山西运城市平陆中学2025-2026学年高一下学期期中教学质量评价数学试题

**基本信息** 2025-2026年春高一年级数学期中卷，以复数、向量、立体几何、解三角形为核心，通过斜二测画法直观图、正四棱锥证明等题，考查空间观念、运算能力与推理意识，体现用数学眼光观察、思维分析的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量投影、斜二测画法|第3题结合直观图判断原图形性质，强化几何直观| |多选题|3/18|向量夹角、解三角形判断|第10题辨析三角形形状，培养推理意识| |填空题|3/15|纯虚数、塔高测量（慈恩塔）、外接球表面积|第13题以文化遗产为情境，体现应用意识| |解答题|5/77|向量表示与夹角、正四棱台表面积体积、正四棱锥证明|第19题三问递进证明，提升逻辑推理能力；第17题铁料加工问题，关联实际应用|

2025-2026年春学段期中教学质量评价 高一年级数学卷答案 一、1-5 C A D C D 6-8 D B D 二、9. AC 10. ABD 11.ACD 三、12. 13. 14. . 四、15.【详解】（1）因为，所以，     所以..........................................................3分 因为，所以， 则.........................6分 （2）因为，所以. 因为，，所以，，， 则，.........................8分     ，.........................10分 ，....................12分 故..........................13分 16．【详解】（1）在中，由余弦定理得，.........................2分 因为，所以．.........................4分 因为，所以．.........................6分 （2） 因为是的中点，所以，即，.........................8分 故．.........................10分 又，，所以． 因为，所以，可得，.........................12分 则，．.........................13分 所以的面积为．.........................15分 17． 【答案】(1)（） (2) 【详解】（1）在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则 分别取的中点，连接，过作于， 因为在正四棱台中，，， 所以， 在中，，.........................3分 所以正四棱台的表面积为 （）；.........................7分 （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，.........................8分 则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高， 所以圆台的体积为（），.....................10分 因为正四棱台的体积为（），.................12分 所以削去部分的体积为（），.........................13分 所以削去部分与圆台的体积之比..........................15分 18． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， 即， ，，.........................3分 又，，，.........................5分 （2），， ， ，， 的周长为．.........................10分 （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， .........................13分 因为，即，所以，.................15分 即，，.........................16分 所以..........................17分 19．【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OP， 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC..........................5分 （2）因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC， 又因为平面SAB，平面平面， 所以..........................10分 (3)在侧棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC，满足 ..........................11分 理由如下： Q为侧棱SD的中点，因为SP=3PD,则PQ=PD, 过Q作PC的平行线交SC于E，连接BE. 由于 即 则 且PC ⊂平面PAC, QE⊄平面PAC, 所以..........................13分 由 (2) 可知: 因为 可得平面BEQ//平面PAC,..........................15分 且BE ⊂平面BEQ,所以 .........................17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年春学段期中教学质量评价 高一年级数学卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A．-i B． C．-1 D．1 2．已知向量满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 4．若平面向量，两两夹角相等，且，则（    ） A．3 B．9 C．3或9 D．3或 5．如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 6.已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 7．在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（    ） A． B． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为钝角，则 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则符合条件的有两个 11.如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．三棱锥的体积为4 C．三棱锥的外接球表面积为 D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．复数为纯虚数，则实数的值为_____________． 13.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 14．已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为______. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在平行四边形中，，，，，. (1)用向量，表示向量，； (2)求向量，夹角的余弦值. 16．（15分）已知中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求； (2)若，是的中点，且，求的面积． 17．（15分）如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． (1)求四棱台的表面积； (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 18．（17分）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 19．（17分）如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $