专题01 因式分解55道计算题专训（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题01 因式分解55道计算题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知因式分解的结果求参数 1 题型二、提公因式分解因式 2 题型三、平方差公式分解因式 3 题型四、完全平方公式分解因式 5 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 6 题型六、有理数简算中的因式分解计算 8 题型七、十字相乘法分解因式 9 题型八、分组分解法分解因式 11 题型九、运用整体法分解因式 11 题型十、运用因式分解法“配方”求最值 11 题型十一、因式分解的新定义运算 11 题型一、已知因式分解的结果求参数 1．多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 【答案】 【详解】解： ， ∵多项式因式分解的结果是， ∴， ∴． 2．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】A 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，又， ∴ 对比对应项系数得，， 解得， 将代入得， ∴． 3．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 4．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【分析】设另一个因式为（x＋p），则，可得p−5＝3，−5p＝−k，求出p和k的值即可． 【详解】解：设另一个因式为x＋p， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 5．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 题型二、提公因式分解因式 6．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先凑成公因式，然后提取公因式即可解答； （2）先展开，然后再加括号，最后再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 7．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用提公因式法解题即可，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 10．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三、平方差公式分解因式 11．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式分解因式． 平方差公式分解因式的公式为，逐一检查各选项是否能表示为两个平方的差即可． 【详解】解：平方差公式要求表达式为两个平方项的差． 选项A：，符合公式； 选项B：，符合公式； 选项C：，两项均为负，不能表示为两个平方项的差，不符合公式； 选项D：，符合公式； 故选：C． 12．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 【答案】 【分析】根据“和谐数”的定义，设出两个连续奇数，推导得到“和谐数”的表达式，结合不超过的条件确定的范围，再化简求和即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得，， 令， 解得， ∴所有不超过的“和谐数”之和为： ． 13．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 14．因式分解：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 15．若，，则______． 【答案】5 【分析】利用平方差公式对因式分解，再代入已知条件计算即可得到的值. 【详解】解：根据平方差公式，得 将，代入上式，得 两边同除以，得． 题型四、完全平方公式分解因式 16．如果因式分解的结果为____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式解答即可． 【详解】解： 17．已知，，则代数式的值为______ 【答案】/ 【分析】根据已知得出，再将代数式因式分解，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 18．分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．分解因式 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式a，再运用平方差公式进行因式分解； （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解； （3）先提公因式2，再运用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 21．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （2）直接利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．把下列各式因式分解： (1) (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【分析】（）先提取公因式，再用平方差公式分解剩余部分； （）直接将式子看成两个平方项的差，套用平方差公式分解； （）先提取公因式，再用完全平方公式分解括号内的二次三项式； （）用十字相乘法，将常数项分解为两个数，使其和等于一次项系数，进而分解因式； （）先变形为，再提取公因式并整理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ． 24．把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1)（x－y）（2m＋n）（2m－n） (2) 【分析】（1）利用提公因式以及平方差公式进行因式分解即可； （2）利用提公因式以及完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先变形得到，再提取公因式，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 题型六、有理数简算中的因式分解计算 26．利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) 1600 (2) 4000 【分析】本题考查用公式法因式分解简便运算，掌握公式法因式分解是解题关键． （1）用完全平方公式先分解因式再计算即可； （2）用平方差公式先分解因式再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 27．简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 28．分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解及其应用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可． （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 29．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解在有理数简便运算中的应用，涉及完全平方公式因式分解，利用完全平方公式分解后直接计算即可． 【详解】解：原式 ． 30．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型七、十字相乘法分解因式 31．因式分解：． 【答案】 【分析】利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 32．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用十字相乘法解答即可； （2）先根据多项式乘以多项式计算，再利用十字相乘法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 33．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 连续两次运用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： 34．阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 【答案】(1) (2)整数的所有可能的值为或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解的知识点，掌握十字相乘法中 “常数项分解为两数之积，一次项系数为这两数之和” 的规律是解题的关键． （1）利用十字相乘法，找到两个数，它们的和等于一次项系数，积等于常数项，从而分解因式； （2）列出常数项的所有整数因数对，计算每对因数的和，这些和就是的所有可能值． 【详解】（1）解：∵二次三项式中，常数项，一次项系数 ∴ ． （2）解：∵二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， ，，，， ∴整数的所有可能的值为或或或， 即整数的所有可能的值为或． 35．材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 题型八、分组分解法分解因式 36．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法，以及完全平方公式、平方差公式的应用．关键是通过合理分组，将原式转化为可利用公式分解的形式：先把原式中能构成完全平方的项结合，得到完全平方式后，再与剩余项结合形成平方差的形式，最后用平方差公式完成分解． 【详解】解：原式 ． 37．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先将多项式变形为，再利用完全平方公式分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 38．阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法则反过来，将得到：．这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作分组分解法． 例：      第一步           第二步 ． 第三步 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了______（填乘法公式的名称）． (2)利用上述方法将下列各式因式分解： ①； ②． 【答案】(1)完全平方公式 (2)①；② 【分析】（1）该步是完全平方和公式的运用； （2）①按题干方法即可分解因式；②分组分解因式即可：． 本题考查因式分解的方法，熟练掌握各种因式分解方法并灵活选用是解题的关键． 【详解】（1）是完全平方和公式的应用， 故答案为：完全平方公式； （2）①原式； ②原式． 题型九、运用整体法分解因式 41．先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了利用全平方公式分解因式，解题关键是掌握利用全平方公式分解因式． （1）利用整体思想结合完全平方公式分解因式； （2）利用整体思想结合完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 为正整数， 为整数， 式子的值一定是某一个整数的平方． 42．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 43．阅读下面材料，并解决问题． 因式分解：， 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“”还原，原式＝．上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． (1)因式分解：； (2)试说明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查乘法公式因式分解，掌握乘法公式的计算是关键． （1）根据材料提示，运用整体思想，平方差公式分解因式即可求解； （2）根据材料提示运用完全平方公式计算即可求解． 【详解】（1）解：设， ∴原式， 将还原，原式； （2）解：设， ∴原式， ∵为正整数， ∴为整数，即是整数， ∴原式的值一定是某个整数的平方． 44．阅读以下材料： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，设，则原式 再将“”还原，则原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定不小于1． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了用换元法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）设，然后利用完全平方公式因式分解； （2）设，则原式，然后展开再进行因式分解即可； （3）设，则原式，再由完全平方公式的非负性求解即可． 【详解】（1）解：设，则原式， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则 原式， ， ， ； （3）证明：设， 原式， ， ， ， ， 无论为何值，式子的值一定不小于1． 45．阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)分解因式：； (2)无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 【答案】(1) (2)2023 【分析】考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据题干的方法求解即可； （2）利用配方法将代数式转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， 故的最小值为2023． 题型十：运用因式分解法“配方”求最值 46．阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ① ②； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查利用完全平方公式进行配方以及利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握两个公式及其特点是本题解题关键． （1）①仿照题干作答即可； ②仿照题干作答即可； （2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ， 所以多项式的最小值为． 47．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 【答案】(1) (2)时，多项式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， ∴． 48．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 【答案】(1)；； (2)大，， (3)，当时，的最小值为； 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质； （1）由，再结合非负数的性质可得答案； （2）由，再结合非负数的性质可得答案； （3）由可得，结合，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵，而； ∴当时，有最小值2； （2）解：∵，而； ∴当时有最大值； 故有最大值，当时，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∵，而； ∴当时，的最小值为； 49．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据配方法把原式变形为，再根据非负数的意义解答即可； （2）根据完全平方公式把原式变形为，再根据非负数的意义，可得x，y的值，即可求解； （3）根据题意可得，再根据非负数的意义解答即可． 【详解】（1）解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为1． 50．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小的值，最小的值是多少？ 【答案】(1) (2)①；②当，时，代数式有最小值，最小值是 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用： （1）先把原式变形为，可得，即可； （2）①先把原式变形为，可得，即可；②先把原式变形为，可得，再由，，可得，时，代数式有最小的值，最小的值是，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ，， ∴， ② ，， ，时，代数式有最小的值，最小的值是． 此时， ，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 题型十一：因式分解的新定义运算 51．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 【答案】(1)110；990 (2)见解析 【分析】此题考查了利用分解因式的应用． （1）按照题意写出最小的“和谐数”与最大的“和谐数”即可； （2）可设“和谐数”为，则有，再通过计算即可． 【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c， 由题意，得， 要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1， b最小是， 此时c最小是0， 所以最小的“和谐数”时110； 最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9， 十位上b最大是9， 此时， 所以最大的“和谐数”是990． 由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990； 故答案为：110；990； （2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c）， 由题意，得， ∴“和谐数”为，则有： ， ∵a，b是整数， ∴是整数， ∴任意“和谐数”一定能被11整除． 52．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 53．定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【答案】(1)①2或5或8②是 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，写出一个对称数即可；②，即可得出结论； （2）结合完全平方公式，将转化为的形式，进行求解即可； （3）设，求出，并进行转化，判断即可． 【详解】（1）解：①； 故这个“对称数”可以是2或5或8； ②∵， ∴45是“对称数”； 故答案为：是； （2）， ∵M为“对称数”， ∴为一个完全平方数， ∵， ∴或． （3）设， 则： ； ∴也是“对称数”． 54．定义：若一个整数能表示成（a，b都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_______；判断53_______（填“是”或“不是”）“完美数”； (2)已知（x，y是整数），k是常数，要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)如果数m，n都是“完美数”，，试说明是“完美数”． 【答案】(1)2或5或8（写一个即可），是； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1），，，这些数都是小于10的“完美数”； 利用即可判断； （2）由，根据“完美数”的定义得出，即可求解； （3）设，，则，进行整理可得：，从而可判断． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， ∵， 故53是“完美数”， 故答案为：2或5或8（写一个即可）；是； （2）解：， ， 为“完美数”， ， ； （3）证明：设，则有 是“完美数”． 55．对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定※，等式右边是通常的四则运算．例如：2※． (1)若1※，3※，求a、b的值； (2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y且，都满足※※，求a、b之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的新运算可得，，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）利用定义的新运算得出等式，利用因式分解变形，即可解答． 【详解】（1）解：※，※， ，， 即， 解得：， 的值为，的值为； （2）， ， ※※， ， ， ， ， ， ， 、之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解55道计算题专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知因式分解的结果求参数 1 题型二、提公因式分解因式 2 题型三、平方差公式分解因式 3 题型四、完全平方公式分解因式 5 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 6 题型六、有理数简算中的因式分解计算 8 题型七、十字相乘法分解因式 9 题型八、分组分解法分解因式 11 题型九、运用整体法分解因式 11 题型十、运用因式分解法“配方”求最值 11 题型十一、因式分解的新定义运算 11 题型一、已知因式分解的结果求参数 1．多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 2．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 3．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 4．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 5．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 题型二、提公因式分解因式 6．因式分解： (1)； (2)． 7．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 8．因式分解： (1)； (2)． 9．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)（为正整数）． 10．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、平方差公式分解因式 11．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 12．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 13．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 14．因式分解：______． 15．若，，则______． 题型四、完全平方公式分解因式 16．如果因式分解的结果为____． 17．已知，，则代数式的值为______ 18．分解因式 (1) (2) 19．把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 20．分解因式 (1) (2) (3) 题型五、综合提公因式和公式法分解因式 21．因式分解 (1)； (2)． 22．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．把下列各式因式分解： (1) (2)； (3)； (4)； (5)． 24．把下列各式因式分解： (1) (2) 25．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型六、有理数简算中的因式分解计算 26．利用因式分解计算： (1) (2) 27．简便计算： 28．分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 29．计算：． 30．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型七、十字相乘法分解因式 31．因式分解：． 32．因式分解： (1) (2) 33．因式分解：． 34．阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 35．材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 题型八、分组分解法分解因式 36．因式分解： 37．因式分解：． 38．阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 39．阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 40．整式乘法与多项式因式分解是有联系的两种变形，把多项式乘多项式法则反过来，将得到：．这样该多项式就被分解为若干个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作分组分解法． 例：      第一步           第二步 ． 第三步 (1)上述求解过程中，第二步变形是利用了______（填乘法公式的名称）． (2)利用上述方法将下列各式因式分解： ①； ②． 题型九、运用整体法分解因式 41．先阅读下列材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 42．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 43．阅读下面材料，并解决问题． 因式分解：， 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“”还原，原式＝．上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． (1)因式分解：； (2)试说明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 44．阅读以下材料： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，设，则原式 再将“”还原，则原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定不小于1． 45．阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)分解因式：； (2)无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 题型十：运用因式分解法“配方”求最值 46．阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ① ②； (2)求多项式的最小值． 47．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值； (3)已知正数，，满足，求． 48．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 49．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 50．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小的值，最小的值是多少？ 题型十一：因式分解的新定义运算 51．定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”． (1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______； (2)试说明“和谐数”一定能被11整除． 52．定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 53．定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 54．定义：若一个整数能表示成（a，b都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_______；判断53_______（填“是”或“不是”）“完美数”； (2)已知（x，y是整数），k是常数，要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (3)如果数m，n都是“完美数”，，试说明是“完美数”． 55．对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定※，等式右边是通常的四则运算．例如：2※． (1)若1※，3※，求a、b的值； (2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y且，都满足※※，求a、b之间的数量关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $