二次函数综合问题（角度问题） 高频考点归纳 专项练 2026年中考数学一轮复习备考

二次函数综合问题（角度问题） 高频考点归纳 专项练 2026届初中数学中考一轮复习备考 1.如图1，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为D(1,4)且图象经过 点B(3,0),与y轴交于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，连接CB,DB,若抛物线上存在点E,满足∠CBD=∠BDE,求点E的坐标. 2.抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.对称轴与x轴交于点D, (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接CD、CB,在直线BC上方的抛物线上找点P,使得LPCB=∠DCB,求出P 点的坐标。 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于B,C两点，与y轴相交于点A,AB 平分∠0AC,0A=6,0C=8. y (1)点B的坐标为；（请直接写出结果） (2)求抛物线的表达式，及抛物线的对称轴； (3)若点D为抛物线上第一象限内一动点，当LDBC=∠BAC时，求点D的坐标. 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).动 点M在线段OB上运动，过点M作EM⊥x轴，交抛物线于点E,交直线BC于点F,设点 M的横坐标为m. y M B (1)求抛物线的解析式： (2)当点M在线段OB上运动时，求线段EF的最大值： (3)抛物线上有一点P,当∠BCP=15°时，请直接写出直线PC的解析式. 5.如图、抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(-1,0),B,交y轴于点C(0,-3),连接BC. 备用图 (1)求抛物线的函数表达式. (2)P是直线BC下方抛物线上的一点，连接BP,CP,当△BCP的面积最大时，求点P的坐 标 (3)M是直线BC上方抛物线上的一点，连接CM,是否存在点M,使得 ∠BC0+2∠MCB=90°？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴 交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1. V 备用图1 备用图2 ()求抛物线的函数表达式。 (2)P为抛物线上的一点（不与点A重合），设点P的横坐标为m,连接BC. ①若点P在第一象限，且∠OCP=2∠BCP,求点P的坐标 ②若点P在BC的下方，求点P到BC的最大距离，并写出点P的坐标. 7.抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C. B B 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q,求 P0+2c0的最大值及此时点P的坐标， (3)将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y,新抛物线y经过点C且与直线AC另一交 点为点K,M为新抛物线y上的一动点，当∠MKC=∠ACB时，请直接写出符合条件的点 M的坐标 2+c+e(b,c为常数)与x轴相交于4-1,0，B两点，与y轴相 1 8.己知抛物线y= 交于点C(0,3).M为x轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接MB. (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标； (2)当∠MBC=45°时，求m的值； (3)过点M作x轴的平行线与抛物线相交于点P,过点M作y轴的平行线与直线BC相交于 点Q,若MP=MQ,求m的值. 9.如图1，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于A,B两点，交y轴于C点，点P为线段BC上 不与端点重合的一个动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,PE交抛物线于点D,已知点A、 B的坐标分别为-1,0，（4,0). 图1 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的解析式： (2)在点P的移动过程中，若射线PC平分LOPD,求BP的长； (③)若点M为线段BC上一点，请问在坐标系内是否存在点N,使得以O、C、M、N为顶点 的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由。 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2a≠0)与x轴交于点A-2,0, C(6,0),交y轴于点B. V 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式. (②)如图1，点D为lx下方抛物线一动点，直线BC上有点E、F满足点E在点F的左侧且 EF=V10,当SCBD最大时，求此时点D的坐标与AF+EF+DE的最小值. (3)将抛物线沿直线AB方向平移2√2个单位得到新抛物线y,在新抛物线y找一点P使 ∠ABC+∠CAP=135°，求符合条件的所有P的坐标，并写出至少一个求解P的坐标的过程. 1 11.如图，己知抛物线y=-二x2+bx+c与x轴交于A、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4) 4 .点P为第一象限抛物线上的点，连接CA、CB、PB、PC. A 图1 图2 备用图 (1)直接写出结果：b= ;C= tan /ABC=; (②)判断ABC的形状，并说明理由； (3)如图1，当LPCB=2∠0CA时，求点P的坐标； (4)如图2，点D在y轴负半轴上，OD=0B,点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°.点E, F分别为△BDQ的边DQ,DB上的动点，且QE=DF,求BE+QF的最小值 ,在平面直角坐标系中，揽物线y三-)x产+bx+c(b,c是常数)交x轴 B,交y轴于点C 3 0, 点A坐标为-1,0)，点D为抛物线的顶点，点E为抛物线上一动 2 点，且点E的横坐标为t. B B 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)连接BC,若E在BC的上方，当∠ECB=2LCBA时，求点E的坐标； (3)如图2，设aEAC的面积为S,点E在抛物线对称轴的右侧， ①求S与t之间的函数表达式； ②以点E为对称中心，构造正方形POMN,且MN在y轴上（点M在点N的下方），直接 写出抛物线与正方形POMN的边只有2个公共点时S的取值范围， 13.如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数y=-x2+3x+3的图象与直线y=x交于A, B两点，二次函数y,=ax2+c的图象经过点A,B. (1)求点A,B的坐标及a,C的值； (②)直线x:m与二次函数y,y的图象分别相交于点P,Q,与直线AB相交于点N,当 0<m<3时， ①求证：PW=2WQ; ②过点B作直线与x正半轴交于点C,与二次函数y交于点D(点D不与B重合)，使得 ∠OBC=2∠OCB,请直接写出点D的坐标： y≤y2) (3)若新函数满足⅓= ,直线2：y=+k-1与函数的图象有三个公共点， y(y>y2) 函数y=x2-2kx+3,当0≤x≤2k+4时，函数y的最小值为n,最大值为2n+14,求k的值. 14.如图，一条抛物线)m公与x销相交于4-o,83,0)两点，与y猪相交于 点C,顶点是点D. B (1)求抛物线对应的函数表达式 (②)点P是抛物线上的点，当∠ABC=}∠PAB时，请直接写出满足条件的点P坐标； (3)将抛物线yax2bx 3 2 向左平移1个单位，向下平移3个单位得到一条新抛物线，它 的顶点为Q.直线l过点F(0,-2),且与抛物线交于点M、N.MG1x轴于点G、 111 NH1x轴于点H,求证：MG+NHO0 15.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点，与y轴交于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q,使S.0c=S.oc,求出点Q的坐标. (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D,交x轴于点E,交直线AC于点F,抛物 线上是否存在点P,使得∠PEC+∠ACE=45°？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在， 请说明理由； 参考答案 1.(1)y=-x2+2x+3 (2)点E的坐标为(8，-45)或(2,3 (1)将点D和点B坐标代入求解即可； (2)分两种情况讨论，当点E在CB上方的抛物线上，当点E在CB下方的抛物线上，画出 图形，根据∠LCBD=∠BDE分情况求解即可. (1)解：由条件可得0=9a+3动+3' 4=a+b+3 a=-1 解得 b=2' :抛物线y=-x2+2x+3; (2)解：当点E在CB上方的抛物线上，如图， 当x=0时，y=-x2+2x+3=3, 则C(0,3), 设直线BC表达式为y=kx+c,则由题意得： [c=3 3k+c=0' c=3 解得： k=-1 .直线BC表达式为y=-x+3, 由条件可知CB∥DE, 设直线DE的解析式为y=-x+m, 将点D的坐标代入得：m=5, :直线DE的解析式为y=-x+5, 联立 y=-x+5 y=-x2+2x+3' x=1 x=2 解得： y=4 (舍去)或 y=3' .点E的坐标为2,3)： 当点E在CB下方的抛物线上，如图，设DE交CB于点G, 由条件可知GD=GB, 设G(m,-n+3),则Vn-1)2+(-n+3-42=Vn-3)2+-n+3)2, 解得n=3' 4 则o引 设直线DG的解析式为y=kx+b, 5 k+b=4 k=-7 解得 b=11’ y=-7x+11 .直线DG的解析式为y=-7x+11,联立 y=-x2+2x+3' x=1 x=8 解得 y=4 (舍去)或 y=-45' 点E的坐标为(8，-45)： 综上，点E的坐标为8，-45或(2,3). 2.(1)y=-x2+2x+3,D(1,0)