小专题培优8 线段最值问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册（陕西专用）

小专题培优8线段最值 //IiUW典例精讲UI 类型1利用“两点之间，线段最短”求最值(8年4考) 角度1单动点问题（含将军饮马） 例1如图，一次函数y=x+b(k≠0)的图象与反比例函数 y=m(m≠0)的图象交于A,B两点，点A的坐标为(-3， 4),点B的坐标为(6，n),P是x轴上的一个动点，则当 PA+PB的值最小时，点P的坐标为 例2如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中 线，E是AB边上一点，且AE=2,F是AD边上的动点，则 线段EF+CF的最小值为 例3如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于 点N,交AC于点M,P是直线MN上一动点，H为BC的中 点.若AB=13,△ABC的周长为36，则PB+PH的最小值 为 例4(2025西工大附中模拟)如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=90°，∠DAB=120°，AB=4,AD=6,BC=8,点P在 直线BC上方，△PBC的面积为6，则IDP-BPI的最大值 为 可题 园方法解读 一、线段和的最小值问题 问题：已知两定，点A,B,在直 线I上找一，点P,使PA+PB的 值最小 情形1：两定，点A,B在直线1 异侧。 作法：连接AB交直线l于点P, AB的长为PA+PB的最小值 情形2：两定点A,B在直线1 同侧（将军饮马） A B )÷ 作法：作点B关于直线1的对 称点B',连接AB'交I于点P AB'的长为PA+PB的最小值， 二、线段差的最大值问题 问题：已知两定点A,B,在直 线I上找一点P,使IPA-PBI 的值最大 情形1：两定点A,B在直线1 同侧 A· B→ AB P 作法：连接AB并延长，交直 线I于点P,此时IPA-PB|的 值最大 情形2：两定点A,B在直线1 异侧. A· A B B· B 作法：作点B关于直线1的对 称点B',连接AB'并延长，交 直线I于点P,此时IPA-PBI 的值最大 19 角度2双动点问题 例5如图，在锐角三角形ABC中，∠C=40°，点P是边AB上 的一个定点，M,N分别是AC和BC边上的动点，当△PMW 的周长最小时，求∠MPN的度数 变式如图，已知∠ACB=30°，M为∠ACB内部任意一点， 且CM=5,E,F分别是CA,CB上的动点，则△MEF的周长 的最小值为 例6如图，在边长为8的正方形ABCD中，G是BC边的中 点，E,F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长 的最小值为 20 园方法解读 情形1： 问题：点P是∠AOB内的一 定点，在OA上找一点M,在 OB上找一，点N,使得△PMN 的周长最小 M 作法：分别作点P关于OA, OB的对称点P',P”,连接 P'P"分别交OA,OB于点M, N,此时△PMN的周长最小 情形2： 问题：点P,Q是∠AOB内的 两定点，在OA上找一点M, 在OB上找一点N,使得四边 形PQWM的周长最小 作法：分别作点P,Q关于 OA,OB的对称点P',Q',连接 P'Q'分别交OA,OB于点M, N,此时四边形PQNM的周长 最小 角度3动线段问题（造桥选址） 例7如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,6),B(-2,2),在 x轴上取两点C,D(点C在点D左侧)，且始终保持CD= 1,线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的 坐标为 B O CD 例8（2025西安雁塔区校级模拟)如图，在四边形ABCD中， AD=CD=4,∠C=∠ADC=90°，点E,F在边BC上，且EF= 2.连接AE,DF,则四边形AEFD周长的最小值为 B E F 类型2利用“垂线段最短”求最值（含胡不归)(8年1考) 例9如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分 线，点E是AB上任意一点.若CD=5,则DE的最小值 为 例10如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC 上一动点（点P不与点B,C重合），PE⊥AB于点E,PF⊥ AC于点F,则EF的最小值为 B 例11如图，∠MON=45°，OP平分∠MON,点A为射线OM 上一点，OA=4,点E,F分别为射线OP,OM上的动点，连 接AE,EF,则AE+EF的最小值为 园方法解读 情形1： 问题：直线mn,在m,n上分 别找，点M,N,使MN⊥m,且 AM+MN+BN的值最小 、M m n N B A M m n NB' B 作法：将点B向上平移得到 点B',使BB'=MN,连接B'M, 当A,B',M三，点共线时，AM+ MN+BN的值最小. 情形2： 问题：在直线1上存在两，点 M,N(点M在点N左侧)且 MN=a,求AM+MN+BN的最 小值 B B'B M 作法：将，点B向左平移a个单 位长度得到点B',再作点B 关于直线1的对称，点B”,连接 B"M,当A,B",M三点共线时， AM+MN+BN的值最小. 园方法解读 情形1： 问题：已知直线1、直线1上的 动点P、直线1外的定点A.求 AP的最小值 21 例12如图，正方形ABCD的边长为6，∠DAC的平分线交 DC于点E.若P,Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ 的最小值为 B 例13如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2, BC=6,P为边AD上的一个动点，则PC+5PA的最小值 2 为 例14如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=√3，E为线段AB 上的一个动点，连接CE,求AE+CE的最小值. 22 作法：过点A作AP'⊥直线I, 则此时AP最短，最小值为 AP'的长 情形2： 问题：已知，点P是∠AOB内一 定点，在OA上找一点M,在 OB上找一点N,使得PW+MWN 的值最小 作法：作点P关于OB的对称 点P',过点P'作OA的垂线， 交OA,OB于点M,N,即当 MN⊥OA时，PN+MN的值 最小 情形3：（胡不归） 问题：已知点P是直线BC上 一动点，点A是直线BC外一 定，点，连接PA,求PA+kPB的 最小值.(0<k<1) B E 作法：(1)在直线BC异于点A 的一侧作∠CBE=a,使sina= k,过，点P作PD⊥BE于点D, 则PD=PB·sina=kPB,则求 PA+hPB的最小值，即为求PA+ PD的最小值； (2)过点A作AD'⊥BE于点 D',AD'交BC于点P',则点P 即为PA+PB取最小值时，点P 的位置. 【拓展】“阿氏圆”与“胡不归” 类似，感兴趣的同学可查阅资 料自主学习 ////1111188巩固练习I/II/// 1.如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁 离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点 A处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是 () A.13 cm B.14 cm C.15 cm D.16 cm 蚂蚁A 0 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB交AB于点D,点C是半径OB上一动 点.若OA=1,则阴影部分周长的最小值为 () 45+君 B.2 3 c.25+8 D.22+ 3.(2025西安碑林区校级二模)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=6,∠BAC=90°，点D 是△ABC内一点，连接BD,且BD=AB,E是BD的中点，连接AE,CD,则AE+CD的最小值 为 4.如图，正方形ABCD的边长为8，点E在正方形ABCD内，△ABE是等边三角形，在对角线 AC上有一动点P,则PD+PE的最小值为 B B P C 第4题图 第5题图 5.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC 边上的动点，则△DPQ周长的最小值为 6.（2025龙东地区)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7,BC=9,点M是△ABC内部一点， 连接AM,BM,CM.若CM=3,则AM+。BM的最小值为 3 M B 第6题图 第7题图 7.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,∠BCD=15°，P为CD上的动点，则 IPA-PBI的最大值为 23BP 1 GA 六D3心B3 ·G为AD的中点，AD=AB=6,∴.AG=3, ∴.HB=1,.AH=5,.GH=√AG+A㎡=√34 2.解：(1)BF与AE相等.理由如下： .·四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠D=90°. ∴∠BAE+∠DAE=90°. .'BF⊥AE,∴.∠BAE+∠ABF=90°， ∴.∠ABF=∠DAE,∴.△ABF≌△DAE(ASA),∴.BF=AE. 22(39 小专题培优8线段最值问题 例1(3,0)【解析】根据题意，当A,P,B三点共线时， PA+PB的值最小，则点P为直线AB与x轴的交点.将 4(-3,4)代人y=m,得m=-3×4=-12,则反比例函数的 解折试为y=是将B以6代入y=,得a=长 =-2 6 则B(6,-2).将A(-3,4),B(6,-2)分别代入y=+b, 得{3+64解得 3’.一次函数的解析式为y= (6k+b=-2, b=2, +2令y=0,得x=3,则点P的坐标为(3,0). 2 例225 例312【解析】如解图，连接AP,AH..:AB=AC=13, △ABC的周长为36，BC=36-2×13=10.H是BC的 中点B阳=号BC=5:△ABC是等服三角形，M上 BC,.AH=√AB-B=√32-5=12.：MN是线段 AB的垂直平分线，.点B关于直线MN的对称点为点 A,.AP=PB,∴.PB+PH=AP+PH≥AH,∴.AH的长为PB+ PH的最小值，.PB+PH的最小值为12. A D B 例3题解图 例4题解图 例4√码【解析】如解图，过点P作PH⊥BC于点H. Sam=8CPH=6,BC=8H=子过点P作直 线l∥BC,作点B关于直线I的对称点B.:∠ABC= 90°，点B'在AB上，且BB'=2PH=3,PB'=PB,.IDP- BPI=IDP-PB'I.连接DB并延长，交直线I于点P',则 当点P与点P'重合时，IDP-BPI的值最大，最大值为线 段DB的长.过点D作DK⊥BA的延长线于点K 24 ∠DAB=120°，4D=6,∠DAK=60°，AK=2AD=3, DK=AD=35AB=4.BB=3.AB=1..RK- 2 AB'+AK=4,.DB=√B'K+D=√4+(33)2=√3， ∴.IDP-BPI的最大值为√J43. 例5解：如解图，分别作点P关于BC,AC的对称点E,D, 连接PE,PD,分别交BC,AC于点G,H,连接DE,交AC 于点M,交BC于点N,此时△PMN的周长最小，且 ∠PHM=∠PGN=90°. .∴∠DPE=360°-∠PM-∠PGN-∠C=140°， ∴.∠D+∠E=180°-∠DPE=40°. .·PM=DM.NP=NE, .∠MPD=∠D,∠NPE=∠E, .∴.∠MPD+∠NPE=∠D+∠E=40°， ∠MPN=∠DPE-(∠MPD+∠NPE)=140°- 40°=100°. D.H M GB 例5题解图 变式题解图 【变式】5【解析】如解图，分别作点M关于CA,CB的 对称点P,Q,连接PQ,分别交CA,CB于点E,F,连接 CP,CQ,MP,MQ,此时，△MEF的周长有最小值，且为 PQ的长.：点M关于CA的对称点为P,.ME=PE, CM=CP,∠PCA=∠MCA.:点M关于CB的对称点为 Q,∴.MF=QF,CM=CQ,∠QCB=∠MCB,∴.CP=CQ=CM= 5,∠PCQ=∠PCE+∠MCE+∠QCF+∠MCF=2∠ACB= 60°，△PCQ是等边三角形，.PQ=CP=CQ=5, 即△MEF的周长的最小值为5. 例624【解析】如解图，作点G关于CD的对称点G',作 点B关于AD的对称点B',连接B'G',B'E,FG',则BE= B'E.FG=FG',..BE+EF+FG+BG=B'E+EF+FG'+BG. :B'E+EF+FG'≥B'G',.当B'E+EF+FG=B'G'时，四边 形BEFG的周长取得最小值，最小值为BG+B'G'.BG -CG-CG4.AP-AR-8..B-AR+AP-1. BG'=BC+CG'=12,..B'G'BG+BB'=20,..BG+ B'G'=24,即四边形BEFG周长的最小值为24. B' 例7(-1,0)【解析】如解图，把A(3,6)向左平移1个单 位长度得到A'(2,6),作点B关于x轴的对称点B',连接 B'A'交x轴于点C,在x轴上取点D(点C在点D左侧)， 使CD=1,连接AD,则此时AD+BC的值最小B(-2,2), ∴.B'(-2,-2).设直线B'A'的解析式为y=x+b(k≠0)，将 ,B的坐标分别代入.得{246=6，解得2 (-2k+b=-2, 2,直 线B'A的解析式为y=2+2当y=0时，x=-1,.C(-1,0). B 0(D) B' D 例7题解图 例8题解图 例82√7+6【解析】如解图，取AD的中点A1,作点D 关于直线BC的对称点D1,连接A,D,交BC于点F,在边 BC上，点F左侧截取EF=2,连接AE,DF,则此时四边形 AEFD的周长最小，DF=FD1,由条件可知AD∥BC,AA,= EF=2,∴.四边形AEFA,为平行四边形，.AE=A,F,.四 边形AEFD的周长为AE+EF+DF+AD=A,F+2+DF+4=6+ A,F+D,F=6+A,D1.在Rt△4，DD,中，A,D,=√AD+DD= √2+(4+4)2=2√17，.四边形AEFD周长的最小值为 2√17+6. 例95 例1024 【解析】如解图，连接AP.在△ABC中，AB=6, AC=8,BC=10,.BC2=AB+AC2,△ABC为直角三角 形，且∠BAC=90°.PE⊥AB,PF⊥AC,∠AEP= ∠AFP=90°，.四边形PEAF是矩形，·.AP=EF,.当AP 最短时，EF也最短.当AP⊥BC时，AP最短，此时AP= BC 了，BF的最小值为24 AB·AC24 1 H -M B 0 F A 例10题解图 例11题解图 例1122【解析】如解图，在0N上截取0G=0F,连接 EG,过点A作AH⊥ON于点H.:OG=OF,∠EOG= ∠EOF,OE=OE,∴.△OEG≌△OEF(SAS),∴.EG=EF, ∴.AE+EF=AE+EG≥AH..∠M0N=45°，OA=4,.AH= 之04=22-AE+EF的最小值为22 例123√2【解析】如解图，作点D关于直线AE的对称点 D',连接D'Q,则D'Q=DQ,AD'=AD=6.过点D'作D'K⊥ AD于点K,则DQ+PQ=D'Q+PQ≥D'KAE为LDAC 的平分线，.点D'在AC上.又·四边形ABCD是正方 形.∠DK=45DK=号1D=35,即D0+p0的 最小值为3√2 P D B B4 例12题解图 例13题解图 例133√3【解析】如解图，过点P作PQ⊥AB,交BA的延 长线于点Q,过点C作CQ'⊥BQ于点Q.:四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC,.∠QAP=∠ABC=60°， P0=PA·sim60°- 2P1,PC+3 PA=PC+PQ,当 GP,Q三点共线，且CQ上AB时，PC+PA取得最小 值，最小值为C0'的长..∠ABC=60°，BC=6,.C0'= BC·sin60°=3B,PC+PA的最小值为33 例14解：如解图，连接AC,在AB的下方作∠MAB=30°，过 点E作ET⊥AM于点T,过点C作CH⊥AM于点H. 四边形ABCD是矩形，.∠B=90°， tan∠CAB=CBV3 D AB 3 .∠CAB=30°，.AC=2BC=25. .·ET⊥AM,∠EAT=30°， A T .∠CAH=60°，∠CHA=90°，AC=2W3 CH=AC·sin60°=25x =3 2 AE+CE=ET+CB≥CH,)AB+ 1 六2AE+CE的最小值为3. 1.A 2.A【解析】如解图，作点D关于OB 的对称点D',连接AD',CD',OD DD',则CD=CD',OD=OD',∠DOB= ∠BOD',∴.AC+CD=AC+CD'≥AD' .当A,C,D'三点共线时，AC+CD取 得最小值，即阴影部分的周长最小， 最小值为AD的长与AD长的和. D .OD平分∠AOB,∠AOB=60°，∴.∠AOD=∠DOB= 2∠40B=30°，∠B0D=30,∠A0D=909.0A= 1 0D'=1,AD'=V0m+0D=2,D的长为30mX1 180 石阴影部分周长的最小值为厄+ 61 25 3.3√5【解析】如解图，取AB的中 点H,连接DH,CH.AB=BD,H 是AB的中点，E是BD的中点， ∴.AH=BH=BE=DE=3.又.·AB=BD,∠ABE=∠DBH. ∴.△ABE≌△DBH(SAS),.AE=DH,.AE+CD=DH+ CD,∴.当D,H,C三点共线时，DH+CD有最小值，即AE+ CD的最小值为CH的长..·CH=√AC+A=√36+9= 3√5，∴.AE+CD的最小值为3√5 4.8 5.3【解析】如解图，分别作点D关于BC,AC的对称点 D',D”,分别交BC,AC于点E,F,连接D'D"分别交BC,AC 于点P,Q,则DQ=DQ,DP=D'P,.△DPQ的周长为 PQ+DQ+DP=PQ+D"Q+D'P,∴.D'D"的长即为△DPQ周 长的最小值.△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=60° .·∠BED=∠AFD=90°，∴.∠1=∠2=90°-60°=30°， ∴.∠D'DD”=180°-∠1-∠2=120°..D为AB的中点， 六M0=分B=-14P=40=子，F=0·m0= 2 .DD=2DF=√3.同理，DD'=√3，DD”=DD',.∠D'= ∠D"=30°，.DD'=2DD·cos30°=3，.△DPQ周长的 最小值为3. D 2 B E D' CG 第5题解图 第6题解图 6.5√2【解析】如解图，在BC上取点G,使CG=1,连接 4G,MG.BC=9,CM=3,÷ CG MC 1 CM BC 3 .又：∠MCG= MG CG 1 LBCM.△MCG∽△BCM...BMC3MG=3BM. AM+亏BM=AM+MG≥AG.在Rt△ACG中，AG= VAC+CC=VT+T=5EAM+3BM≥52，即当M 在AG上时，AM+了BM的最小值为5万. 7.4【解析】如解图，作点B关于直线CD的对称点E,连 接AE并延长，交CD于点F,连接CE,PE.由轴对称的性 质可知PB=PE,BC=CE,∠PCE=∠BCD=15°，∴.IPA PBI=IPA-PEI≤AE,即当P,E,A三点共线，且点P在 AE上时，IPA-PBI取得最大值，最大值为AE的长 :△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,∴.∠ACB=90° CE=BC=AC=4,.∠ACE=∠ACB-(∠BCD+∠PCE)= 26 60°，.△ACE是等边三角形，.AE=AC=4,即1PA-PB1 的最大值为4 小专题培优9几何图形中的面积问题 例1解：如解图，线段AP即为所求」 、 例2解：如解图，连接BD,取AC的中点A, F,作FEBD交BC于点E,DE即为所D 求.连接BF,DE交于点O. AF=FC,SArB=S△BrC BD∥EF,∴.S△Be=S△Be, .SADFO=S△B0E, .S△RCD=S四边形BED, .DE平分△ABC的面积 .AC=8.AD=2...AF=CF=4...DF=2. EF//BDCDCB' CF CE 66cB=4, 4CE .DB=√CD+CE=√6+4=2√3. 例3如解图，连接AB,过点O作OF∥AB,交CA的延长线 于点F,连接BF,交OA于点G. OFAB,.S△Br=S△AoF, .S△0Bc+S△oer=S△Are+S△oGr, S△oBc=S△AGS回边形0AB=S△BCr 取CF的中点P,作直线BP,直线 BP即为所求， A(4,0),B(0,4),C(6,6), ∴.线段AB所在直线的表达式为y=-x+4, 线段AC所在直线的表达式为y=3x-12, .直线OF的表达式为y=-x, 联立解得= (y=3x-12, =3,F(3,-3) （y=-3. :点P是CF的中点，P2,2), 93 设直线BP的表达式为y=mx+4, 39 2=2n+4,5.m=-9, 六直线BP的表达式为)=- 9+4