2026年九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2026年九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标． 2．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点    （1）求A点和点B的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在下方的抛物线上，连接，与交于点E．和的面积分别记为，，令．若的值最大，求证：． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）找出图中与相等的一个角，并证明； （3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 6．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为． （1）求a的值； （2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标； （3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF． 7．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为轴上的一个定点．点是抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若点到直线的距离为，求证：； （3）已知坐标平面内一点，求周长的最小值，并求出此时点坐标． 8．如图，抛物线经过、两点，直线交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)P是抛物线上一个动点（不与A重合），与抛物线的另一个交点为D，交直线于点E，连接，求证：轴． (3)过点C的动直线交抛物线于M、N两点，分别交y轴于F、G两点，求证：为定值． 9．如图，抛物线的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)证明：； (3)是否存在点，使点到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)设抛物线与直线另一交点为Q，F为线段上一点（不含端点），连接，一动点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案） 10．已知抛物线y ＝kx2－4kx＋3k（k＞0），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），在与y轴交于点C，顶点为D． （1）如图1，当△ABD为等边三角形时，求k的值； （2）点E为x轴下方抛物线y ＝kx2－4kx＋3k（k＞0）上一动点． ①如图2，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线交对称轴DH于点N，求的值； ②如图3，若k ＝1，点F在x轴上方的抛物线上，EF交x轴于G，且∠FBA＝∠EBA，FM⊥x轴于M，求证：FM ＝2MG． 11．如图，抛物线y＝x2+mx+m（m＞0）的顶点为A，交y轴于点C． （1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）； （2）若直线y＝﹣x＋n经过点A，与抛物线交于另一点B，证明：AB的长是定值； （3）连接AC，延长AC交x轴于点D，作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°，求m的值．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）顶点D的坐标为（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形（3）当M的坐标为（﹣，） 【分析】(1)将点A的坐标代入函数解析式求出b的值，然后将二次函数进行配方从而得出顶点坐标； (2)根据二次函数的解析式分别得出点A、B、C的坐标，然后分别求出AC、BC和AB的长度，然后根据勾股定理的逆定理得出答案； (3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，则BC与对称轴的交点就是点M，根据一次函数的交点求法得出点M的坐标． 【详解】解：(1)∵点A（1，0）在抛物线上， ∴+b+2=0，解得，， 抛物线的解析式为， 则顶点D的坐标为； (2)△ABC是直角三角形， 证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2， 当， 解得，x1=﹣4，x2=1， 则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1，OB=4， ∴AB=5， 由勾股定理得，AC=，BC=，   AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形； (3)由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称， 连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， 由题意得，， 解得，， 则直线BC的解析式为：， 当x=时，， ∴当M的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数的交点坐标，属于中等难度的题型．待定系数法求函数解析式是解决这个问题的关键． 2．（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点A代入得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设P ， ∵F， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴； （3）解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 3．（1）；（2）△ABC是直角三角形，详见解析；（3）． 【分析】（1）令y=0时进行求解即可； （2）根据（1）及题意可得A、B、C的坐标，然后根据两点距离公式及勾股定理的逆定理进行求解即可； （3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，然后求解直线的解析式即可． 【详解】解：（1）当y=0时，， ， ； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ， AB=5， ， ， ， ， ， △ABC是直角三角形； （3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，如图所示：   ， ， 顶点的坐标为， 设直线的解析式为，则有： ， ， ， 当y=0时，，则， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键，注意运用两点距离公式及利用轴对称的性质求解最短路径的问题． 4．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先求出，再求出直线的表达式．如图，作，交于点F．设点P的坐标为，则点F的坐标为，表示出，证明，得出，可得．即．得出当时，w的值最大．此时点P的坐标为．根据点C的坐标为，得出． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）证明：中，令，则， ∴， 设直线的表达式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为． 如图，作，交于点F． 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． ∴当时，w的值最大． 此时点P的坐标为． ∵点C的坐标为， ∴． 5．（1），顶点坐标；（2）图中与相等的一个角是，证明见解析；（3）点的坐标是． 【分析】（1）利用待定系数法把和代入中，得，解方程组，得到抛物线配方为顶点式即可； （2）图中与相等的一个角是，求出抛物线与x轴的交点A，可得，.利用勾股定理求，，，利用勾股定理逆定理可证是直角三角形,，可得，可证即可； （3）设点的坐标为，过作轴，垂足为，交于，求点坐标为，可求PE=，利用面积公式=.利用抛物线性质可求点的坐标是． 【详解】解：（1）把和代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式是：， 顶点坐标； （2）图中与相等的一个角是， 令，则，，， . ， ， 在中，， ，，， ，； ， ∴是直角三角形,， ， 又和都是锐角， ， ， 即； （3）设点的坐标为， ∵一定，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 过作轴，垂足为，交于.易求直线的表达式为， 所以点坐标为， ∴PE=， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴， 当时，最大，点到直线的距离最大， ∴， 点的坐标是． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，配方为抛物线顶点式，等腰直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的最值，掌握待定系数法求抛物线解析式，配方为抛物线顶点式，等腰直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积的最值是解题关键． 6．（1）y=x2；（2）M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）；（3）详见解析. 【详解】试题分析：（1）设Q（m，），F（0，），由QO=QF，根据勾股定理列出方程即可求得a值；（2）设M（t，t2），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问题．（3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解决问题． 试题解析：（1）∵圆心O的纵坐标为， ∴设Q（m，），F（0，）， ∵QO=QF， ∴m2+（）2=m2+（﹣）2， ∴a=1， ∴抛物线为y=x2． （2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，）， ∵O、Q、M在同一直线上， ∴KOM=KOQ， ∴=， ∴m=， ∵QO=QM， ∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2， 整理得到：﹣t2+t4+t2﹣2mt=0， ∴4t4+3t2﹣1=0， ∴（t2+1）（4t2﹣1）=0， ∴t1=，t2=﹣， 当t1=时，m1=， 当t2=﹣时，m2=﹣． ∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）． （3）设M（n，n2）（n＞0）， ∴N（n，0），F（0，）， ∴MF===n2+，MN+OF=n2+， ∴MF=MN+OF． 考点：二次函数综合题. 7．（1）；（2）证明见解析；（3），P（2，-） 【分析】（1）根据条件选择设顶点式解析式，然后代入已知点坐标即可求出解析式； （2）根据点的坐标，利用勾股定理表示出PF的长度，结合抛物线解析式，从而得到PF长度与n的关系式，再利用n表示出d的值，进而可以找到PF与d的关系； （3）借助（2）中得到的结论转化得到，当PD所在直线垂直l时，PF+PD的最小值，即△PDF周长最小，再求出P点坐标即可． 【详解】解：（1）由顶点（0，-1），可设抛物线方程为， ∵过， ∴代入解得a=， ∴抛物线解析式为； （2）证明：已知P、F的坐标， ∴， ∵P在抛物线上， ∴， ∴（n＞-1）， 又P点到l的距离d=n+3， ∴PF=d， （3）△PDF的边长中DF长度根据勾股定理求出为，不随P位置改变， ∴PD+PF最小时，周长最小， 根据（2）可知PF=d， ∴当DP⊥l时，PD+PF最小，且最小值为6， ∴P点横坐标为2， ∴△PDF周长最小为，P点坐标为（2，-）． 【点睛】本题考查了求抛物线的解析式，勾股定理，求最值等知识内容，对学生的做题灵活性要求较高，属于中考常考题． 8．（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为 （2）证明：设直线的解析式为， ∵直线经过，设直线的解析式为， 联立， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， ∴， ∵：交直线于点E， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴轴； （3）证明：∵分别交轴于F、G两点， 设，， 设直线的解析式为：， 将代入得：， ∴直线的解析式为：， 同理直线的解析式为：， 联立， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， ∵直线与y轴交于点F， ∴时，， 即， 直线与y轴交于点G， ∴时，， 即， ∴，， ∴， 直线与y轴交于点C， ∴， ∵直线过点， ∴设直线的解析式为：， 联立， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴为定值； 9．（1）∵抛物线的顶点为E的横坐标为1 ∴ ， 即：， ∴解析式可化为： 又∵直线过点B ∴， ∴代入得： ∴ ∴抛物线解析式为： （2）由（1）知，抛物线解析式为， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）存在点，使点到A.B.C.D的距离都相等          假设存在点到A.B.C.D的距离都相等，则四点A.B.C.D共圆，点为圆心； ∵ ∴圆心在抛物线的对称轴上，设 又∵，， ∴由两点之间距离公式可得： ∵ 解得：   ∴                                               ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴存在点，使点P到A.B.C.D的距离都相等 （4）F的坐标为                              解：如答图， 由（1）知：直线交y轴于，， 由勾股定理可得： ， ∴ , 过点Q作轴，过点F作于点G， ∴ , ∴， ∴ 由题意，动点P运动的路径为折线，运动时间： ∴，即运动的时间值等于折线的长度值． 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与x轴之间的垂线段． 过点A作于点H，则，与直线的交点，即为所求之F点． ∵A点横坐标为，直线解析式为 ∴， 即当F的坐标为时，点P在整个运动过程中用时最少． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式、两点间的距离公式、相似三角形的判定与性质、三角函数，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点是把运动时间最少转换成我们熟悉的线段和最值问题． 10．解：（1）令y=0，则x=1或3， ∴A（1，0）、B（3，0）， ∴AB=2， ∵△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=AD=2 过点D作DP⊥x轴，则有： AP= DP= ∴OP=OA+AP=1+1=2 ∴D（2，）， ∴，解得：k=； （2）①设E（p，kp2-4kp+3k），AE解析式为：y=mx+n，BE解析式为y=sx+t 由（1）知A（1，0），B（3，0），把A，E代入y=mx+n得： ， 解得，， ∴AE解析式为y=k（p-3）x-k（p-3）， ∵当x=0时，y=k（p-3）， ∴MO=k（3-p）， 同理：BE解析式为y=k（p-1）x-3k（p-1）， ∵D（2，-k）， 当x=2时，y=-k（p-1）， ∴HN=k（p-1）， 又HD=k， ∴； ②过点E作EL⊥x轴于L，设F（xF，yF），E（xE，yE）， 设直线EF解析式为y=ax+b， ∵k=1， ∴y=x2-4x+3， ∴联立方程组， ∴x2-（4+a）x+3-b=0， ∴xE+xF=4+a，xE•xF=3-b ∵∠FBA=∠EBA，∠FMB=∠ELB=90°， ∴tan∠FBA=tan∠EBA， ∴ ， 又B（3，0）， ∴， ∴yF（3-xE）=-yE（3-xF）， ∴（axF+b）（3-xE）=-（axE+b）（3-xF）， ∴3a（xE+xF）-2axE•xF+6b-b（xE+xF）=0， ∴3a2+6a+2b+ab=0， ∴a（3a+b）+2（3a+b）=0， ∴（a+2）（3a+b）=0， ∴a=-2或3a+b=0， 当3a+b=0时直线EF经过点B，不合题意， ∴a=-2， ∴y=-2x+b， ∴G（，0）， ∴, ∴． 11．（1）；（2）见解析；（3）-1+ 【分析】（1）直接写出顶点式即可得出结论； （2）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，得出n=2m+m2，进而得出直线AB的解析式为y=-x+2m+m2，再联立抛物线解析式得出方程组，转化成方程，利用根与系数的关系即可得出结论； （3）先求出点A，C关于x轴的对称点，进而得出直线EF解析式，再联立抛物线解析式，过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，设点E，F坐标，联系抛物线和EF表达式，利用根与系数的关系列出方程求解. 【详解】解：（1）抛物线， 顶点的坐标为； （2）由（1）知，顶点的坐标为， 直线经过点， ， ， 直线的解析式为①， 设，，，， 抛物线②， 联立①②得，， 即：， ，， 即：的长是定值，其值为； （3）抛物线与轴相交于， ， 点关于轴的对称点的坐标为， 由（1）知，顶点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 直线是直线关于轴的对称点， 点，在直线上， 直线的解析式为③， 抛物线④， 设E（，），F（，）， 过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，如图1， ∵∠ECF=90°， ∴∠ECM+∠FCN=90°， ∠FCN+∠CFN=90°， ∴∠ECM=∠CFN， ∵∠EMC=∠FNC=90°， ∴△EMC∽△CNF， ∴, 即， 化简得：， 联立③④得，， ，， ==， ， ∴， ∴=0 解得：m=或m=或m=0， ∵m>0 ∴m=.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $