山西省运城市平陆中学2025-2026学年高二下学期期中教学质量评价数学试题

**基本信息** 高二年级数学期中试卷，以排列组合、概率统计为核心，融入eVTOL首飞、手办抽奖等现实情境，考查数学抽象与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|正态分布、线性回归、独立性检验|蚂蚁移动路径等情境，分层考查基础与综合应用| |填空题|3/15|相邻排列、二项分布方差、条件概率|6位同学相邻排法等题，注重知识迁移| |解答题|5/77|分布列与期望、频率直方图、独立性检验|新能源汽车测试、科技竞赛等情境，综合考查数据处理与模型构建|

平陆中学2025—2026春学段期中教学质量评价 高二年级 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 80 C. D. 4．随机变量的分布列如下表所示，其中a，b为函数的两个不同的极值点，则（ ） ξ 0 1 2 P a b c A． B． C． D． 5．已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（    ） （附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 6．一只蚂蚁从平面直角坐标系的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次后能移动到点的不同走法有（ ） A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 7．已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ） A．1 B．9 C．10 D．0 8．已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（    ） X 1 2 3 P a b 2b—a A． B．3 C．6 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．观察下列散点图，则（ ） A． B． C． D． 10．若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A． B． C． D． 11．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是 参考公式与数据：，其中：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A．可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B．可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 D．在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为 . 13．设随机变量，且，则 ；若随机变量满足，则的方差为________． 14．某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？ （3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 16．（15分）已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求： (1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项. 17.（15分） 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 18. （17分）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间.某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一、高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同.已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. （1）从高二年级竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率； 19．（17分）正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象．已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办．该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，……，20，盒子内有编号分别为1，2，3，……，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会． （1）记事件A为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求． （2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元．记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望． 数学参考答案 1．D 每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 2． B 根据题意可得． 3． A ， 所以展开式中的系数为. 4． D 由，得，则，解得．当时，，故． 5．D 由题意得. ，， 所以， 故线性回归方程为. 6．A 蚂蚁移动6次到点，有种走法，其中会经过点的走法有种，所以蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有种． 7．C 易得，因为能被11整除，所以能被11整除，由选项知当时，符合题意． 8. C 因为分布列中概率和为，故可得，解得， 又， 则， 又，故可得， 则当时，的最大值为， 又，故的最大值为. 9．BD 散点图①，②中y与x呈负相关，散点图②中y与x的线性相关性更强，所以，所以；散点图③，④中y与x呈正相关，，散点图④中y与x的线性相关性更强，所以，所以．故． 10．ACD 由题意可得，则， 故， ，． 11．BCD 由题可得如下表格： 单位：人 每周锻炼时间 短跑成绩 合计 合格 不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 根据表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关． 设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”，“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”，则， 所以， 所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，学生甲短跑成绩合格的概率为． 易得在学生甲短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为． 12．将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 13．； 易得，解得，则． 因为，所以，则． 14． 设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件， 设学生答对试题为事件，则，，， ，，， 所以， 所以. 15（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类 分配方式为时，共有：种分法 分配方式为时，共有：种分法 由分类加法计数原理可得，共有：种分法 （2）若个位是，共有：个 若个位不，共有：个 由分类加法计数原理可得，共有：个 （3）若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法 由分类加法计数原理可得，共有：种选法 【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果. 16.（1）因为展开式的通项公式为，， 所以 依题意得，即，由已知, 所以， 所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项， 所以. （2）由（1）知，， 设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以或， 所以展开式中系数最大的项为和. （3）由为有理项知，为整数，得，， 所以展开式中所有有理项为和. 17（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值； （2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值. 【小问1详解】 记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”， 则，，； 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”， 则，，； 事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则（C）， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为． 【小问2详解】 由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望． 18【小问1详解】 由直方图可知，分数在中的学生有32人，分数在中的学生有16人， 所以根据分层抽样，在中抽4人，在中抽2人， 则成绩优秀的学生人数可取，所以 ；；. 所以分布列为 0 1 2 则期望. 【小问2详解】 记事件：成绩优秀的学生，事件：高一年级的学生， 由已知条件可知，， 所以. 19．解：（1）由题意可知． （2）记事件B为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”，记事件C为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”， 则由（1）得， ， 则的分布列为 0 100 200 P 则． 学科网（北京）股份有限公司 $