2026年中考数学一轮复习备考 二次函数综合问题（角度问题）专项练

**基本信息** 聚焦二次函数与角度综合问题，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层递进设计，强化从解析式求解到动态几何转化的知识链，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数解析式、交点坐标、角度基本计算|直接应用待定系数法，如求抛物线与坐标轴交点，夯实概念理解| |能力提升|动点问题、面积关系、角度转化|结合相似/全等转化角度，如通过构造辅助线证等角，发展推理能力| |综合拓展|动态最值、几何变换、多知识点综合|融合旋转/平移与二次函数，如抛物线上动点使特定角度成立，提升模型应用意识|

二次函数综合问题（角度问题）专项练 1．如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．点P为第一象限抛物线上的点，连接． (1)直接写出结果：________，________； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边上的动点，且，求的最小值． 2．已知，抛物线交正半轴于点（A左B右），交轴正半轴于点，连接； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限点右侧抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接交轴于点，连接，若，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于点E，作轴，交于点F，点M是y轴上一动点，点N是直线上一动点，连接，，．当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点H是新抛物线上一动点，当时，请写出所有符合条件的点H的坐标及其中一种情况的求解过程． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 5．抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，当点P位于直线上方时，求面积最大时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)为抛物线上的一点（不与点重合），设点的横坐标为，连接． ①若点在第一象限，且，求点的坐标． ②若点在的下方，求点到的最大距离，并写出点的坐标． 8．在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求b，c的值及直线的解析式； (2)如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； (3)是抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点分别作轴，轴的平行线，，交直线于点交抛物线的对称轴于点，设． ①求关于的函数解析式； ②若使成立的点恰有4个，请直接写出的取值范围． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式； (2)连接、，在直线的下方抛物线上是否存在点P，使；若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 10．已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 11．如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段长度的最大值； (3)连接，F是的中点，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为直角三角形时，求线段的长度； (3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接，． (1)求A，B两点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； (2)若，求m的值； 14．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 15．如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数综合问题（角度问题）专项练2026年中考数学一轮复习备考》参考答案 1．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，再求出点坐标，根据正切定义可求出； （2）过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E，导角证明，再设点P坐标为，根据相似三角形的性质求解即可； （3）作，且使，连接，证明得到，Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ 解得 ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴，， 在中，； （2）解：如图1，过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 设点P坐标为，则 ， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P坐标为； （3）解：如图2，作，且使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴Q，F，H共线时，的值最小，即为 作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 2．(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入解析式可得，再由，可求出点C的坐标，即可求解； （2）作轴于K，连接，根据，即可求解； （3）先证明轴，可得，设，证明，可得，作于，可得，且，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，且， ， ， ， ， ， ∴， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图：作轴于K，连接， 根据题意得：，则，， ． （3）解：，， ， ∵， ， ， 轴， ， ， ， 设， ∵ ， ， ， ， ， 如图：作于， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ，即 ， ． 3．(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，证明是等腰直角三角形，得，，可知周长，则当最大时的周长最大，设，则，得出，求出当时取得最大，此时的周长最大，此时，作点关于轴的对称点，连接，作原点关于直线的对称点，连接，，分别求出，，求长即可； （3）先求出新抛物线解析式为，设新抛物线与轴交于点R，证明，得出，当点H在轴左侧时，过点R作，交轴于点Q，过点Q作于点S，得出，，利用勾股定理求出，求出直线的解析式为， 则直线的解析式为，与新抛物线解析式联立即可求解；当点H在轴右侧时，设此时H为，利用对称性得出直线的解析式为，与新抛物线解析式联立即可求解． 【详解】（1）解：将、代入抛物线， 得方程组， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 令，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴周长， ∴当最大时的周长最大， 设， 则， ∴， ∵二次项次数，对称轴为直线， ∴当时取得最大，此时的周长最大， 此时，即， 作点关于轴的对称点，连接， 则， 则， 作原点关于直线的对称点，连接，， 则， 则， 当、、共线时，取得最小值， 连接，交于点，连接， 由对称性可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：原抛物线解析式为， 顶点坐标为， ∵将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线， ∴新抛物线的二次项系数是，顶点坐标为， ∴新抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设新抛物线与轴交于点R， 当时，， 解得，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 当点H在轴左侧时， 如图，过点R作，交轴于点Q，过点Q作于点S， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，（点H在轴左侧，故舍）， ∴； 当点H在轴右侧时，设此时H为， 由， 可知直线和直线关于y轴对称， 则直线的解析式为， 联立， 解得：，（点H在轴右侧，故舍）， ∴， 综上，满足条件的为或． 4．(1)D的坐标为， (2) 【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：，令，则或 5 ，即可求解； （2）求出直线的表达式，的表达式，得到直线的表达式，求出，进而求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， 则抛物线顶点的坐标为， 令，则或， ，， ． （2）解：由题意，得点，，，的坐标分别为，，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， 解得：，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 如图，过点作交的延长线于点，垂足为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，解得， ． ，， ∴， ∴， 是的中点， ． 点在直线上， ， 解得：（舍去）或， ． 5．(1) (2)最大值为4，此时 (3)， 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点D，求出直线的解析式为，得到，设，则，则，即可求解； （3）求出直线的表达式为，将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，得到，进一步得到，联立上式和直线的表达式得，得到点，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点Q作轴于点D，如图： 当时，，即， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4，此时； （3）解：设直线的表达式为：， 把，代入得：， 解得： ， ∴直线的表达式为：， 将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位， 则， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：或（舍去）， ∴点， 当点M在下方时，如图，此时点的位置为， ∵， ∴， 则直线的表达式为：， 联立和新抛物线的表达式得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴； 当点M在上方时，令点关于直线的对称点为，作直线交新抛物线于， 由轴对称的性质可得， ∴，即点即为所求，且点和点的中点在直线上，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立和新抛物线的表达式得， 解得：或（不符合题意，）， ∴； 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数的平移等知识，掌握相关知识是解题的关键． 6．(1) (2) (3)抛物线上存在点，点的坐标为或 【分析】（1）将点，点代入抛物线，用待定系数法求解即可； （2）作，求出的解析式，设PE的解析式为，联立得，化简，得，得，解得，得直线PE的解析式为，可得； (3）求出，得，，将绕点顺时针方向旋转，至，则，，得，求出直线的解析式为，联立二次函数解析式，解方程组可得，此时使，过作轴，过作轴，与交于点，四边形为正方形，作关于的对称点，点在上，作直线，得，，，得，与点重合，得点在抛物线上． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：作，如图所示： 设的解析式为， 将代入，得， 的解析式为， 设的解析式为 联立直线与抛物线解析式有 ∴， 化简，得， ∴， 解得， ∴直线的解析式为 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或．理由： 对，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 将绕点顺时针方向旋转，至，如图2所示： 则，， ， 由题意知直线过点，设直线的解析式为， 将，，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， 此时使， 如图2所示，过作轴，过作轴，与交于点， 则四边形为正方形， 作关于的对称点， 由对称性知，点在上， 作直线， 则直线与抛物线的交点满足条件， ，，， ，与点重合， 点在抛物线上， ． 抛物线上存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，正确构造辅助线，是解题的关键． 7．(1)； (2)①点的坐标为；②最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）根据抛物线与轴交点可直接确定的值，再结合点和对称轴，通过待定系数法列方程组求解、，从而得到抛物线的函数表达式． （2）①先由抛物线表达式求出点的坐标，结合得到，再根据推出，进而求出直线的表达式，最后联立抛物线与直线的方程，求解并舍去不合理解，得到点的坐标． ②先求出直线的表达式，设点的横坐标为，表示出、的坐标，用表示出的长度，再利用三角形面积公式和点到直线的距离公式，将点到的距离转化为关于的二次函数，通过求二次函数的最值，得到最大距离及对应点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 解得 抛物线的函数表达式为. （2）解：①如图1，设与轴交于点． 抛物线与轴交于两点，对称轴为直线， 点 . 点在第一象限，且， ， 点. 设直线的函数表达式为， 则 解得 直线的函数表达式为. 联立抛物线与直线，得， 解得（舍去），. 将代入，得， 点的坐标为. ②如图2，过点作轴，交于点，连接． 点的横坐标为点． 点， 直线的函数表达式为，且， 点， ，1 ． 设点到的距离为， 则. 当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、角的倍分关系、一次函数解析式的求解、二次函数的最值问题以及点到直线的距离计算，熟练掌握待定系数法求函数解析式和利用二次函数求最值是解题的关键． 8．(1)，直线的解析式为 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法、二次函数与角度问题，运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，得到的值，进而得到，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点作，且，连接，交抛物线于点，则 为等腰直角三角形，，过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，延长交轴于点，证明求出点坐标，直线与抛物线的交点为点； （3）①分，，三种情况讨论即可；②由①的解析式结合函数图象，求解即可． 【详解】（1）解（1） ∵，在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为，将，两点坐标代入得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）如图，过点作，且，连接，交抛物线于点， 则 为等腰直角三角形， ， 过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，延长交轴于点， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，将，两点坐标代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 由 解得，或者（舍去）， ∴； （3）①∵，直线为，对称轴为， ∴  ，， ∴当时，  ，, 此时； 当时，  ，, 此时； 当时，  ，, 此时； 综上，； ②当时， ∴当时，有最大值 由图象可知，使成立的点恰有个，的取值范围为． 9．(1) (2)存在，点P的坐标为 (3) 【分析】（1）根据二次函数的图像过点，对称轴为直线，列出关于的方程组，即可求解； （2）根据点的坐标可得，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设点关于直线的对称点为，则，结合可得点与点重合，得出，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得轴，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴，， ∴， 当时，，则 ∴，， ∴， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设点关于直线的对称点为，则， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴点与点重合， ∴； 综上所述，存在点，使，点的坐标为； （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在上取一点，使得轴，垂足为， ∴， ∴，则； 如图，作关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 10．(1) (2)点D的坐标为 (3)点P的横坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，，，用解直角三角形的方法求出，再运用待定系数法求出的表达式为：，即可求解； （3）运用待定系数法求出的表达式为：，作点关于轴的对称点，连接，过点作于点，设点，则点，则，由或，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：设交轴于点，过点作于点， 在中，，，， 设，则， 则，则， 则，， 由勾股定理得：，即点， 由点、的坐标得， 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点的坐标为：； （3）解：依题意， ∴ 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 ∴的表达式为：， 作点关于轴的对称点，连接，过点作于点， 则， 则， 即，则， 则， 的一个锐角等于的2倍， 即或， 过点作轴交于点， 则， 则， 则， 设点， 则点，则， 则或， 解得：或， 即点的横坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 11．(1) (2) (3)存在；或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入，即可求出抛物线解析式； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式，证明，得出，，即可解得； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线解析式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解： 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是。 （3）解：存在点D，使得中有一个角与相等． ∵点F是的中点，，，， ∴，，， ， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：； ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：， ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，相似三角形的判定以及性质，正切等知识，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 12．(1) (2)2 (3)存在， 【分析】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用分类讨论的方法分两种情况点为直角顶点，点为直角顶点讨论解答，设，则点，用的代数式表示出的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论； （3）在抛物线上存在点，使得，延长交轴于点，利用∽求得线段的长，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于和， ， 解得：． 抛物线的解析式为． （2）令，则， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． 点为线段上一点， 设，则点， ． ，， ． ． ∵轴， ， 点不可能是直角的顶点． ①当点为直角的顶点时，设交轴于点，   ，， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 解得：或不合题意，舍去． ． ． ②当点为直角顶点时，此时边在轴上，点与点重合， ． ． 综上，当为直角三角形时，线段的长度为． （3）在抛物线上存在点，使得，理由： ， ． ． ． 延长交轴于点，如图，    由知：， ． ， ． ． ， ∽． ． ． ． ， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为． ， 解得：，． 点的坐标为． 13．(1)，，； (2)； 【分析】（1）令求解即可得到A，B两点的坐标，令求出点坐标，结合、的关系即可得到答案； （2）连接，求出点D的坐标，F点坐标，根据，得到，结合三角函数列等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， ∴， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， ， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是二次函数的对称轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用及三角函数，解题的关键是先根据二次函数性质求出与坐标轴交点坐标及顶点坐标，再根据线段关系得到角度关系从而得到直角三角形，最后根据等角的正切值相等列式求解． 14．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将、、代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，则，，设，则，，由，可求，即，待定系数法求直线的解析式为；联立，计算求解即可；如图1，由轴，可知，关于对称轴对称，由，可得与重合，由，可知对称轴为直线，则，可求，进而可求； （3）如图2，由题意知，、两直线的距离为2，设，，则，，，，，，可求，根据，求解即可，由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，    ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图2，    由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． 15．(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $