二次函数压轴题之最值问题点拨与精练-2026年中考数学二轮复习专题讲义

二次函数压轴题之最值问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： （一）线段最值问题 1. 竖直线段最值：抛物线上点与 x 轴（或水平线）上点的竖直距离，化为二次函数求顶点最值。 2. 水平线段最值：抛物线上两点水平距离，利用对称轴分析最大值或最小值。 3. 斜线段最值：利用两点间距离公式转化为二次函数，或用几何模型（垂线段最短、将军饮马）求解。 （二）线段和最值问题 1. 将军饮马模型：在抛物线上找点，使到两定点距离之和最小，利用对称转化求最值。 2. 竖直线段和：抛物线上两点到x轴（或水平线）的竖直线段之和，转化为二次函数求最值。 3. 斜线段和转化：通过构造直角三角形或相似，将斜线段和转化为水平或竖直线段和，再用函数或几何模型求解。 （三）周长最值问题 1. 三角形周长最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，周长最小常转化为将军饮马（两边和最小），加定边得最值。 2. 四边形周长最值：动点在抛物线上，四边形周长最值常通过对称转化或设点坐标建立二次函数求最值。 3. 线段和为定值：已知一边长固定，求周长最值即求另两边和的最值，用几何模型或函数法求解。 （四）面积最值问题 1. 三角形面积最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，面积常表示为水平宽×铅垂高的一半，化为二次函数求最值。 2. 四边形面积最值：将不规则四边形分割为三角形或补形，转化为面积函数求最值。 3. 面积与线段关系：已知面积关系求点坐标，或面积最值时求参数取值范围。 二、思路点拨 （一）线段最值问题 1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示线段长。 2. 配方法求最值：将线段表达式化为二次函数形式，配方或直接用顶点公式求最值。 3. 几何模型转化：斜线段最值常通过构造直角三角形，转化为水平或竖直方向线段，或利用对称、圆模型求解。 （二）线段和最值问题 1. 对称转化：求线段和最小值，常作定点关于对称轴的对称点，转化为两点间直线段。 2. 设参列式：设动点坐标，用两点间距离公式表示线段和，转化为二次函数求最值。 3. 几何模型优先：优先识别将军饮马、胡不归、阿氏圆等几何模型，避免复杂代数运算。 （三）周长最值问题 1. 将军饮马转化：周长中固定边不变，求两动边和最小即作对称点转化为两点间线段。 2. 设点坐标法：设动点坐标，用距离公式表示各边长，周长化为二次函数求顶点最值。 3. 化折为直：利用平移或旋转将折线段拉直，使问题转化为求两点间最短距离。 （四）面积最值问题 1. 铅垂高法：三角形面积用S = ×水平宽×铅垂高，铅垂高为二次函数，配方求最值。 2. 割补法：不规则图形面积通过分割或补形转化为规则图形面积的和差，建立函数关系。 3. 判别式定界：面积最值问题也可转化为一元二次方程有解，用判别式求最值。 精练 1．（23-24九年级上·重庆开州·月考）如图，已知抛物线经过，两点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线上的一个动点，当点到点，的距离之和最短时，求点的坐标． (3)已知为抛物线的顶点，在平面直角坐标系中是否存在一点，恰好使得，，，为顶点平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程，若不存在，说明理由． 2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长． 4．如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接．抛物线的对称轴与轴交于点．点是直线上方抛物线上的一个动点（不与、重合），过点作交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴上一动点，当的和最小时，点的坐标为 ； (3)求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)是否存在点E，使与相似，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．    (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值； (3)如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度． 6．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点P是x轴上方抛物线上的动点，过点P作直线轴，交x轴于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t，当时，求点P的坐标． 7．如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．    (1)求、两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明：为直角三角形； (3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标． 8．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点且点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断△ABC的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 10．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 12．（24-25九年级上·湖北黄石·月考）如图，二次函数向左平移一个单位得到的图象，交轴于点，，交轴于点，顶点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，当的长度最小时，求出点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对称点为，如果点刚好落在抛物线上，求出点的坐标． 13．（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2024·四川达州·二模）已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标． 15．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 16．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在△ABC各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 18．如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 19．已知抛物线（，为常数，且）的对称轴为，且过点(，)．点是抛物线上的一个动点，点的横坐标为，直线：与轴相交于点A，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内或轴上，连接，，当面积最小时，求此时点的坐标； (3)对于函数，当时，此函数的最大值为，最小值为，是否存在的值使．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 20．如图1，抛物线与y轴交于点，与x轴交于B，C两点（点B在点C的右侧），其顶点．    (1)求抛物线解析式（直接写出结果）； (2)如图1，点D，G在直线上，，，轴，设，若线段与抛物线有两个交点时，求m的取值范围； (3)如图2，点Q是线段上的动点，N，M为抛物线对称轴上的点，点M在点N的上方，且，连接．当的值最小时，求点Q的坐标． 21．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标； (3)如图，若点是抛物线第二象限内一点，连接，过点作交轴于点，连接，是否存在点，使得的面积存在最大值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)点是抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图，为线段的中点，将抛物线向上平移个单位，交线段于点，连接并将其绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的周长最小时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴题之最值问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： （一）线段最值问题 1. 竖直线段最值：抛物线上点与 x 轴（或水平线）上点的竖直距离，化为二次函数求顶点最值。 2. 水平线段最值：抛物线上两点水平距离，利用对称轴分析最大值或最小值。 3. 斜线段最值：利用两点间距离公式转化为二次函数，或用几何模型（垂线段最短、将军饮马）求解。 （二）线段和最值问题 1. 将军饮马模型：在抛物线上找点，使到两定点距离之和最小，利用对称转化求最值。 2. 竖直线段和：抛物线上两点到x轴（或水平线）的竖直线段之和，转化为二次函数求最值。 3. 斜线段和转化：通过构造直角三角形或相似，将斜线段和转化为水平或竖直线段和，再用函数或几何模型求解。 （三）周长最值问题 1. 三角形周长最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，周长最小常转化为将军饮马（两边和最小），加定边得最值。 2. 四边形周长最值：动点在抛物线上，四边形周长最值常通过对称转化或设点坐标建立二次函数求最值。 3. 线段和为定值：已知一边长固定，求周长最值即求另两边和的最值，用几何模型或函数法求解。 （四）面积最值问题 1. 三角形面积最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，面积常表示为水平宽×铅垂高的一半，化为二次函数求最值。 2. 四边形面积最值：将不规则四边形分割为三角形或补形，转化为面积函数求最值。 3. 面积与线段关系：已知面积关系求点坐标，或面积最值时求参数取值范围。 二、思路点拨 （一）线段最值问题 1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示线段长。 2. 配方法求最值：将线段表达式化为二次函数形式，配方或直接用顶点公式求最值。 3. 几何模型转化：斜线段最值常通过构造直角三角形，转化为水平或竖直方向线段，或利用对称、圆模型求解。 （二）线段和最值问题 1. 对称转化：求线段和最小值，常作定点关于对称轴的对称点，转化为两点间直线段。 2. 设参列式：设动点坐标，用两点间距离公式表示线段和，转化为二次函数求最值。 3. 几何模型优先：优先识别将军饮马、胡不归、阿氏圆等几何模型，避免复杂代数运算。 （三）周长最值问题 1. 将军饮马转化：周长中固定边不变，求两动边和最小即作对称点转化为两点间线段。 2. 设点坐标法：设动点坐标，用距离公式表示各边长，周长化为二次函数求顶点最值。 3. 化折为直：利用平移或旋转将折线段拉直，使问题转化为求两点间最短距离。 （四）面积最值问题 1. 铅垂高法：三角形面积用S = ×水平宽×铅垂高，铅垂高为二次函数，配方求最值。 2. 割补法：不规则图形面积通过分割或补形转化为规则图形面积的和差，建立函数关系。 3. 判别式定界：面积最值问题也可转化为一元二次方程有解，用判别式求最值。 精练 1．（23-24九年级上·重庆开州·月考）如图，已知抛物线经过，两点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式． (2)设是直线上的一个动点，当点到点，的距离之和最短时，求点的坐标． (3)已知为抛物线的顶点，在平面直角坐标系中是否存在一点，恰好使得，，，为顶点平行四边形，若存在，写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将点、的坐标代入，解关于，的二元一次方程即可； （2）根据抛物线的对称性可得点、关于对称轴对称，根据两点之间线段最短可得线段的长为的最小值，再确定直线解析式，求出当时的函数值即可； （3）分三种情况：①点、点为相对的顶点；②点、点为相对的顶点；③点、点为相对的顶点，利用平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）根据题意，抛物线与轴交于点、， ∴点、关于对称轴对称，即抛物线的对称轴垂直平分， 连接交对称轴于点， ∴， ∴，此时线段的长为的最小值，则点即为所作， 由抛物线可得对称轴为直线， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）设点， ∵抛物线的解析式为，点为抛物线的顶点， ∴， ∵，， ①如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； ③如图，点、点为相对的顶点， 当且时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，符合条件的点坐标为或或． 【点睛】本题二次函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，平行四边形的判定，对称的性质，垂直平分线的性质，利用两点之间线段最短解决最短路径问题，利用平移的性质确定点的坐标．理解坐标与图形性质并利用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x＋2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）M（，0）；（3）存在，点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2） 【分析】（1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出|BM﹣CM|最小时，BM＝CM，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出∠ACB＝∠BHN＝90°，分两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2， ∴C（0，2）， 令y＝0，则0＝﹣x+2， ∴x＝4， ∴B（4，0）， ∵点C在抛物线y＝﹣x2+bx+c上， ∴c＝2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+2， ∵点B（4，0）在抛物线上， ∴﹣8+4b+2＝0， ∴b＝， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）∵|BM﹣CM|最小， ∴|BM﹣CM|＝0， ∴BM＝CM， ∴BM2＝CM2， 设M（，m）， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2， ∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2， ∴m＝0， ∴M（，0）； （3）存在，理由： 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2， 令y＝0，则0＝﹣x2+x+2， ∴x＝4或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25， ∴CB2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵NH⊥x轴， ∴∠BHN＝90°＝∠ACB， 设N（n，﹣n2+n+2）， ∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|， ∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴①△BHN∽△ACB， ∴， ∴＝， ∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍）， ∴N（﹣5，﹣18）或（3，2）， ②△BHN∽△BCA， ∴， ∴＝， ∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2， ∴N（0，2）或（﹣2，﹣3）， 即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的性质、相似三角形的性质，运用数形结合与分类讨论的方法是解题的关键． 3．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标； （3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【分析】（1）利用待定系数法即可得； （2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得； （3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为； （2）对于二次函数， 当时，，解得或， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ，解得， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 将点代入得：， 解得或， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，点的坐标为或； （3）二次函数的顶点坐标为， 设点的坐标为， ， ，解得， ， 则平移后的二次函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接， ， 轴， ， ， 由两点之间线段最短得：的最小值为， 由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合， 则点的纵坐标与点的纵坐标相等， 即，解得， 则． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键． 4．如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接．抛物线的对称轴与轴交于点．点是直线上方抛物线上的一个动点（不与、重合），过点作交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是轴上一动点，当的和最小时，点的坐标为 ； (3)求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (4)是否存在点E，使与相似，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当E的坐标的坐标为时，四边形CDBE的面积最大，最大值为 (4)存在，， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴，连接，当时，的和最小，，即，设，得出 （3）过点作轴于点，交于点，根据，即，得出直线的解析式为，设，则，则，连接，，四边形的面积根据二次函数的性质即可求解； （4）依题意，，则分①当时，②当时，如图所示，过点作垂足为点，连接并延长交于点，过点作轴于点，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：依题意，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由，当时， 即， 解得：， ∴， ∴， 如图所示，    过点作轴，连接， 当时，的和最小, 设，则， ∴， ∴， 即， 设 ∴， 解得：， ∴， 即当的和最小时，点P的坐标为， 故答案为：． （3）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，    ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 连接，，    四边形的面积 ， 当时，，即当E的坐标的坐标为时，四边形CDBE的面积最大，最大值为 （4）存在， ∵， ∴， ∴， ①当时，如图所示，则， ∴的纵坐标为，    由，当时， 即， 解得：， ∴； ②当时，如图所示，过点作垂足为点，连接并延长交于点，过点作轴于点，    ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， 联立， 解得：或（舍去） ∴， 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，解摘哦三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．抛物线与直线相交于、两点，与轴相交于点，点在轴的负半轴上．    (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一动点，过点作于点，求垂线段的最大值； (3)如图2，当点运动到抛物线对称轴右侧时，连接，交抛物线的对称轴于点，当最小时，直接写出此时的长度． 【答案】(1)抛物线的函数表达式：，顶点坐标： (2) (3) 【分析】（1）根据直线与轴交于点．求得点，代入二次函数解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）设直线与轴交于点，令，得，故点的坐标为，为等腰直角三角形，过点作轴，交直线于点，则，则是等腰直角三角形，设点，则，进而表示出，根据二次函数的性质求得的最大值为； （3）过点作，设交轴于点，当时，，则，此时最小，，设，则，勾股定理求得，根据，，可得，则，即，求得直线的解析式为：，联立求得点，进而即可求解． 【详解】（1）解：与轴交于点． 将，代入得      又在抛物线上， ， 解得． 故抛物线的函数表达式    顶点的坐标为． （2）设直线与轴交于点，令，得，故点的坐标为 ， 为等腰直角三角形 过点作轴，交直线于点，则， 是等腰直角三角形      ∴，设点，则 ∴， 故当时，有最大值． ∴的最大值为 （3）解：如图所示，过点作，设交轴于点，    当时，， 则，此时最小， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴, 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为： 联立 解得：（舍去）或， 当时，， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，正弦的定义，勾股定理求两点距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点P是x轴上方抛物线上的动点，过点P作直线轴，交x轴于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）由抛物线的对称性可知，可得，可知当点M在直线上时，取最小值，因此求出直线与对称轴的交点坐标即可； （3）用含t的式子表示出P，M的纵坐标，分点P在y轴左侧，点P在y轴右侧两种情况，根据列式求解． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，，，， ， 当时，， ． 由抛物线的对称性可知， ， 当点M在直线上时，取最小值． 设直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 将代入，得， 点M的坐标为； （3）解：令， 得，， ， 点P是x轴上方抛物线上的动点，点P的横坐标为t， 点，， 点M在直线：上，点N在x轴上， ，， 当时，分两种情况： 当点P在y轴右侧时，如下图所示： ，， ， 解得或（舍）， 将代入，得， ； 当点P在y轴左侧时，如下图所示： ，， ， 解得或（舍）， 将代入，得， ； 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数图象上的点的坐标特征等，有一定难度，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第三问注意分情况讨论． 7．如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．    (1)求、两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明：为直角三角形； (3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，;(2)证明见解析;(3)，;(4) 【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解； （2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）连接，根据进行求解即可； （4）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）证明：在中，当时，则， 解得，， ∴． ∵，， ∴，，， ∴，即． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标是； 如图1，连接，    ∴， ∴四边形的面积是． （4）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为． 如图，设抛物线的对称轴：与直线交于点E，    点P是直线上的点，连接． ∵垂直平分， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴当的值最小时，的周长最小． ∵， ∴当点P与点E重合时，， ∴此时最小． ∵直线， 当时，， ∴， ∴当的周长最小时，点P的坐标为． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 8．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴，抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：，∴， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点且点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断△ABC的形状，并证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)△ABC是直角三角形，理由见解析 (3)点的坐标为 【分析】（1）根据可得点的坐标为，即，点代入抛物线表达式，求出，即可求出抛物线的解析式，将抛物线表达式化为顶点式，即可得到顶点的坐标； （2）△ABC是直角三角形，求出抛物线与轴的交点的坐标，即可求出，由勾股定理得求出，，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形； （3）由抛物线的性质可知，点与点关于对称轴对称，连接交对称轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标为， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为 ∴， ∴顶点D的坐标为． （2）解：是直角三角形， 证明：点的坐标为，即， 当， 解得，，， 则点的坐标为，即，， ∴， ∵由勾股定理得，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形． （3）解：由抛物线的性质可知，点与点关于对称轴对称， 连接交对称轴于，此时的周长最小， 设直线的解析式为：， 由题意得，，解得，， 则直线的解析式为：， 当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式及一次函数的解析式，勾股定理及其逆定理和轴对称中的最短距离问题，利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 10．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解； （3）分两种情况：，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为． （2）∵， ∴对称轴为直线 点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得 ∴ ∴直线的解析式为 当时，， ∴点． （3）存在． ∵，是的中点， ． 又， ∴直线的解析式为，． 联立得． 解得，（舍）． 当时，． ∴． 设，则． ∴． 分以下两种情况： ①如图2，若，则，． ∴轴． ∴． ∴． 解得或（舍）． ∴． ②如图3，若，则，． 过点作于点，则， 即． 解得或（舍）． ∴． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式． 11．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 12．（24-25九年级上·湖北黄石·月考）如图，二次函数向左平移一个单位得到的图象，交轴于点，，交轴于点，顶点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，当的长度最小时，求出点的坐标； (3)若点是对称轴上一动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对称点为，如果点刚好落在抛物线上，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质综合，涉及待定系数法求解析式，将军饮马问题，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握将军饮马的解决方法和坐标系中线段旋转构造一线三垂直全等是解题的关键． （1）利用平移确定，再利用交点式确定解析式即可； （2）利用，得出，当、、共线时，最小，即最小，利用解析式与抛物线对称轴交点即可求解； （3）分当点在轴上方时，和当点在轴下方时进行讨论，构造一线三垂直全等模型，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是平移所得， ∴， ∵交轴于点，， ∴的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵的对称轴为直线，与轴交于点，， ∴点、关于直线对称， ∴， ∴， 当、、共线时，最小， 即最小， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 则； （3）解：设抛物线对称轴交轴于点， ①当点在轴上方时， 如图，过点作垂直于抛物线对称轴于点， 由旋转得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：或（舍）， 当时，， 故； ②当点在轴下方时， 如图，过点作平行于轴的直线，过点作于，过点作于， 由旋转得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得：（舍）或， 当时，， 故； 综上，或． 13．（2025·吉林·模拟预测）如图，已知抛物线过点、，点是直线上一点． (1)求此抛物线对应的函数解析式和顶点坐标； (2)当点在抛物线上时，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (4)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点的坐标为 (4)存在．点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标； （2）把代入抛物线的解析式，进行求解即可； （3）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）由（1）知：， ∵点是直线上一点，且点在抛物线上， ∴当，， ∴； （3）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 14．（2024·四川达州·二模）已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或一或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据 的周长等于以及为定长，得到当的值最小时， 的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：得到当三点共线时,，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为,进而得到得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）∵抛物线 与轴相交于点 ， 解得： ， ∴抛物线解析式为 ； （2）在 当时, ， ∴, ∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 的周长等于，为定长, ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ， ， ∴当三点共线时, 的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ∴直线的解析式为 当 时,， ， ∴， ， ； （3）当点在点下方时： 过点作, 交抛物线于点, 则此时点纵坐标为， 设点横坐标为， 则: 解得：， 或； ②当点在点上方时：设与轴交于点, ， 设, ， 解得： ， 同理可得DE的解析式为 ， 联立 解得： 或 或 ； 综上：或一或或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题. 15．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 【答案】(1) (2) (3)，4 【分析】（1）先求出点，然后用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线对称轴为直线，可得点A关于对称轴直线对称点B点坐标为，则与对称轴为直线的交点即为点P，此时，的值最小，进而可求出点P的坐标为； （3）过F作轴于点H，交于点G，设，则G为，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线，令，得 ∴ 把点和C为代入抛物线 得 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：由抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴直线对称点B点坐标为 把点B点坐标为代入得， ∴直线解析式为 ∵抛物线对称轴为直线，点A与点B关于对称轴直线对称， 则与对称轴为直线的交点即为点P， 此时，的值最小． ∵直线，当时，， ∴点P为． ∴当的值最小时，点P的坐标为 （3）解：过F作轴于点H，交于点G， 设，则G为， ∴ ∵，∴当m=2时，为最大值为4，， ∴ ∴为最大值为4时，F坐标为 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，轴对称的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 16．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②的面积为2或3或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题； ②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。 得，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：①令， 解得：， ∴， ∵B，C， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵, ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴的外接圆直径是， 则其外接圆的半径， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是， ∴直线与x轴的交点T的坐标是， 作轴于点P，则在直角三角形中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合， 当点F在的内角的平分线上即时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴E、T重合， ∵B，C， ∴直线的解析式是， 当时，， ∴点P的坐标是， ∴， ∴； 当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K， 则， 设，则， ∵，且, ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于， ∴点F不可能在的内角的平分线上； 当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则， ∴； 综上：的面积为2或3或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键. 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在△ABC各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在△ABC内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在△ABC各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为△ABC的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在△ABC内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 18．如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点横坐标为或或或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可； （3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵， ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 19．已知抛物线（，为常数，且）的对称轴为，且过点(，)．点是抛物线上的一个动点，点的横坐标为，直线：与轴相交于点A，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内或轴上，连接，，当面积最小时，求此时点的坐标； (3)对于函数，当时，此函数的最大值为，最小值为，是否存在的值使．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)(2，0) (3)或 【分析】（1）由抛物线对称轴公式和点(，)在该抛物线上即可列出关于a、b的等式，解出a、b即可． （2）过点作轴交于点，设点，则点，根据一次函数解析式可求出A点坐标，即可求出OA，再根据，即可求解； （3）分类讨论①当时，；②当时，；③当时，；④当时，，结合二次函数的对称轴和性质即可得出答案． 【详解】（1）由题意可得，该抛物线对称轴为， 将点(，)代入抛物线解析式得：， 联立， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）过点作轴交于点， 设点，则点，     对于，令，则， 解得：， ∴A(4，0)， ∴OA=4． ∴， ∴当时，有最小值． ∵， ∴(2，0)； （3）分类讨论：①当时，， ∵，对称轴为， ∴此时y随x的增大而增大， ∴，， ∴， 解得：； ②当时，， ∵，对称轴为， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴不合题意； ③当时，， ∵，对称轴为， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴不合题意； ④当时，， ∵，对称轴为， ∴此时y随x的增大而减小， ∴，， ∴， 解得：． 综上可知t的值为或． 【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的对称轴，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数与x轴的交点和二次函数的增减性等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 20．如图1，抛物线与y轴交于点，与x轴交于B，C两点（点B在点C的右侧），其顶点．    (1)求抛物线解析式（直接写出结果）； (2)如图1，点D，G在直线上，，，轴，设，若线段与抛物线有两个交点时，求m的取值范围； (3)如图2，点Q是线段上的动点，N，M为抛物线对称轴上的点，点M在点N的上方，且，连接．当的值最小时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分两种情况，直线与抛物线有两个交点，利用判别式求解；点H与点R，T重合时，与抛物线有两个交点，据此求解即可； （3）连接，作，，垂足为P，P、Q关于抛物线的对称轴对称，在此种情况下，由垂线段最短可知的值最小，求得直线和的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵顶点，∴设抛物线的解析式为，把代入得，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，解方程得或， ∴，， ∵， 直线的解析式为：，且为等腰直角三角形， 作于，则， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为， ∴直线与抛物线对称轴的交点E的坐标为，， 作，则为等腰直角三角形，， 当与抛物线只有一个交点时， ∵，则， ∴可设直线的解析式为：， 则关于x的一元二次方程有两相等实数根， 即，解得，， 直线与的交点G的横坐标为， ∵轴， ∴，又， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， 由平移的性质可知， 点H在过点R且平行于的直线上，， ∴点H与点R，T重合时，与抛物线有两个交点， 综上，m的取值范围是：，或； （3）解：如图所示，连接，作，，垂足为P，P、Q关于抛物线的对称轴对称，在此种情况下，由垂线段最短可知的值最小，    交于点K，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴同理，的解析式为：； 的解析式为：； 联立，得， ∴点P的坐标为， 由抛物线的轴对称性可得，点Q与点P关于直线对称， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法、二次函数的最值、解直角三角形等综合知识，解决问题的关键是转化题意，正确分类，列出方程． 21．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标； (3)如图，若点是抛物线第二象限内一点，连接，过点作交轴于点，连接，是否存在点，使得的面积存在最大值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标为，因此可设抛物线的解析式为，由于抛物线与轴交于点，因而可利用待定系数法求出该二次函数的解析式，进而可求出该抛物线与轴的交点坐标，即点的坐标； （2）连接，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点即为所求，由于已知点和点的坐标，根据轴对称的性质可求得点和点的坐标，设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的解析式，进而可求出当周长最小时点的坐标； （3）连接、，过点作轴交轴于点，交直线于点，由且平行线之间的距离处处相等可得，然后利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，于是可得，进而可推出，据此即可求出取得最大值时的值以及此时点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于点， , 解得：， 抛物线的解析式为， 令， 则， 点的坐标为； （2）解：如图，连接，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点即为所求， 由（1）可知：， 由轴对称的性质可得：， ， ， 由轴对称的性质可得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 当周长最小时，点的坐标为； （3）解：存在，点的坐标为， 理由如下： 如图，连接、，过点作轴交轴于点，交直线于点， 由（1）可得：抛物线解析式为， 平行线与之间的距离， 平行线与之间的距离， 又，且平行线之间的距离处处相等， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ， ， 当时，取得最大值，即取得最大值， 此时，点的纵坐标为， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，求抛物线与轴的交点坐标，轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，轴对称中的光线反射问题，求一次函数的函数值，三角形的面积公式，利用平行线间距离解决问题，已知两点坐标求两点距离，把化成顶点式，求二次函数的函数值等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 22．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)点是抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图，为线段的中点，将抛物线向上平移个单位，交线段于点，连接并将其绕点逆时针旋转得到线段，连接，当的周长最小时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）把和代入函数解析式解答即可求解； （）由点坐标可得，再分点在轴上方和下方两种情况解答即可求解； （）过点作，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于，可得点在以为直径的圆上，即得点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，可知此时的值最小，则的周长最小，利用轴对称的性质可得，再证明，得，即得，又由是等腰直角三角形，得，进而得到，即得到，，得到，最后代入到平移后的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得，， ∴，， 把代入，得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，则， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 过点作于点，延长线交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：过点作，交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴点在直线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，可知此时的值最小，则的周长最小， ∵，， ∴， 由对称性可得，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线向上平移个单位的解析式为，点在平移后的抛物线上， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，二次函数的平移，旋转的性质，锐角三角函数，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第2页，共73页 试卷第1页，共73页 学科网（北京）股份有限公司 $