专题02 因式分解易错压轴题型专训（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题02 因式分解易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是因式分解 1 题型二、已知因式分解的结果求参数 2 题型三、公因式 3 题型四、提公因式分解因式 5 题型五、平方差公式分解因式 6 题型六、完全平方公式分解因式 8 题型七、综合运用提公因式、公式法分解因式 9 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 11 题型九、十字相乘法 11 题型十、分组分解法 11 题型十一、因式分解的应用 11 题型十二、因式分解求最值 11 题型十三、因式分解的新定义问题 11 题型十四、因式分解的几何应用 11 题型十五、因式分解的多结论问题 11 题型十六、因式分解的规律计算 11 题型十七、因式分解的整体性计算 11 题型十八、因式分解的密码问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是因式分解 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不符合要求，不符合题意． B．将多项式变形为整式乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意． C．右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意． D．右边中不是整式，不符合因式分解要求，不符合题意． 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念与计算，对各选项逐一验证即可得到正确答案． 【详解】A．，错误，不符合题意； B． 不是整式乘积的形式，不符合因式分解定义，错误，不符合题意； C．是分式，不是整式，结果不符合要求，错误，不符合题意； D．，符合因式分解要求，符合题意． 3．下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 题型二、已知因式分解的结果求参数 4．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 5．若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【分析】设另一个因式为（2x+a），根据题意列出等式，利用系数对应相等列出得到关于a和k的方程求解即可． 【详解】解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a ∴， 解得：a＝13，k＝65． 故另一个因式为（2x+13），k的值为65． 【点睛】此题考查了因式分解和整式乘法的关系，解题的关键是根据题意设出另一个因式列出等式求解． 题型三、公因式 7．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 8．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 9．（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【答案】 【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可． 【详解】解：（1）多项式中各项的公因式是； （2）多项式中各项的公因式是； （3）多项式中各项的公因式是． 题型四、提公因式分解因式 10．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 11．已知，则______． 【答案】8 【分析】先由已知方程得到的值，再将所求代数式变形为含的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型五、平方差公式分解因式 13．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题运用平方差公式分解因式，再结合已知条件化简，即可求出结果. 【详解】解：， ∴ . 14．若，，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式将变形为，再代入已知条件计算即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 15．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型六、完全平方公式分解因式 16．在多项式①；②；③；④，能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题根据完全平方公式的结构特征，逐一判断四个多项式是否符合结构，即可得出结果． 【详解】解：① ， 故①可以用完全平方公式因式分解． ② ，不符合完全平方公式结构，故②不能用完全平方公式因式分解． ③ ，不符合完全平方公式的结构特征，故③不能用完全平方公式因式分解． ④，故④可以用完全平方公式因式分解． 综上，能用完全平方公式因式分解的是①④． 17．先阅读，再分解因式：，按照这种方法分解因式：________． 【答案】 【分析】仿照题干给出的添项因式分解方法，先对原式添项配成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 18．把下列各式分解因式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）提取公因式即可； （3）先提公因式再利用完全平方公式分解即可； （4）先利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1） 解：原式； （2） 解：原式； （3） 解：原式= ； （4） 解：原式= 题型七、综合运用提公因式、公式法分解因式 19．因式分解 (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）观察发现多项式是平方差形式，直接用平方差公式分解； （2）先提取公因式，剩余部分为完全平方式，再用完全平方公式分解； （3）将两个整体平方项看作平方差的形式，先利用平方差公式分解，合并同类项后再提取公因式； （4）采用分组分解法，将多项式分组后分别提取公因式，再提取整体的公因式完成分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 20．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再进行平方差公式因式分解即可． （2）先化原式为，再进行平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 21．把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）把看作一个整体，直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）直接利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ． （3）解： ， ． （4）解： ， ， ， ． 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 22．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 【答案】D 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 23．若，则_________． 【答案】 【分析】利用平方差公式对分子因式分解，化简后对比等式两边，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， ， ． 24．简便计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 题型九、十字相乘法 25．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：, 故答案为：． 26．阅读下列材料： 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 【答案】(1)①，；②， (2)①，；②，；③， 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题干方法解答即可；②根据题干方法解答即可； （2）①根据十字相乘法解方程即可； ②根据十字相乘法解方程即可； ③根据十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解：① 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； ② 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； （2）解：①原方程化为 ∴或 ∴，； ②原方程化为 ∴或 ∴，； ③原方程化为，即 ∴或 ∴，． 27．阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式：； (4)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （2）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （3）仿照题意根据，，进行分解因式即可； （4）把看做一个整体，仿照题意根据，，进行分解因式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴, 故答案为； （2）解：∵，， ∴， 故答案为； （3）解：∵，， 所以 （4）解：∵，， 所以 题型十、分组分解法 28．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 29．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 30．【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 题型十一、因式分解的应用 31．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 32．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 33．材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【答案】(1)1，， (2) 【分析】（1）通过观察是方程的一个解，从而得到的一个因式是，再用竖式除法得到另一个因式即可； （2）因为为整式，所以用竖式除法得到的余数等于0，从而求出的值，然后将的值代入，进而再将其因式分解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． （2）解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 题型十二、因式分解求最值 34．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：当时，的值最小，最小值是当时，的值最小，最小值是的最小值是1．问：的最_______值是_______． 【答案】 小 5 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式可把所求式子变形为，再仿照题意求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，取得最小值0，当时，取得最小值0， ∴当时，和能同时取值最小值0， ∴的最小值为5， 故答案为：小；5． 35．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 即当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)当______时，代数式的最小值是______； (2)若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)，大， (3) 【分析】本题考查的是偶次方的非负性的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的利用完全平方公式进行变形是解本题的关键； （1）把化为，再结合非负数的性质可得答案； （2）把化为，再利用非负数的性质可得答案； （3）先求解，再化为，再结合非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， 而， ∴， ∴当时，的最小值是； （2）∵ ， 而， ∴， ∴当时，有最大值； （3）∵， ∴ ， 而， ∴， ∴的最小值为． 36．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题． 例如：， ， ． 则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 【答案】（1），；（2）这个代数式的最大值是，这时相应的的值是；（3）此时这根铁丝剪成两段后的长度均为150cm，两个正方形的面积之和有最大值 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）将化为即可求解； （3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意列出式子，通过配方求解． 【详解】解：（1）由题意：，当时取到最小值； 故最小值为，相应的， 故答案：． （2） 则这个代数式的最大值是，这时相应的的值是． （3）设一段铁丝长为，则另一段长为，由题意得： 当，两个正方形的面积之和有最大值． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是：会对代数式进行配方成完全平方公式再求解． 题型十三、因式分解的新定义问题 37．定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（    ） A．12是智慧数 B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 【答案】B 【分析】根据“智慧数”定义，将其变形为（，为正整数，），再逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，满足定义，是智慧数； 选项B：对变形得，若它是智慧数，需和为正整数，且，可得，即，因此选项B说法不正确； 选项C：设大于1的奇数为（为正整数），，且当为正整数时，和都是正整数，所有大于1的奇数都是智慧数； 选项D：从小到大判断可得前10个智慧数依次为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，因此第10个智慧数是16． 综上，说法不正确的是B． 38．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【答案】21 【分析】根据“智慧优数”的定义，利用平方差公式，分别计算不同值下“智慧优数”，并从小到大排列，找到第6个即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由于，且m，n为正整数，设，则． 当时， ，得到：8，12，16，20，24，28，32，…… 当时，“智慧优数”为，得到：15，21，27，33，39，45，…… 当时，“智慧优数”为，得到：24，32，40，48，56，64，…… 当时，“智慧优数”为，得到：35，45，55，65，75，85，…… 当时，“智慧优数”为，得到：48，60，72，84，96，108，…… 将这些“智慧优数”从小到大排列：8，12，15，16，20，21，24，27，32，35，45，48，60，…… 故第6个“智慧优数”是21， 故答案为：21． 39．某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： ．．．．．． 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： (1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________； (2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，， 【分析】本题考查因式分解： （1）参照题干写出一个“关于a的连续式”即可； （2）设，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）能， 由题意，设， 则：， ∴，解得， ∴． 题型十四、因式分解的几何应用 40．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 41．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 【答案】5 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【详解】（1）解：． 设， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 题型十五、因式分解的多结论问题 43．已知二次三项式可分解为两个一次因式的积，下面说法错误的是（   ） A．若，，则，同取正号； B．若，，则，同取负号； C．若，则，异号，正的那个数的绝对值小于负的数绝对值； D．若，则，异号，且负的一个数的绝对值较大． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的意义以及有理数的加法法则．利用多项式乘法与因式分解的互逆关系，得到系数、，再结合有理数运算法则分析各选项正误即可解答． 【详解】解：， ，， 选项：，、同号，又，，故、同取正号，正确； 选项：，、同号，又，，故、同取负号，正确； 选项：，、异号，又，正的那个数的绝对值大于负的数绝对值，错误； 选项：，、异号，又，负数的绝对值大于正数的绝对值，正确； 故选：． 44．将代数式分别标记在4个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱后一一摸出，并将摸出的卡片上的代数式分别标记为，记（其中），则下列说法正确的个数为（   ） ①至少存在一种组合，使得； ②当时，的最大值为； ③化简之后一共有2种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，并考查了分类讨论思想，根据题意分不同的情况，依次化简并做判断即可．．通过分析四个代数式在时的大小关系及不同组合下的绝对差之和，逐一验证各说法． 【详解】若将四个代数式分为两对：，和，x， ， ， 当时，结果恒为2，存在组合使，故①正确； 又在时取得最大值， 当时，的最大值为，故②正确； 若将四个代数式分为两对：，和，x，则， 若将四个代数式分为两对：，和，x，则， 若将四个代数式分为两对：，和，，则， 因此，A仅有两种不同结果，故③正确； 综上，三个说法均正确， 故选D． 45．一个两位数，其中，、为正整数，下列说法 ①的最大值为； ②若，则的值可能为； ③当为质数时，不存在，使． 其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，由可得，进而可得，即得是合数，得到，即得到的最大值为，即可判定①和③；由得，得到，可得是的倍数，即可判定②，据此即可求解，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴是合数， ∵， ∴， ∵的最大值为， ∴的最大值为，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的倍数， ∴的值不可能为，故②错误； ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴是合数， ∴当为质数时，不存在，使，故③正确； ∴正确的个数为个， 故选：． 题型十六、因式分解的规律计算 46．阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 … 按上表规律，完成下列问题： ① ； ② ． (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则…… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 【答案】(1)①；；②； (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． （1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）运用反证法，完全平方公式，结合题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得， ① ； ② ； 故答案为：①；；②； （2）证明：反证法：假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数， 则为的倍数， ∵不是的倍数，矛盾， ∴，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数， 则为的倍数， ∵不是的倍数，矛盾， ∴，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数． ∵是偶数，矛盾． ∴ ，不可能一个是奇数一个是偶数．         综上所述，假设不成立，故兴趣小组的猜测正确． 47．【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【答案】（1）①是 ②1013，1012 （2）7 （3）所有4的倍数（4除外）都是“方差数” （4）41，43，44，45，47，48，49 【分析】本题主要考查了新定义“方差数”的理解与应用，因式分解的应用，解题的关键是理解新定义运算．根据“方差数”的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：①， 16是“方差数”； ②因为， 所以2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012． （2）解：当时，不论取何值，都是“方差数”，理由如下： ， 要使不论取何值，都是“方差数”， 则，即， 此时，， 是正整数且， 和都是正整数，且，满足“方差数”的定义， 当时，无论不论取何值，都是“方差数”． （3）解：能． 设为正整数且， 则， 所以这样的数都是“方差数”， 即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）解：由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”， 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 48．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． (1)上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次； (2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　； (3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　 　． (4)请利用以上规律计算：（1+2x）3． 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2019，（1+x）2020 (3)（1+x）n+1 (4)8x3+12x2+6x+1 【分析】(1 )根据阅读因式分解的过程即可得结论； (2)结合(1)和阅读材料即可得结论； (3 )根据阅读材料的计算过程进行解答即可； (4)利用规律进而得出答案即可． 【详解】（1）阅读因式分解的过程可知： 上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）原式＝（1+x）2020，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020， 故答案为：2019，（1+x）2020； （3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n ＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1] ＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2] ＝（1+x）n+1． 故答案为：（1+x）n+1； （4）（1+2x）3＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）2＝8x3+12x2+6x+1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． 题型十七、因式分解的整体性计算 49．阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不正确， (3) 【分析】本题考查了因式分解等知识，熟知因式分解相关知识，理解整体思想是解题关键． （1）根据完全平方公式法即可求解； （2）利用完全平方式分解彻底即可求解； （3）把看作一个整体，利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解：小龙同学的解法中，第二步运用了完全平方公式分解因式． 故选：C （2）解：小龙的结果不正确，没有分解彻底． 设 原式 ； （3）解：把作为一个整体， ∴ ． 50．“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解： 因式分解：． 解：原式 ． (1)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； (2)拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的技巧并运用整体思想是解题关键． （1）仿照例题，先将和进行分组展开运算，将结果中的看作整体继续展开，然后用完全平方公式进行因式分解即可； （2）仿照例题，先将和进行分组展开运算，将结果中的看作整体继续展开，用完全平方公式合并后得到．对n的奇偶性进行分类讨论，从而确定的奇偶性． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 当是偶数时，是偶数，是偶数， ∴是奇数； 当是奇数时，是奇数，是奇数， ∴是奇数． 综上所述，是奇数． ∴四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 51．阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2 【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可； （2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可； ②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可． 【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）； （2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16， A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2， 所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2； ②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3， 即B2-2B-3=（B-3）（B+1） =（m2-2m-3）（m2-2m+1） =（m-3）（m+1）（m-1）2， 所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2． 【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 题型十八、因式分解的密码问题 52．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 53．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 54．在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果为，当时，，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码091112． (1)根据上述方法，当时，求多项式分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个） (2)若一个长方形相邻的两边长为和，周长为22，面积为28，求出一个由多项式分解因式后得到的密码；（只需一个即可） (3)若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到一个密码2821，求、的值． 【答案】(1)120717；121707；171207 (2)2803或0328 (3) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，以及用“因式分解”法产生的密码的方法，要熟练掌握． （1）首先把分解因式，然后求出当，时，的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可． （2）由题意，求出的值是多少，再根据，求出可得的数字密码为多少即可． （3）根据题意，当时，由密码2821可推得多项式因式分解为，展开后与原多项式比较系数，据此求出m、n的值各是多少即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 可得数字密码是120717；也可以是121707，171207； （2）解：∵长方形周长22，面积28， ∴，即；， 又∵ ， ∴，即， ∵， ∴数字密码为2803或0328； （3）解：∵密码为， ∴当时，，， ∴， 即：， ∴， 解得 ． 1．（25-26八年级上·北京密云·月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； B、右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、将多项式转化为与这两个整式的积，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：D． 2．（2026七年级下·北京·专题练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，需判断每个选项是否符合“两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数”的特征． 【详解】解：∵平方差公式的结构特征是两个因式中，存在一项完全相同，另一项互为相反数． A、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用； B、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用； C、，两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式特征，不能运用； D、相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式特征，能运用； 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若，则的值为(        ) A．9 B．18 C．27 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用．将表达式通过因式分解和代入已知条件，简化计算. 【详解】解：∵， ∴. 故选：C． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知m，n为正整数，，且，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，将转化为，根据m，n为正整数，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n为正整数，， ∴，， 解得，， 故选：A． 6．（2026·北京·一模）分解因式：________ 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：． 7．（25-26九年级下·北京·月考）分解因式：___________． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 8．（25-26八年级上·广东汕头·月考）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京大兴·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 【答案】61830 【分析】此题考查了因式分解的应用，将多项式分解因式后代入正整数求因式码，根据前两个因式码确定x和y的值，再计算第三个因式码并排序得到密码． 【详解】解：∵， ∴因式码分别为、、， ∵x，y分别取正整数， ∴， ∵前两个因式码为6和18， ∴，， ∴， ∴， ∴三个因式码为6、18、30，按从小到大顺序排列形成密码61830． 故答案为：61830． 10．（24-25八年级上·北京·期中）已知关于的方程有三个互不相等的正整数解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，多项式与多项式相乘，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键；根据方程有三个互不相等的正整数解，利用根与系数的关系，由常数项确定三个根的值，再代入求系数． 【详解】解：∵ ∴ 设方程的三个互不相等的正整数解为 、、， 则方程可因式分解为 ， 展开得： 与原方程 比较系数， 得：， 即：由于 、、 是互不相等的正整数， 因此 、、 分别为 1、2、3； 代入得： 所以： 故答案为：． 11．（25-26八年级下·北京·开学考试）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出公因式3，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 12．（25-26八年级上·北京昌平·月考）因式分解： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法和十字相乘法进行因式分解． （1）观察多项式结构，前两项含公因式x，后两项含公因式4，采用分组分解法，再分别提取各组公因式，得到，此时两组均含公因式，再次提取公因式完成分解； （2）先将原式展开为二次三项式，寻找两个数，使其乘积为常数项64，和为一次项系数，确定这两个数为和，将二次三项式分解为． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式化为，分解因式解答即可； （2）设，则原式化为，则，分解因式解答即可． 本题考查了换元法因式分解，熟练掌握换元思想是解题的关键． 【详解】（1）设， 则， 故． （2）解：设，则原式化为，则， 设，则， 故 ． 14．（24-25八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值20 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将变形为，再利用完全平方式的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当时，多项式有最大值20． 15．（24-25七年级下·全国·期末）浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________________________． (2)求代数式的最大值． (3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)17 (3)当，时，该多项式有最小值，这个最小值为 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）利用题干提供的方法，先配方，再利用平方差公式进行因式分解，即可解答； （2）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （3）先配方，把原式化成两个完全平方式和一个常数之和的形式，然后根据完全平方式的非负性求最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为 ， 所以当时，的值最大，最大值是17. （3） ， 取等号时，有， 解得， 所以当，时，该多项式有最小值，这个最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因式分解易错压轴题型专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是因式分解 1 题型二、已知因式分解的结果求参数 2 题型三、公因式 3 题型四、提公因式分解因式 5 题型五、平方差公式分解因式 6 题型六、完全平方公式分解因式 8 题型七、综合运用提公因式、公式法分解因式 9 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 11 题型九、十字相乘法 11 题型十、分组分解法 11 题型十一、因式分解的应用 11 题型十二、因式分解求最值 11 题型十三、因式分解的新定义问题 11 题型十四、因式分解的几何应用 11 题型十五、因式分解的多结论问题 11 题型十六、因式分解的规律计算 11 题型十七、因式分解的整体性计算 11 题型十八、因式分解的密码问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是因式分解 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右是因式分解的是_______． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 题型二、已知因式分解的结果求参数 4．如果因式分解的结果为，那么_________． 5．若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式以及k的值． 题型三、公因式 7．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 8．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 9．（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 题型四、提公因式分解因式 10．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 11．已知，则______． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型五、平方差公式分解因式 13．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 14．若，，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 15．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型六、完全平方公式分解因式 16．在多项式①；②；③；④，能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 17．先阅读，再分解因式：，按照这种方法分解因式：________． 18．把下列各式分解因式． (1) (2) (3) (4) 题型七、综合运用提公因式、公式法分解因式 19．因式分解 (1)； (2) (3) (4) 20．因式分解： (1) (2) 21．把下列各式因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 22．若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（   ） A．100 B．50 C．17 D．3 23．若，则_________． 24．简便计算： (1) (2)． 题型九、十字相乘法 25．因式分解：___________． 26．阅读下列材料： 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 27．阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： ． 因此，可以得． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； (1)________； (2)________； (3)分解因式：； (4)分解因式：． 题型十、分组分解法 28．因式分解：___________． 29．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 30．【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 题型十一、因式分解的应用 31．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 32．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 33．材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 题型十二、因式分解求最值 34．在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：当时，的值最小，最小值是当时，的值最小，最小值是的最小值是1．问：的最_______值是_______． 35．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 即当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)当______时，代数式的最小值是______； (2)若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)若，求的最小值． 36．阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题． 例如：， ， ． 则这个代数式的最小值是__________，这时相应的的值是__________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由． 题型十三、因式分解的新定义问题 37．定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（    ） A．12是智慧数 B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 38．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 39．某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系： ．．．．．． 我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题： (1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________； (2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由． 题型十四、因式分解的几何应用 40．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 41．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 42．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 题型十五、因式分解的多结论问题 43．已知二次三项式可分解为两个一次因式的积，下面说法错误的是（   ） A．若，，则，同取正号； B．若，，则，同取负号； C．若，则，异号，正的那个数的绝对值小于负的数绝对值； D．若，则，异号，且负的一个数的绝对值较大． 44．将代数式分别标记在4个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱后一一摸出，并将摸出的卡片上的代数式分别标记为，记（其中），则下列说法正确的个数为（   ） ①至少存在一种组合，使得； ②当时，的最大值为； ③化简之后一共有2种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 45．一个两位数，其中，、为正整数，下列说法 ①的最大值为； ②若，则的值可能为； ③当为质数时，不存在，使． 其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 题型十六、因式分解的规律计算 46．阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 … 按上表规律，完成下列问题： ① ； ② ． (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则…… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 47．【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 48．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． (1)上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次； (2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　； (3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　 　． (4)请利用以上规律计算：（1+2x）3． 题型十七、因式分解的整体性计算 49．阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 50．“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解： 因式分解：． 解：原式 ． (1)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； (2)拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 51．阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 题型十八、因式分解的密码问题 52．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 53．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 54．在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果为，当时，，此时可以得到数字密码2504或0425；如多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码091112． (1)根据上述方法，当时，求多项式分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个） (2)若一个长方形相邻的两边长为和，周长为22，面积为28，求出一个由多项式分解因式后得到的密码；（只需一个即可） (3)若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到一个密码2821，求、的值． 1．（25-26八年级上·北京密云·月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·北京·专题练习）下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若，则的值为(        ) A．9 B．18 C．27 D．30 4．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知m，n为正整数，，且，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 6．（2026·北京·一模）分解因式：________ 7．（25-26九年级下·北京·月考）分解因式：___________． 8．（25-26八年级上·广东汕头·月考）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 9．（25-26八年级上·北京大兴·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，当，时，有，，，其中0，12，72分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码01272．对于多项式，当x，y分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为6，18，则密码是___________． 10．（24-25八年级上·北京·期中）已知关于的方程有三个互不相等的正整数解，则的值为______． 11．（25-26八年级下·北京·开学考试）分解因式： (1) (2) 12．（25-26八年级上·北京昌平·月考）因式分解： (1)． (2) 13．（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·山东济宁·期末）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值 ．可知当时，有最小值． 根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 15．（24-25七年级下·全国·期末）浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________________________． (2)求代数式的最大值． (3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $