9. 已知：如图，在中，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，，则点到直线的距离为_____． 10. 如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线上，若，则的度数为_____． 11. 现有直线和直线外一点，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：_____． 12. 化简： _____． 13. 不等式的解集是_____． 14. 不等式组解集是_____． 15. 如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 16. 任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对35进行如下操作：，这样对35只需进行3次操作后变为1．那么对520需进行_____次操作后变为1． 17. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则_____． 18. 汉代初期《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就．如图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动，在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，_____度 三、简答题（本大题共3题，每题6分，共18分） 19. 计算： 20. 化简： 21. 化简： 四、解答题（本大题共5题，22－23每题7分，24题8分，25题10分，26题8分，共40分） 22. 若关于的方程的解大于1小于3，求的取值范围． 23. 如图，已知，垂足为，，．证明：． 24. 如图，在中，，，，三点在同一直线上，， （1）求证：； （2）猜想线段，，之间的数量关系并证明． 25. 如何将任意一个四边形剪开拼成一个三角形？ （1）操作：如图，依次取四边形四条边的中点、、、，连接、、，沿着、、把四边形剪开成个三角形，个四边形；右上角的四边形保持不动，把左上角的三角形绕点旋转，把右下角的四边形绕点旋转，把左下角三角形平移使得点与点重合．通过以上操作，得到的图形就是拼接之后形成的三角形． 通过以上操作，若拼得的三角形是三边长均为的三角形，则_____； （2）思考：以上操作中，如果，则拼接之后形成的三角形的三个内角分别是、_____、_____； （3）应用：以上操作引起了同学们极大的兴趣，大家尝试把五边形拼成三角形．小马虎仿照前面操作：把一边中点和其余四边中点分别连起来，得到2个三角形、3个四边形，通过旋转平移拼三角形，他（能，不能）拼成三角形． （4）小牛试着把特殊的五边形拼成一个特殊三角形；如图3，五边形可以看作由一个正方形和等腰直角三角形重合一边组成的五边形；小牛取中点，连接，通过分割、旋转三角形把五边形拼成了一个以为腰的等腰直角三角形．请参考小牛的做法，设计一个把图3拼成三角形的方法．（直接作图，不需要写做法） 26. 如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． （1）若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． （2）如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． （3）若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $