精品解析：福建省厦门市湖滨中学2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学

厦门市湖滨中学2025－2026学年第二学期期中考试 初二数学 考试时间：2026年4月23日 考试时长120分钟 一．选择题（本大题有10小题，每题4分，满分40分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若中，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为平面直角坐标系内一点，是轴上一点，直线的函数表达式为，当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长度为（ ） A. B. C. 5 D. 8. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( ) A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线：沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 填空：_____；_____． 12. 满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 13. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 14. 如图，数轴的原点为，点在数轴上表示的数是2，，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为______． 16. 、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在矩形中，，且交的延长线于点．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知一次函数的图象经过和． （1）求关于的函数解析式； （2）在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 21. 如图，，点在上，且满足． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若交于点，是的中点，连接，求证：． 22. 综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． （1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ （3）【问题解决】在演练中，高24的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24高的墙头去救援被困人员？ 23. 已知实数满足． （1）求证：为非负数； （2）若，且，为正整数，，求证：一定是偶数． 24. 解决问题 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点为的边上一点，连接BE，CE，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． （2）如图2，长方形中，点为边上一点，点为右侧一点，，若，求的长； （3）如图3，中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，连接，若，证明：平分． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； （3）如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市湖滨中学2025－2026学年第二学期期中考试 初二数学 考试时间：2026年4月23日 考试时长120分钟 一．选择题（本大题有10小题，每题4分，满分40分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义，二次根式的被开方数必须是非负数 ∴， 解得． 2. 若中，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可求解． 【详解】解：∵平行四边形ABCD中，∠A=38°， ∴∠C=∠A=38°， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题关键． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含平方数；②分母不含根号，即可求解． 【详解】解：选项A：，被开方数，其中是完全平方数，可化简为，即不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项B：，将化为分数，被开方数为，分母，无平方因数，但分母含根号，需有理化为，即不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项C：．被开方数，因数均为质数且无平方数，分母无根号，符合最简二次根式条件，故本选项符合题意； 选项D：．被开方数含分母，需有理化为，即不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列各曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； B．对于的每一个确定的值，可能有多个值，故不是的函数，不符合题意； C．对于的每一个确定的值，可能有两个值，故不是的函数，不符合题意； D．对于的每一个确定的值，只有一个值，故是的函数，符合题意． 5. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0， ∴y随着x的增大而增大． ∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4， ∴y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键． 6. 如图，为平面直角坐标系内一点，是轴上一点，直线的函数表达式为，当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，M是x轴上一点，得出点M一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 【详解】解：∵直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，M是x轴上一点， ∴M一定在x轴负半轴上． 7. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长度为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1， ∴AC＝， ∵AE＝BE，BF＝CF， ∴EF＝AC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，水深为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设芦苇的长度是尺，则水深为尺， 根据题意，得． 10. 如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线：沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象折线中各个点的位置，判断出与矩形顶点的关系，求出矩形的长和宽，再计算面积． 【详解】解：由图可知，当时，直线过点． 当时，直线经过点． 当时，直线经过点． 当时，直线经过点． 故当在上移动时，，， 当在上移动时，， 又∵， ， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解题的关键在于根据图中的数据求出矩形的长和宽． 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11. 填空：_____；_____． 【答案】 ①. 7 ②. 2 【解析】 【分析】利用二次根式的基本性质进行计算即可．即二次根式的性质；二次根式的性质． 【详解】解：（1）； （2） ． 12. 满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数______． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查勾股数问题．根据题意写出符合的式子即可． 【详解】解：∵， ∴勾股数可以是：6，8，10（答案不唯一）， 故答案为：6，8，10（答案不唯一）． 13. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据直线的平移的性质得出平移后的关系式，再将点代入关系式可得答案． 【详解】解：将直线向上平移m个单位长度可得关系式为， ∵直线经过点， ∴， 解得． 14. 如图，数轴的原点为，点在数轴上表示的数是2，，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数轴上表示的数等．根据题意可求得，继而可得本题答案． 【详解】解：∵点在数轴上表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时的值最小，根据勾股定理求出CD，即可得出答案． 【详解】解：如下图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时的值最小， ∵， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又∵点B的坐标为（4，4）， ∴点A的坐标为（4，0）， ∴由对称性可知D点在y轴上，且坐标为（0，4）， ∵点D的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0）， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称-最短路线问题、勾股定理等知识，解题的关键是求出P点的位置． 16. 、两地相距4000米，甲货车从地匀速开往地，乙货车在甲货车出发10分钟后，从地沿同一公路出发匀速开往地，到达地后停止，而甲继续开往地，到达地后才停止．两车之间的距离（米）与甲货车出发的时间（分钟）之间的函数关系如图中的折线所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从地到地用的时间为分钟；④当乙到达地时，甲离地的距离为米．上述说法正确的是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离． 【详解】解：由题意可得， 甲货车的速度为：（米/分钟），故①正确； 由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（米/分钟），故②错误； 乙货车从B地到A地用的时间为：（分钟），故③正确； 当乙到达A地时，甲行驶时间为分钟，此时离B地的距离为（米），故④正确； 正确的有①③④． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）4 （2）7 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，零指数幂运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在矩形中，，且交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再说明是平行四边形，可得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 20. 已知一次函数的图象经过和． （1）求关于的函数解析式； （2）在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】（1） （2）作图见解析，点不在函数图象上 【解析】 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可得出答案； （2）根据列表，描点，连线得出函数图象，再将代入关系式验证即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：列表： x 0 1 y 1 4 描点，连线如下图： 当时，， ∴点不在一次函数的图象上． 21. 如图，，点在上，且满足． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若交于点，是的中点，连接，求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，以大于之间的距离为半径画弧，交于点H，K，再以点H，K为圆心，以为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点G，则是的垂直平分线，则，即； （2）由（1）知，再根据平行线的性质得，然后根据直角三角形的性质得接下来根据三角形外角的性质得出，即可得出，最后根据等角对等边得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，点G即为所求； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵点F是的中点， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． 22. 综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． （1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ （3）【问题解决】在演练中，高24的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24高的墙头去救援被困人员？ 【答案】（1）24米 （2）8米 （3）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得答案； （2）先求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （3）先求出相对安全的距离为不小于，再根据高的墙头有求救声，云梯的长为时梯子底端离墙的距离，比较得出答案． 【小问1详解】 解：根据勾股定理，得， 所以这架云梯顶端到地面的距离为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 所以梯子的底端下滑的距离是8米； 【小问3详解】 解：能，理由如下： ∵云梯底端离墙不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于． ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴， 所以云梯的顶端能到达高的墙头救援被困人员． 23. 已知实数满足． （1）求证：为非负数； （2）若，且，为正整数，，求证：一定是偶数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意，由，从而，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，，从而，又由m为正整数，从而，故可判断得解． 【小问1详解】 证明：∵实数满足 ∴ ． ∵对于任意实数a，b都有， ∴． ∴为非负数． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴ ． 又∵m为正整数， ∴． ∴c一定是偶数． 24. 解决问题 （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点为的边上一点，连接BE，CE，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． （2）如图2，长方形中，点为边上一点，点为右侧一点，，若，求的长； （3）如图3，中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，连接，若，证明：平分． 【答案】（1）过程见解析 （2）12 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作，根据可得答案； （2）作，连接，可得四边形是矩形，即得，再根据勾股定理求出，然后求出，接下来根据勾股定理得，再设，则，进而根据可得关于x的方程，求出解可得，最后根据勾股定理得出答案； （3）连接，作，作，先由（1）可得，再根据，可得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E作于点F， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点D作于点G，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴；     【小问3详解】 解：如图所示，连接，过点A作于点M，作于点N，    由（1）知， ∴，即． ∵， ∴， ∴点A在的平分线上，即平分． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； （3）如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $