精品解析：河北枣强中学2025-2026学年高三下学期4月期中数学试题

高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查集合的交集运算，分别解不等式求出集合和集合，再根据交集定义求出即可. 【详解】由，则，所以，又，因此集合. 由，则，所以，因此集合. 所以. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则, 由得，即， 解得， 所以，因此. 3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线求解即可. 【详解】由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 4. 若5个数依次成等差数列，前三项的和为，后三项的和为9，则这5个数的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设题目中的5个数，结合等差数列的性质求出，再利用，即可求得答案. 【详解】由题意知5个数依次成等差数列，设为， 则，且， 故， 则这5个数的和为. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可得，切化弦可得，继而化简，即可求得答案. 【详解】设，则， 由，得， 即，则， 故. 6. 设是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】已知是定义在上的偶函数，故； 又，代入得， 因此，即是周期为的周期函数， 当时，， 因此：， ， 已知，代入得：， 利用对数运算化简： ， 可得：，整理得，解得或， 由对数真数要求对成立，故，舍去， 所以. 7. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件， “第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件， 则， 所以. 8. 在三棱锥中，平面，，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原几何体可补全为长方体，长方体体积最大则三棱锥体积最大. 【详解】如图，由平面，平面,则， 又，平面，故平面， 从而、、两两互相垂直，从而三棱锥可补全为如图所示的长方体， 设，，，则, ， 由均值不等式（当且仅当时等号成立） 从而，, 即三棱锥的体积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴恰有2个交点 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，求导可得，令可得，所以，即A正确； 对于B，由A可得，则， 所以切线方程为，即，可得B正确； 对于C，易知函数的定义域为，又， 令，可得， 所以当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误； 对于D，由C中分析可知， 即对于任意,恒成立，因此D错误. 10. 如图，在四边形中，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的取值范围是 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】建系，确定各点坐标，结合向量数量积的坐标表示，及两点间距离公式逐项判断即可. 【详解】 由题意如图建系，可得， 过点作轴，垂足为， 因为，则， 又，所以， 又，， 所以直角直角，即， 则 选项A，当 时，，则 ​，A正确； 选项B，当  时，， 则 ，， 故 ，B错误； 选项C，，， 则： ， 因为，由二次函数单调性可得 ， C错误； 选项D，， 则： ， 时，二次函数对称轴为， 由单调性可知， 即的取值范围是 ，D正确. 11. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．过点的直线交抛物线于两点，设点为坐标原点，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则（ ） A. B. 若为定值，则 C. 若，则的最大值为6 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质可判断A；设，，直线方程为，联立方程，利用弦长公式求出，由题意得到，求解即可判断B；根据求得，代入弦长公式得到，即可判断C；利用向量的数量积公式得到，从而得到，即可判断D. 【详解】焦点到其准线的距离为，故A正确； 设，， 易知直线斜率不为，设直线方程为， 联立，得， 所以，， 所以 ， 若为定值，则，解得，故B错误； ， 线段的中点到抛物线的准线的距离， 则，又，所以， ， 将代入得， ， 所以当时，取得最大值，最大值为，故C正确； ，，，， 因为， 所以， 即， 又，， 所以，则， ，则， 则， 所以 ， 令，， 则， 由得，则， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若为的图象的一条对称轴，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数性质可得，计算即可得解. 【详解】，其中为辅助角， 由为的图象的一条对称轴，则为最大或最小值， 即，即， 整理得，即. 13. 已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 【答案】0或. 【解析】 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由圆知，，半径. 由圆截直线所得两段弧长之比为知，两段弧所对的圆心角为和， 根据圆的弦长相关性质可知，圆心到直线的距离. 根据点到直线的距离公式知，，所以， 平方整理得，即，解得或. 14. 黑箱中有6个质地大小相同的小球，分别编号为1，2，3，4，5，6，每次从中无放回地取一个球，然后记录编号，若编号三对中的其中一对出现，则停止取球，设此时取球次数为随机变量，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求的可能取值，再求对应的概率，利用数学期望公式即可求解. 【详解】根据题意有：的可能取值为， 又，， ， 所以. 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为． （1）求的分布列、数学期望与方差； （2）求的值． 【答案】（1）分布列见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据二项分布即可求解； （2）根据分布列先求，进而求解. 【小问1详解】 由题意得：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，则， 所以， ，， 所以的分布列为： 所以； 【小问2详解】 由（1）有：， 所以. 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用得到，进而可知是以为首项，为公比的等比数列，求出从而求出答案； （2）利用分组求和法求出，从而得到，利用放缩法即可证明. 【小问1详解】 当时，由得， 所以，即， 当时，，所以，所以，故， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 【小问2详解】 ， 所以， 当时，，不等式成立， 当时， ， 综上. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，． （1）求证：平面； （2）设，点为棱的中点，若二面角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理可得平面，再利用线面垂直性质定理及判定定理可得平面，则可得，再由菱形性质可得，即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 取中点，连接，由底面为菱形，， 则为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面， 平面，故平面， 由平面，则， 又，，、平面， 故平面，又平面，故， 由底面为菱形，则， 由，、平面， 故平面； 【小问2详解】 令，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设为单位长度，即，则，，则， 则，，，，， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 令，，则，，，， 即、， 设二面角的平面角为， 则， 即有， 整理得，则（负值舍去）. 18. 已知椭圆的上顶点为，离心率为，圆，点到圆上一点的距离的最大值为3． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为坐标原点，过点且与圆相交的直线交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程； （3）若点在椭圆上，过点作圆的两条切线分别交轴于、两点．是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）; （2）或; （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）点到圆上一点的距离的最大值为3，求出，再根据离心率求即可； （2）根据的面积及点在椭圆上求出点的坐标，再根据直线与圆相交取舍即可； （3）设出的表达式，表示的长度，利用与圆相切，建立的斜率关系式，利用根与系数关系求解即可. 【小问1详解】 由题意，圆的圆心，半径， 由点到圆上一点的距离的最大值为3，即，从而， 即，解得，又，即， 又，即，解得，， 从而椭圆的标准方程； 【小问2详解】 设 由的面积，解得， 由在椭圆上，从而，得， 从而，即， 当的坐标为，，直线， 圆心到直线的距离，不合题意； 当的坐标为，，直线， 圆心到直线的距离，不合题意； 当的坐标为，，直线， 圆心到直线的距离，符合题意； 当的坐标为，，直线， 圆心到直线的距离，符合题意； 综上所述，直线的方程为：或 【小问3详解】 设， 当,有一条斜率不存在时，为椭圆上下顶点或左顶点， 若为椭圆左顶点，过点作圆的切线只有一条且与轴平行，不合题意； 若为椭圆上下顶点，过点作圆的切线有一条且与轴重合，不合题意； 故,的斜率均存在，分别设为， 则直线：，即，则， 同理，则. 又直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 两边平方得：， 化简整理得：， 同理可得， 从而为方程的两根， ， 此时， 则， 化简整理，又， 即得，整理得， 解得或（舍去）， 当时，，从而. 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）判断是否存在实数、，使得函数的图象关于点对称．若存在，求出满足条件的、的值，若不存在，说明理由； （3）设是函数在区间上从小到大的前两个极值点，若，求的值． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据导数的几何意义求解即可； （2）利用对称性结合赋值法可求，就的奇偶性分类讨论后可得； （3）求导，分析可得，，且，，再结合求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 假设存在实数，使得的图象关于点对称， 则， 即， 则， 取，则， 所以或. 若，则， 取，则，故，即， 则. 综上所述，总有， 因此，当时，有， 若为偶数，则对任意恒成立， 故，即； 若为奇数，则对任意恒成立， 故对任意恒成立，显然不成立. 故. 【小问3详解】 由，得， 当时，，则， 设，而时，，因此不影响后续分析， 当时，时，，时，， 所以在上存在唯一零点， 当时，，，即， 当时，，，即， 所以，且， 当时，时，，时，， 所以在上存在唯一零点， 当时，，，即， 当时，，，即， 所以，且， 由，可得， 即， 而， 则， 所以，则， 即，则， 因为函数在区间上单调递减， 所以，又，， 则或， 若，此时与不可能同时成立； 若，结合， 可得， 即，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若5个数依次成等差数列，前三项的和为，后三项的和为9，则这5个数的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面，，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恰有2个极值点 D. 的图象与轴恰有2个交点 10. 如图，在四边形中，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的取值范围是 D. 的取值范围为 11. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．过点的直线交抛物线于两点，设点为坐标原点，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则（ ） A. B. 若为定值，则 C. 若，则的最大值为6 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若为的图象的一条对称轴，则_________． 13. 已知直线，圆，若圆截直线所得两段弧长之比为，则_________． 14. 黑箱中有6个质地大小相同的小球，分别编号为1，2，3，4，5，6，每次从中无放回地取一个球，然后记录编号，若编号三对中的其中一对出现，则停止取球，设此时取球次数为随机变量，则_________． 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为． （1）求的分布列、数学期望与方差； （2）求的值． 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，． （1）求证：平面； （2）设，点为棱的中点，若二面角的正弦值为，求的值． 18. 已知椭圆的上顶点为，离心率为，圆，点到圆上一点的距离的最大值为3． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为坐标原点，过点且与圆相交的直线交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程； （3）若点在椭圆上，过点作圆的两条切线分别交轴于、两点．是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）判断是否存在实数、，使得函数的图象关于点对称．若存在，求出满足条件的、的值，若不存在，说明理由； （3）设是函数在区间上从小到大的前两个极值点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $