专题02 因式分解易错压轴题型专训（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题02 因式分解易错压轴题型专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是因式分解 1 题型二、已知因式分解的结果求参数 2 题型三、公因式 3 题型四、提公因式分解因式 5 题型五、平方差公式分解因式 6 题型六、完全平方公式分解因式 8 题型七、综合运用提公因式、公式法分解因式 9 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 11 题型九、十字相乘法 11 题型十、分组分解法 11 题型十一、因式分解的应用 11 题型十二、因式分解求最值 11 题型十三、因式分解的新定义问题 11 题型十四、因式分解的几何应用 11 题型十五、因式分解的多结论问题 11 题型十六、因式分解的规律计算 11 题型十七、因式分解的整体性计算 11 题型十八、因式分解的密码问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是因式分解 1．下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，从左到右的变形是_______，从右到左的变形是_______． 题型二、已知因式分解的结果求参数 4．若，则_____． 5．若多项式可分解为，则的值为_______________． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 题型三、公因式 7．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 8．下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 9．多项式的公因式是______ 题型四、提公因式分解因式 10．已知，求的值为________． 11．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 12．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 题型五、平方差公式分解因式 13．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 14．因式分解：________． 15．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型六、完全平方公式分解因式 16．因式分解：． 17．分解因式： (1)； (2)． 18．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型七、综合运用提公因式、公式法分解因式 19．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 20．因式分解：______． 21．因式分解： (1)； (2)． 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 22．与相等的是（   ） A． B． C． D． 23．由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 24．简算 (1) (2) 题型九、十字相乘法 25．分解因式______． 26．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 27．阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 题型十、分组分解法 28．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 29．分解因式：_______． 30．把下列各式分解因式： (1)． (2)． 题型十一、因式分解的应用 31．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 32．高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 33．课本复习题有道题是“如果，那么或利用所学知识，尝试求解方程”“如果，那么或”在数学中通常称为零乘积性质．方程可化为根据零乘积性质，若，则或，因此或，解得或所以方程的解为或，请利用零乘积性质完成下列各题 (1)求解方程； (2)已知，当，求的值； (3)已知的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 题型十二、因式分解求最值 34．学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 35．阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 36．阅读理解：求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为， 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是______． (2)多项式有最______(填“大”或“小”)值，该值为______． (3)已知，求的最值． 题型十三、因式分解的新定义问题 37．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 38．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 39．我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 题型十四、因式分解的几何应用 40．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 41．边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 42．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 题型十五、因式分解的多结论问题 43．已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有5组解．其中错误说法的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 44．已知整式M：，其中，为自然数，为正整数，，，互不相等，且．下列说法： ①满足条件的整式M共有16个； ②满足条件的整式M中，有8个是二次三项式； ③当时，M的值为y，则y的最小值为； ④将整式M的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式N，当时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．已知，，下列说法正确的个数是（   ） ①若不含二次项，则； ②若不含二次项，则； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，恒成立． A．1 B．2 C．3 D．4 题型十六、因式分解的规律计算 46．【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 47．请阅读下列材料，并完成相应的任务： （1）探究发现； 小明计算下面几个题目 ①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： ． （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． （4）拓展提升 现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解． 48．某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 题型十七、因式分解的整体性计算 49．“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解： 因式分解：． 解：原式 ． (1)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； (2)拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 50．阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 51．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 题型十八、因式分解的密码问题 52．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 53．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 54．【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 1．（25-26七年级下·北京·期末）下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式中不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京门头沟·期中）小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 4．（25-26八年级上·北京通州·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．不能确定 5．（25-26八年级上·北京西城·期中）已知，，则等于（ ） A．13 B．14 C．12 D．7 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是_____． 7．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）因式分解：__________． 8．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值_______． 9．（25-26八年级上·北京东城·期中）因式分解： ______． 10．（24-25八年级上·山东淄博·月考）分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则______． 11．（25-26八年级上·北京·月考）因式分解： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·北京海淀·月考）因式分解： (1)； (2)． 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）当为整数时，试说明：能被整除． 14．（24-25七年级下·北京昌平·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 15．（25-26八年级上·北京·期中）“回文”是汉语的一种修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中，也有一种类似具有对称性的自然数，其正读和反读的结果一样，如22、585等，我们将这类自然数称为回文数．回文数在数学、计算机科学等领域均具有研究意义． (1)下列数是回文数的是_____（填写序号）； ①66    ②101    ③2929    ④1331 (2)两位回文数显然都是11的倍数．若将个位数字和十位数字分别为，的四位回文数记为．求证：所有的四位回文数都是11的倍数； (3)我们把既是回文数又是某个整数的平方的数称为平方回数（如）．若一个两位数的个位为5，那么它的平方是否可能是平方回数？如果是，请举出例子；如果不是，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因式分解易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断是否是因式分解 1 题型二、已知因式分解的结果求参数 2 题型三、公因式 3 题型四、提公因式分解因式 5 题型五、平方差公式分解因式 6 题型六、完全平方公式分解因式 8 题型七、综合运用提公因式、公式法分解因式 9 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 11 题型九、十字相乘法 11 题型十、分组分解法 11 题型十一、因式分解的应用 11 题型十二、因式分解求最值 11 题型十三、因式分解的新定义问题 11 题型十四、因式分解的几何应用 11 题型十五、因式分解的多结论问题 11 题型十六、因式分解的规律计算 11 题型十七、因式分解的整体性计算 11 题型十八、因式分解的密码问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断是否是因式分解 1．下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义及方法是解题关键． 根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意； B．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意； D．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念，即把一个多项式分解为几个整式的积的形式．根据定义判断各选项即可． 【详解】解：A选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B选项是整式的乘法，不是因式分解； C选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； D选项是因式分解； 故选D． 3．在中，从左到右的变形是_______，从右到左的变形是_______． 【答案】 整式乘法 因式分解 【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法，因式分解． 题型二、已知因式分解的结果求参数 4．若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 【详解】解：， ． 5．若多项式可分解为，则的值为_______________． 【答案】3 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；通过整式的乘法展开，并比较系数，求出a和b的值，再求和即可． 【详解】解：由得，与多项式比较系数，得： ， 解得：， ∴； 故答案为3． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 题型三、公因式 7．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将多项式分解因式，应提取的公因式是． 8．下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、没有公因式，此项错误； B、的公因式是，此项错误； C、的公因式是，此项错误； D、的公因式是，此项正确． 9．多项式的公因式是______ 【答案】 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 题型四、提公因式分解因式 10．已知，求的值为________． 【答案】2027 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 11．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 12．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握观察多项式的公因式，提取公因式后合并括号内的项是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后整理； （2）找出两项的公因式，提取公因式后化简； （3）确定公因式，提取公因式后合并括号内的同类项． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 题型五、平方差公式分解因式 13．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反． 【详解】解： A、∵是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，可分解为，∴A正确； B、∵中不是平方项，不符合要求，∴B错误； C、∵中不是平方项，且两项符号相同，不符合要求，∴C错误； D、∵是三项多项式，不符合要求，∴D错误． 14．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解，需分解至不能再分解为止． 【详解】解：． 15．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 题型六、完全平方公式分解因式 16．因式分解：． 【答案】 【分析】运用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 17．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 18．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型七、综合运用提公因式、公式法分解因式 19．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用提公因式法，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 20．因式分解：______． 【答案】 【分析】先将原式变形，提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解即可得到结果． 【详解】解： 21．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 22．与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 23．由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 24．简算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的应用； （1）原式根据平方差公式化为，再进行计算即可求解； （2）原式根据完全平方公式化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型九、十字相乘法 25．分解因式______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 26．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式： 解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为s，偶次项系数之和为t，若，则，若，则．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出m，n的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中________，________； (2)对于一元多项式，必定有f（________）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解； （1）根据题意，展开即可求解； （2）根据定义，可得奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，即可求解； （3）根据（2）的结论，设，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设 ∴ 解得：， 故答案为：，． （2）解：∵ 其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为 ∴ （3）∵ ∴多项式中有因式 设 ∴ ∴， ∴ 27．阅读下面材料，完成任务： 材料一： 材料二： 任务一：请根据学习经验，分解因式： （1）； （2） 材料三： 下面是小数的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年12月5日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务二：（3）学习了小数的笔记之后，请用“十字相乘法”分解因式：__________，请画出分解示意图． 【答案】（1）；（2）；（3），画图见解析 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键； 任务一：（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意得一次项系数为：2，二次项系数是1，常数项，一次项系数，再利用十字相乘法分解因式即可； 任务二：（3）根据提示方法求解即可． 【详解】解：任务一：（1） ； （2） ； 任务二：（3） ，二次项系数是1，常数项，一次项系数， ∴， 如图 故答案为：． 题型十、分组分解法 28．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案. 【详解】解：， 故选B． 29．分解因式：_______． 【答案】 【分析】先分组，然后将前三项利用完全平方公式分解，得到一个整体的平方，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 30．把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式重新分组，通过配方法凑成两个完全平方式的差，再利用平方差公式进行分解； （2）先将式子分组，把用完全平方公式分解，再与剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了分组分解法、平方差公式和完全平方公式的因式分解，解题关键是合理分组，先分解可分解的部分，再提取公因式完成整体分解． 题型十一、因式分解的应用 31．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 32．高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 【答案】 【分析】首先根据图形分别表示出、、三种板材的面积，然后根据使用的数量计算出背景墙的总面积，最后利用完全平方公式将总面积分解为平方的形式，从而得出正方形的边长． 【详解】解：由图可知，型板材的面积为，型板材的面积为，型板材的面积为， 根据题意，这面正方形背景墙的总面积为： ， 因为背景墙是正方形，且面积为， 所以这面正方形背景墙的边长是． 33．课本复习题有道题是“如果，那么或利用所学知识，尝试求解方程”“如果，那么或”在数学中通常称为零乘积性质．方程可化为根据零乘积性质，若，则或，因此或，解得或所以方程的解为或，请利用零乘积性质完成下列各题 (1)求解方程； (2)已知，当，求的值； (3)已知的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）对方程左侧因式分解，再根据零乘积性质求解； （2）先将代入已知等式化简，再将等式左侧因式分解，然后根据零乘积性质求解； （3）先将已知等式左侧因式分解得到，根据是的三边长，得，则，即可求解． 【详解】（1）解：对方程左侧因式分解得 ， ∴或， 解得或； （2）解：代入得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得 或； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ， ∴ 对等式左侧因式分解得， 提取公因式得 ， ∵ 是的三边长， ∴ ，即， ∴可得，即， ∴ 是等腰三角形． 题型十二、因式分解求最值 34．学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题： 将多项式因式分解： ． 求多项式的最小值． 由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 请你运用上述方法解决下列问题： (1)将多项式因式分解； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方的非负性、阅读理解的能力．解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，根据材料所提供的思路解决问题． （1）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，分解因式可得原式，根据平方的非负性求出代数式的最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，多项式取得最小值为． 35．阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为6 (3)，见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方式，解答的关键是对完全平方式的掌握与应用． （1）由题意可得出答案； （2）根据例中的方法，求解即可； （3）求得，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴代数式的最小值是2，这时相应的的值是． 故答案为：2；． （2）解： ∵ ∴ ∴当时，的最小值为6． （3）解：． 理由：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 36．阅读理解：求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为， 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是______． (2)多项式有最______(填“大”或“小”)值，该值为______． (3)已知，求的最值． 【答案】(1)； (2)大； (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是； 故答案为：，； （2）， ， 当时，的值最大，最大值是， ， 当时，的值最大，最大值是； 故答案为：大，； （3）， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是； 的最小值是； 题型十三、因式分解的新定义问题 37．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 38．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 【答案】609 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为 ，进而可求出第100个智慧优数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即智慧优数为 ，， ∴第100个智慧优数为 ． 故答案为：609． 39．我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③； (2)； (3)最小值为7． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答即可； （2）先运用新定义求得，即可求解； （3）先求得，再根据新定义可得，然后结合它们的“恒定值”为，可得，结合完全平方公式可得 ，即可解答． 【详解】（1）解：① ②，不是常数； ③为常数； ∴是的“恒定多项式”的是①③； 故答案为：①③ （2）解， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 它们的“恒定值”为． （3）解：， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 又它们的“恒定值”为， ， ， ， ， ，当且仅当时等号成立． 代数式的最小值为7． 题型十四、因式分解的几何应用 40．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为，根据用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，超出台面部分的面积为，得到，进而得到，再根据地砖与台面的边长均为整数结合，可得，解方程组即可解答． 【详解】解：设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为， 根据题意，得，则， ∵地砖与台面的边长均为整数，且， ∴， 解得， 则， ∴台面与这种型号的地砖边长相差． 41．边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 【答案】16 【分析】根据和完全平方公式解题即可． 【详解】解：由图可知， ， ∴， 解得． 42．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 题型十五、因式分解的多结论问题 43．已知正整数a，b，c，d满足，且，下列几个说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有5组解．其中错误说法的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及方程的解的含义． 将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴，，，是该四元方程的一组解； 故①正确， 设，，，，其中n是正整数， ∴ ， ∴， ∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解； 故②正确， ∵，，且c、d均为正整数， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时， ∴时，或或， 同理时，或， 时，， ∴若，则该四元方程有6组解． 故③错误， 综上可知，错误的是③，共1个， 故选：B 44．已知整式M：，其中，为自然数，为正整数，，，互不相等，且．下列说法： ①满足条件的整式M共有16个； ②满足条件的整式M中，有8个是二次三项式； ③当时，M的值为y，则y的最小值为； ④将整式M的二次项系数与一次项系数互换，得到新的整式N，当时，． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题综合考查了整式的相关概念，包括二次三项式的定义，以及通过代入求值和等式变形来求解问题，解题的关键在于准确找出满足条件的系列组合．根据已知条件确定、、的取值组合，进而对关于整式的四种说法逐一进行分析判断，即可求得答案． 【详解】解：①为正整数，，为自然数，且，、、互不相等，有以下几种情况： 当时，，则，可以为，，，，， 当时，，则，可以为，，，，， 当时，，则，可以为，，， 当时，，则，可以为，，， 当时，，则，可以为，，， 满足条件的组合共有组， 满足条件的整式共有14个，故①错误； ②二次三项式要求，，，从上面的组合中找，有，2，，3，，1，，3，，1，，2，共6个， 满足条件的整式中，有6个是二次三项式，故②错误； ③当时，， 由可得，则，要使最小， 为正整数，为自然数，当，时，， 的最小值为， 故③正确； ④整式，整式， 当时，， ，即， ， 或， 故④错误； 综上，③正确，正确的个数是1个， 故选：A． 45．已知，，下列说法正确的个数是（   ） ①若不含二次项，则； ②若不含二次项，则； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，恒成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，多项式乘以多项式不含某一项问题，完全平方公式，根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式的法则，完全平方公式分解因式，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：①：， 不含二次项， 则二次项系数 ． 解得 ． 结论正确． ②： 不含二次项时，系数 ， 解得 ，而非 ． 结论错误． ③：． 与 无关时，二次项系数 ． 解得，而非． 结论错误． ④：当，． 恒成立． 结论正确． 综上，正确的说法为①和④，共2个． 故选：B． 题型十六、因式分解的规律计算 46．【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知等式得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知式子得出变化规律即可； （2）根据完全平方公式和提公因式法对式子变形即可得证； （3）根据提公因式法对式子变形即可得证． 【详解】（1）解：观察可知：； （2）证明： ， 十位数字是，个位数字是的两位数的平方是； （3）证明： ， 是至的整数， 是整数， 是的倍数． 47．请阅读下列材料，并完成相应的任务： （1）探究发现； 小明计算下面几个题目 ①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： ． （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． （4）拓展提升 现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解． 【答案】（1）；（2）（3）；（4），画图见解析 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可； （2）利用面积的两种计算方法可证明公式； （3）分别确定公式当中的，再利用公式计算即可； （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）长方形的面积为： 长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：， 所以． （3）按照小明发现的规律： （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，所以拼图如下： ∴． 【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键． 48．某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】(1)3016；5625 (2)①详见解析；②99 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）根据上述的运算规律计算，即可求解； （2）①根据题意可得这两个两位数分别为，，从而得到这个运算规律为，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：，可得新的两个两位数分别为，，进而得到，然后计算出，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：①∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴另一个数的十位数字为a，个位数字为， ∴这两个两位数分别为，， 根据题意得：这个运算规律为， 证明：左边 右边， ∴左边右边； ②由①得：， ∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘， ∴新的两个两位数分别为，， ∴ ， ∴ ， ， ∵a，b为正整数， ∴为整数， ∴能被99整除， ∴这个两位数的最大值为． 题型十七、因式分解的整体性计算 49．“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解： 因式分解：． 解：原式 ． (1)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：； (2)拓展应用： 求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的技巧并运用整体思想是解题关键． （1）仿照例题，先将和进行分组展开运算，将结果中的看作整体继续展开，然后用完全平方公式进行因式分解即可； （2）仿照例题，先将和进行分组展开运算，将结果中的看作整体继续展开，用完全平方公式合并后得到．对n的奇偶性进行分类讨论，从而确定的奇偶性． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 当是偶数时，是偶数，是偶数， ∴是奇数； 当是奇数时，是奇数，是奇数， ∴是奇数． 综上所述，是奇数． ∴四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方． 50．阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）利用换元法即可得出结果； （2）模仿上述方法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：设，则原代数式化为， 故答案为：； （2）解：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 51．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 题型十八、因式分解的密码问题 52．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 53．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 54．【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 【答案】（1）816160；（2），或，或，；（3）此时汽车仪表盘上的里程数是． 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）先利用平方差公式对多项式逐步分解因式，再代入数值计算各因式的值，最后排序得到密码； （2）先对多项式提取公因式，结合密码的三个因式码分析x的可能取值，再通过因式分解与多项式展开对比系数求出p和q的值； （3）设里程数为x，根据题意列方程，利用因式分解转化为因数对问题，进而求出x的值，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， ，，， 将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160． 故答案为：816160； （2）解：， ∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数， ∴三个因式码为24、25、26， 即三个因式的值分别为24、25、26， 分三种情况： ①当时，另外两个因式的值为25、26，即，， 则， 可知，； ②当时，另外两个因式的值为24、26，即，， 则， 可知，； ③当时，另外两个因式的值为24、25，即，， 则， 可知，； 综上所述，，或，或，； （3）解：设此时汽车仪表盘上的里程数为（为正整数，且） 根据题意得（，为正整数，且） 将代入得 即 因式分解得 将91分解为正整数因数对：、， 当时， 解得， 此时里程数，符合题意； 当时， 解得， 此时里程数，不符合题意，舍去． 故此时汽车仪表盘上的里程数是． 1．（25-26七年级下·北京·期末）下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式中不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 通过检查每个选项是否能进行因式分解，使用提公因式法或公式法（如平方差、完全平方公式），判断出选项C不能因式分解． 【详解】A．，能因式分解； B．，能因式分解； C． 没有公因式，且不符合平方差或完全平方公式，不能因式分解； D．，能因式分解． 故选：C． 3．（25-26八年级上·北京门头沟·期中）小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【答案】D 【分析】此题考查了多项式的因式分解，设，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：设， ∴ ∴ ∴， 故选：D 4．（25-26八年级上·北京通州·期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．不能确定 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解方法，利用完全平方公式的结构特征判断，常数项等于一次项系数一半的平方，确定出的值即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4或， 故选：C． 5．（25-26八年级上·北京西城·期中）已知，，则等于（ ） A．13 B．14 C．12 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是_____． 【答案】25 【分析】本题考查了平方差公式及代数式的化简与求值，先利用平方差公式分解，代入后化简，再代入已知条件计算结果． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 7．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取， ，则有， ，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码：．已知多项式，若生成的六位数密码中含有最小的两位数，写出一组符合条件的、的值_______． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查因式分解、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可． 【详解】解： 因式码为 、、， 取，，则因式码为 、、，按从小到大排列为 、、，连接得六位数密码 ， 其中包含最小的两位数 ， 故答案为：，．（答案不唯一） 9．（25-26八年级上·北京东城·期中）因式分解： ______． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东淄博·月考）分解因式，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·北京·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式因式分解； （2）先将原式变形，然后提取公因式，再根据平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级上·北京海淀·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先将平方差公式展开，通过换元，将原式转化为关于的多项式并因式分解至后，再将代回后，利用完全平方公式展开即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 令，则、、、， 原式 令得， 原式 ． 13．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）当为整数时，试说明：能被整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 利用平方差公式对原式进行因式分解，然后进行判断即可． 【详解】解：， 为整数， 为整数， 能被整除． 14．（24-25七年级下·北京昌平·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）因式分解：，其中，则________，________． （3）若，则________． 【拓展延伸】 （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：________． （5）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1） （2）1，2 （3） （4） （5）1，7，13，29 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，数形结合思想和多项式乘以多项式法则是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于四个小长形面积和，列式即可； （2）根据，得到，，解之即可求解； （3）根据即可求解； （4）设，根据，得，，解之即可求解； （5）设，得，，，再根据a、b、m、n为整数，求解即可． 【详解】解：（1）由图可得， 故答案为：； （2）∵， ∴，， 解得：或， ∵ ∴， 故答案为：1；2． （3）∵ ∴ 故答案为：； （4）设， 则 ∴，， 解得：，， 故答案为：； （5）设 ∴，，， ∵a、b、m、n为整数， ∴或或或或或或或或或或或， ∵k为正整数， ∴． ∴正整数的值为1，7，13，29． 15．（25-26八年级上·北京·期中）“回文”是汉语的一种修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中，也有一种类似具有对称性的自然数，其正读和反读的结果一样，如22、585等，我们将这类自然数称为回文数．回文数在数学、计算机科学等领域均具有研究意义． (1)下列数是回文数的是_____（填写序号）； ①66    ②101    ③2929    ④1331 (2)两位回文数显然都是11的倍数．若将个位数字和十位数字分别为，的四位回文数记为．求证：所有的四位回文数都是11的倍数； (3)我们把既是回文数又是某个整数的平方的数称为平方回数（如）．若一个两位数的个位为5，那么它的平方是否可能是平方回数？如果是，请举出例子；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 (3)不可能 【分析】本题考查了整式的计算，新定义，因式分解，正确理解题中回文数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得答案； （2）将表示为，则可得，是11的倍数； （3）设这个两位数为，则可表示为，分别将可能的值，代入计算说明即可． 【详解】（1）解：根据题意可得66，101，1331是回文数， 故选：①②④； （2）证明：设四位回文数为 ，其值可表示为。 ∵ ， ∴ 是11的倍数。 故所有四位回文数都是11的倍数； （3）解：设这个两位数为，则可表示为，且为整数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 当时，，不是回文数， 所以若一个两位数的个位为5，那么它的平方不可能是平方回数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $