河北省沧县中学、青龙满族自治县实验中学等校2025-2026学年高三下学期4月期中考试数学试题

绝密★启用前 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合P={xl-2<x≤4}，Q={x3x-7≥8-2x},则P∩Q= A.(-1,4] B.{3,4} C.[3,4] D.0 2.若i为虚数单位，i(1+z)=1,则z-z= A.-2i B.-i C.i D.2i 3.已知实数a,6满足a>b,且。>，则 a A.ab>0 B.a+b>0 C.a+b<0 D.ab<0 rx2-2x-1,x≤0 4.已知函数f(x)= 若方程(x)=k只有一个实数解，则飞的取值范围为 le-1,x>0 A.[-1,0] B.(-1,0] C.[-1,0) D.(-1,0) 5.已知事作A,B相互独立，且P(AB)=石，P(AB)=号，则P(AB)= B. 3 C.7 n号 6.设命题p:Hx∈Rf(x2+1)+f(-x2-1)=0,命题qf(x)为定义在R上的奇函数，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件 【数学第1页（共4页）】 7.一个底面半径为6cm的圆柱形水槽中装有一半量的水，现放入一个木球后，水面上升2cm且无 溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为( ）cm. A.22 B.23 C.32 D.35 8.直角△ABC斜边AB=3,LA=石，动点P满足P=21P它，则应·A花的最大值为 A.6+45 B.9+33 C.12+43 D.16+83 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给， 生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局. 下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则 40 120 331294223829294749390 3 2522.5 22.0 23.222.0225232224 23.3 23.3 22.7 -10 20 -20 -30 10 5 -40 0 -50 2025年5月6月7月8月9月10月11月12月2026年 4月 1月 四画日均产量万吨 +增速) A.十种金属增速数据的众数是2.9 B.十种金属增速数据的平均数是3.57 C.十种金属日均产量数据的极差是-1.3 D.十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 10已知数列1a,满足6受且6，=2，则 A.YnEN",anan+2=an+1an+3 B.3nEN',an +an+1=anan+1 C.a1+a2+a3+…+a2026=-588 D.a1a2a3a20m6=2 11.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C,D1中，点E为BC的中点，P为侧面BCC,B1内一动点（含边 界)，且满足DP∥面A,DE,则下面正确的是 A.点P的轨迹长度为√5 B.三楼维D,-A,DP的体积为号 C.直线DP与平面ADD,A1所成角的正切值最大是2 D.存在点P使平面DBP⊥平面ADE 【数学第2页（共4页）】 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x+1)”的展开式中x2的系数为15，则n= 3.双曲线C:等-为=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为E,E,点P是双曲线C右支上一点，若 PF·PP=0,且LPF,E,=,则该双曲线的离心率是 14.方程x+y+名=30的正整数解(x,y,z)的个数为 ·在所有正整数解中随机取一个，则取 到的解恰好满足x≤y≤z的概率为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分)已知向量a=(2sinx,cosx-sinx),b=(cosx,cosx+sinx),f(x)=a·b. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程； (2)在△ABC中，角A为锐角且f(A)=1,BC=√2，求△ABC面积的最大值. 16.(本题满分15分)学校餐厅每天中午都会提供A、B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经 统计分析发现：学生第一天选择A类套餐的概率为子、选择B类套餐的概率为}而前一天选 择了A类套餐第二天选择A类套餐的概率为子、选择B套餐的概率为子；前一天选择B类套餐 第二天选择A类套餐的概率为)、选择B类套餐的概率也是)，如此往复，记某同学第n天选 择A类套餐的概率为Pn (1)证明：数列P。-号}是等比数列，并求数列P.的通项公式： (2)记高三某宿舍的3名同学在开学第二天选择A类套餐的人数为X,求X的概率分布列及数 学期望， 【数学第3页（共4页）】 17.（本题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面 PAD⊥平面ABCD,F是CD的中点. (1)证明：BD⊥PF; (2)若∠BAD=60°，求平面PBF与平面PBD夹角的余弦值. 18.(本题满分17分)已知函数f(x)=e-a(x+1),a∈R (1)当a=1时，求曲线y=f代x)在x=0处的切线方程； (2)当a=2时，若存在正数使f(xo)+1=0,比较x0+nx,的值与1的大小关系； (3)若不等式f(x)+x≥lna+ln(x+1)恒成立，求实数a的取值范围. 19.(本题满分17分)平面直角坐标系x0y中，动点Q(x,y)与定点F(1,0)的距离和Q到定直线： x=4的距离的比是常数)，记点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)已为知过形+长 2+2=1外一点(x。y。)写椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为2+2=L. a2+ 现过曲线E外一点P(xo,yo)作曲线E的切线，切点分别为A,B. (i)证明：直线PF平分∠AFB; (ⅱ)直线PF与直线AB交于点M,过点M作直线l的垂线，垂足为N,直线AN,BW的斜率分 别为k1,2,探究，+2是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值请说明理由， 【数学第4页（共4页）】数学参考答案与解析 1.C2.A 3.D 【命题说明】改编人教A版必修一第57页第2题 4.A 【命题说明】改编人教A版必修一第160页第4题 5.C【解析】：事件A,B相互独立，P(AB)=P(A)P(B)=石，：事件A与B地相互独立， 1 P1团=4)P到=川01-)=号两式相隆可得-行解得P代助=号 3 1 )=4P心=亏释P0=分P团=分P)=-至分战造：C 3 6.B7.D 8B【解析1法一】如图直角△BC斜边AB=3,∠A=名，可得AC=3 延长AB到，点O,使B0=1,由题意|PA|=21PB1知动，点P的轨迹为以0为 圆心，2为半径的圆.过点P作直线AC的垂线，垂足为D.则得AP·AC= IAP1·IAC1cOs∠PAC=IACI·IAD1.所以当直线PD与圆O相切时， A.AC最大，最大值为9+35.故选B. 【法二]如图直角Ac斜边=3,24=晋可得4C=3源延长B到 点O,使B0=1,由题意1PA1=21PB1知动，点P的轨迹为以0为圆心，2 为半径的司建立如国主标系，心-(？，3}设P2s0,2血9)得证 B O (2w0+4,2n9),亦.花-号cs0+9+35i 2sin9=35sin(0+p）+9, ap=5,则当0+9=受时，市.花的最大值为9+35.故选B 9.ABD 10ABC【解折】由题意，可知4=2.=了4，=号，=-3，%=2，=行，可知该教到的月期为4，可得 aa=a4g-1,故A正确取ta=名：0=一石，所以3meN,a.+a1=01放B正痛 ++a+a4=-,则41+a2+4,+…+a6=506(a,+山，+a+a4)+a,+a2,4,+a2+a,+…+ 506x看)+写=-58放C正境aa,=1,404a=44:=号故D错误故选ABC 【数学答案第1页（共6页）】 11.BD【解析】分别取棱B,C1,C,C,B,B的中，点M,N,F,知平面A,DE与面BBC,C 的交线为EF,又D,M∥DE,DM4面A,DE,DEC面ADE,.DM∥面ADE, .B MN∥EF,同理得MN∥面A,DE,又D,M∩MN=M,所以平面D,MN∥平面ADE, 由题意D,P∥面A,DE,知，点P在BCC,B,的轨迹为线段MN,且MN=√2，故A错 误，B正确.直线DP与平面ADD,A1所成角即直线DP与平面BB,C,C所成角， 在Rt△D,C,P中，D,C,=2,所以C,P距离最小时直线DP与平面ADDA,所成角的正切值最大是22，故C 错误.当点P是线段MN的中点时，可证明D,P⊥MN,BP⊥MN,所以MN⊥平面D,BP,又MNCD MN,所以 平面DMN⊥平面DBP,又平面DMN∥平面ADE,所以平面DBP⊥平面ADE,故D正确.故选BD. 12.6【解析JC=15,即n)1=15,n=6,故填6. 2 13.√2+2【解析【法-】设F,(-c,0),F2(c,0),0(0,0),则a2+2=c2, =1 2=c2 由P听·PF=0,知点P是周2+y2=心的一点，联立存 ,解得 x2+y2=c2 y2=2 =w=ce ,得2」 又国为LKB=骨所以∠P0F,=平，则吟=C-, 则2(c2-a2)=c2(2-1)c2=反a2,得二=2+巨，所以离心率为=2+2 【法=】设PF=,P=,由∠PF,R=受可得∠PF,f=S 所以m∠PF,R2=sm8∠PF=克=咖要 8 两式相减得=如-血名 T 82元=c0s 8, 吉=(m君-m君)=1-m号2≥2 2 e2=2+2→e=√/2+2 14.406 G(解析】提示：首免易知+y+:=30的正整斑解的个養为C=406 把x+y+z=30满足x≤y≤z的整数解分为三类： ①x,y,z均相等的整数解的个数显然为1个，是(10,10,10)； ②x,y,z中有且仅有2个相等的正整数解的个数为13个，分别为(1,1,28)，(2,2,26)，(3,3,24)，(4,4， 22),(5,5,20),(6,6,18),(7,7,16),(8,8,14),(9,9,12),(2,14,14),(4,13,13),(6,12,12),(8,11,11); ③设x,y,z两两均不相等的正整数解为k,易知1+3×13+6=406，所以6k=406-40=366,即k=61.从而 满足x≤y≤z的正整数解的个数为1+13+61=75.所以在所有正整数解中随机取一个，则取到的解恰为满 足≤≤：的解份抚丰为 15.解：(1)依题意，(x)=2 cos xsin x+cos2x-sinx=sin2x+cos2x, 即/x)=2sin2x+平） (2分) 【数学答案第2页（共6页）】 令2x+平=受+km,keZ,即元=得+经，ke乙. 82 所以函数y=(x)的对称轴方程为x=及+俨，keZ. 8+2 (5分) (2)由1)及fA)=1得：2sim2A+妥）=1， 即m21+引=. 由0<A<受，则平<2A+开<平 441 因此24+平-平则4= 4,… (8分) 得A城-号又4=a 2bc b2+c2-2=√2bc=b2+c2=2bc+2,.… (10分) 因为b2+c2≥2bc,则V2bc+2≥2bc=bc≤2+2， 当且仅当b=c=√2+2时，等号成立.…(12分) 此时△BC面积最大值为S=c·sinA?×(2+2)x号=1+2 2 …（13分) 16解：)依题意，P=P.×+(1-P)×宁 1 则P1上三4Pt2 (3分) P号=号引≥1eN. (4分) 当n=1时，可得P,- 24 5=15 (5分) 数列P.-号}是首项为，公比为-4的等比数列. (7分) （2)[法-】装同学第二天选择4类套餐的将率R,=号×}+写×宁-宁： 第二天选释归类套餐的藏率：-号×2+日×了-子、 (9分) 【法=】由(1)知菜同学第2天选择4类套餐的概率A=号-治·(~产-了 第二天选择B类套餐的概率1-P,=弓，… 2 (9分) 记3名同学在开学第二天有X个人选择A套餐， X的所有可能取值为0、1、2、3， 有X=)=C(号（号(=0,12,3），… (10分) ∴.X的分布列为 【数学答案第3页（共6页）】 X 0 2 3 4 D 8 27 27 (13分) 故B(X0=0×员+1×号+2x号+3×7=l 4 2 (15分) 17.解：(1)设AD的中点为E,又F是CD的中点 连接AC,则在△ADC中，有EF∥AC, 又因为在菱形ABCD中有AC⊥BD,所以BD⊥EF;…(2分) 因为△PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE⊥AD; 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PEC平面PAD, 所以PE⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,所以PE⊥BD; ………………… (4分)》 因为PE∩EF=E,PE,EFC平面PEF,所以BDL平面PEF, 又PFC平面PEF,所以BD⊥PF.… (6分) (2)连接BE,因为∠BAD=60°，所以△ADB为等边三角形，所以BE⊥AD; 由(1)知，PE⊥平面ABCD,故以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设AD=2a, 则0,0，Ba),B0.5a.0,c(-2a,a.0),-a0.0),f-0 则而=(-a.0,-5a),m=(05a,-a).m=(3,-50小 …(8分）》 设面PBF的一个法向量为n=(x,y,z), PB·n=0 ,「y-z=0 ’l-5x+y-2z=0 可取n=(1,-√5，-5)；… (10分) 设面PBD的一个法向量为m=(x1,y1,a), rP2·m=0-a=0 则 p元m=0'x+5=0 可取m=(-√5,1,1)； …（12分) 因为n,m-35:35 35 所以平面PBF与平面PBD夹角的余弦值为305 35 (15分) 18.解：(1)当a=1时，f(x）)=e-x-1,则f'(x)=e-1,…(1分) f'(0)=e°-1=0，又f0)=e°-0-1=0， 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=0. (3分) (2)当a=2时f(x)=e-2x-2, 设h(x)=e-2x-1,则h'(x)=e-2, h'(x)=0得x=ln2,又h'(x)=e-2单调递增， 所以当x∈(-o,ln2)时，h'(x)<0,函数h(x)=e-2x-1在区间(-∞，ln2)单调递减， 【数学答案第4页（共6页）】 当x∈(ln2,+o)时，h'(x)>0,函数h(x)=e-2x-1在区间(ln2,+∞)单调递增，…（6分) 又h(0)=0,h(1n2）<0,h(1)=e-3<0,h(2)=e2-5>0, 因为f(xo)+1=0,h(xo)=0,故1<xo<2. 设F(x)=x+lnx,F'(x)=1+1>0,… (8分) 故F(x)=x+lnx单调递增， 则F(xo)=x。+lnxo>F(1)=1, 得x0+lx0>1.…（10分） (3)【法一】若不等式f(x)+x>lna+ln(x+1)恒成立，知a>0,x>-1. 且e-a(x+1)+x≥ln(a+a)恒成立， 即e+x≥ln(a+a)+a(x+1)→lne+e≥ln(a+a）+a(x+1),…(12分) 设g()=x+l,得g()=1+子>0， 故函数g(x)=x+lnx在(0，+o)单调递增， 所以由e+lne≥ln(ax+a)+a(x+1),得e≥a(x+1)恒成立， 又>0，x>-1,即0≤▣成立，…13分】 设F()本得F()= (x+1)2) 又F(0)=0, 所以当x∈(-1,0)时，F'(x)<0,函数F(x)=。在区间(-1,0)单调递减， x+1 当x∈(0，+)时，()>0.函数F()=在区间(0，+)单调递增，…（(5分) 故函数()=千的最小值为P(0)=, 所以a≤1. 综上若不等式f(x)+x≥lna+n(x+1)恒成立，实数a的取值范围为(0,1].…（17分) 【法二】若不等式f(x)+x≥lna+ln(x+1)恒成立，知a>0,x>-1. 且e-a(x+1)+x≥ln(ax+a)恒成立， 即e2+x≥n(ax+a)+a(x+1)→e2+x≥em+)+ln(ax+a),…(12分) 设g(x)=e+x,得g'(x)=e+1>0, 故函数g(x)=e+x单调递增， 所以由e+x≥ex+》+ln(a+a),得x≥n[a(x+1)门恒成立， 即x≥lna+ln(x+1),得lna≤x-ln(x+1),…（l3分) 设G(x)=x-ln(x+1), 得6的=1+ 又G(0)=0, 所以当xe(-1,0)时，G'(x)<0,函数G(x)=x-ln(x+1)在区间(-1,0)单调递减， 当x∈(0，+0)时，G'(x)>0,函数G(x)=x-ln(x+1)在区间(0，+o)单调递增，…(15分) 故函数G(x)=x-ln(x+1)的最小值为G(0)=0, 所以lna≤0→a≤1. 综上若不等式f(x)+x≥lna+n(x+1)恒成立，实数a的取值范围为(0,1].…（17分) 【数学答案第5页（共6页）】 19解（)依题意得=-即44〔-户=-4 整理得3+4=12，即+兮=l1.…（3分） (2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则由感意直线的方程为学+号=1 则4+1，华+=1 …(5分) 3 整理得o1=334w=33 3x0x1 4 则由题意知4(x,)到定点F(1,0)的距离和A到定直线1：x=4的距离的比是常数宁 故安M-2-音同理12-受 又cos∠AFP= Fi.下序(x-1,少)·(0-1o）1-=。+1+y0…(7分) IFA·IFp1 (22)x命 (2-×币 将0=33代人上式。 4 x0-x-x0+4 得cos∠AFP= 4 x0-4x1-4,+16_（x1-4)(x。-4) …(9分) 2-2)×m42-)×前42-2)xò 同理，cos∠BFP=（5-4)(x,-4) …（10分) 42-2)× 欲证直线PF平分∠AFB,可证-4)(x-4)-,-4)(0-4) 42-2)×前42-)×ò 即说 —,显然成立.所以直线PF平分∠AFB成立. …（12分) (iⅱ)由(1)知PF平分∠AFB,由题意， 设M(xM,yM),得N(4,yw）, 则AF=1AM1 2-空4-5 IBFI-IBMT (13分) 294-9 得"1=4-，整理得(y-)(4-)+(w-)(4-x)=0, y2-yv 4-x 又4兴器 _Yu-y2 …(15分) 所以+64+440. (4-x1)(4-x2) 则k1十为定值0.…(I门分) 【数学答案第6页（共6页）】