第十二章 定义 命题 证明（复习讲义）数学新教材苏科版七年级下册

第十二章 定义 命题 证明（复习讲义） 1. 了解定义的意义，能说出常见数学概念（如角、平行线）的定义，理解定义需准确、简洁、揭示本质属性； 2. 了解命题、真命题、假命题的概念；会区分命题的条件（题设）与结论，能将命题改写成 “如果… 那么…” 形式；能判断简单命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题； 3. 了解证明的必要性，知道仅凭观察、实验、归纳不足以保证结论正确；理解证明的基本步骤（画图→已知→求证→证明）与书写格式；明确定义、基本事实（公理）、已证定理可作为推理依据；能进行简单几何命题的证明，做到每步有据、条理清晰。了解定理的概念，知道定理是经证明为真的命题；能识别互逆命题，知道原命题成立，逆命题不一定成立。 知识点 重点归纳 常见易错点 定义 定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象. 一个概念的定义中要求语言简洁明了，语义清晰，不能含有“可能”，“差不多”能模棱两可的词语。 命题 1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一. 2.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成. 3.真命题：正确的命题称为真命题； 假命题：错误的命题称为假命题。 4. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。 1.命题一定是表示真假的陈述句，反之，陈述句不一定都是命题，最常考的表示作图的句子就不是命题。 2.互逆命题是两个命题之间的关系，它们是相互的，A命题是B命题的逆命题，反之，B命题也是A命题的逆命题。 证明 证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实 (如概念的定义,基本性质,真命题等),用 “因为……,所以…”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 能作为证明依据的通常是教材中给出的一些概念、性质、定理、公理、基本事实等。 反证法 反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 . 用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立. 在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子. 1.反证法通常用于一些不太方便证明的命题； 2.反证法的使用要按照先假设结论不成立；再由假设退出矛盾（一般与题目条件或已知的定理、性质、基本事实）矛盾；最后再得出结论。 3.举反例说明一个假命题，只需要一个简单的反例即可，越简单越好。 定理 1.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 2.教材中出现的几个常用定理或推论： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理:边形的内角和等于(n-2)·180° （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°. （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 . 定理即是经过证明的真命题，也就是说定理一定是命题，但命题不一定都是定理。 题型一 命题的概念与识别 【例1】下列语句中不是命题的是（    ） A．两点之间，线段最短． B．鸟是动物． C．连接两点． D．无论为怎样的自然数，式子的值都是质数． 【变式1-1】下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 【变式1-2】下列语句是命题的有（　　）个． ①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．3 B．4 C．5 D．6 题型二 命题的构成 【例2】命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【变式2-1】“同位角相等，两直线平行”的题设为___________，结论为___________． 【变式2-2】命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是___________，结论是___________． 题型三 命题的真假判断 【例3】下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 【变式3-1】下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．同位角相等 C．如果，那么 D．如果直线，，那么 【变式3-2】下列命题中的假命题是（  ） A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．同旁内角相等，两直线平行 题型四 举例说明假命题的错误 【例4】下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 题型五 写出一个命题的逆命题 【例5】写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 【变式5-1】命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题． 【变式5-2】命题“垂线段最短”的逆命题是_____________． 题型六 证明一个命题是真命题 【例6】命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________． 求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【变式6-1】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【变式6-2】把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 题型七 补充证明过程中的步骤或依据 【例7】如图，，的平分线交于点，交的延长线于点， ． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （理由： ）． 平分， ． ． ， ， （理由： ）． （理由： ）． 【变式7-1】如图，点为内部一点，点，点分别在射线，上．与相交于点，且，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴___________（     ）； ∵， ∴___________（     ）； ∴（     ）． 【变式7-2】如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 题型八 关于定理的说法判断 【例8】下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【变式8-1】下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【变式8-2】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 题型九 有关代数问题的证明 【例9】代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【变式9-1】试证明能被3整除． 【变式9-2】已知：，，，，求证： (1)； (2)； 题型十 用反证法证明问题 【例10】用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【变式10-1】用反证法证明：若，则a必为负数． 【变式10-2】求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 2．下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 3．下列命题，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 4．对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（   ） A． B． C． D． 5．下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 7．下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 8．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 9．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 10．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（   ） A． B．a与b不平行 C． D． 二、填空题（本题共6小题） 11．命题“等角的补角相等”的条件是_______． 12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________． 13．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 14．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 15．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 16．8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书____本． 三、解答题（本题共4小题） 17．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 18．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 19．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 20．已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 2．下列语句中，是定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C．对顶角相等 D．同角的余角相等 3．下列命题中，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则 4．“如果，那么”是假命题，那么、的值可能为（  ） A．、 B．、 C．、 D．、 5．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 6．命题“如果，那么或”的结论是(    ) A．或 B． C．或 D．或 7．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（   ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 8．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 10．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： 证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 二、填空题（本题共6小题） 11．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 12．命题“同位角相等”的条件是______． 13．定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是：_________． 14．请举出一个关于角相等的定理：_____． 15．若要说明命题“若，则”是假命题，c的值可以是________． 16．甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为_______． 三、解答题（本题共4小题） 17．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 18．证明：是平方数． 19．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点， ． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （理由： ）． 平分， ． ． ， ， （理由： ）． （理由： ）． 20．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 定义 命题 证明（复习讲义） 1. 了解定义的意义，能说出常见数学概念（如角、平行线）的定义，理解定义需准确、简洁、揭示本质属性； 2. 了解命题、真命题、假命题的概念；会区分命题的条件（题设）与结论，能将命题改写成 “如果… 那么…” 形式；能判断简单命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题； 3. 了解证明的必要性，知道仅凭观察、实验、归纳不足以保证结论正确；理解证明的基本步骤（画图→已知→求证→证明）与书写格式；明确定义、基本事实（公理）、已证定理可作为推理依据；能进行简单几何命题的证明，做到每步有据、条理清晰。了解定理的概念，知道定理是经证明为真的命题；能识别互逆命题，知道原命题成立，逆命题不一定成立。 知识点 重点归纳 常见易错点 定义 定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象. 一个概念的定义中要求语言简洁明了，语义清晰，不能含有“可能”，“差不多”能模棱两可的词语。 命题 1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一. 2.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成. 3.真命题：正确的命题称为真命题； 假命题：错误的命题称为假命题。 4. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。 1.命题一定是表示真假的陈述句，反之，陈述句不一定都是命题，最常考的表示作图的句子就不是命题。 2.互逆命题是两个命题之间的关系，它们是相互的，A命题是B命题的逆命题，反之，B命题也是A命题的逆命题。 证明 证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实 (如概念的定义,基本性质,真命题等),用 “因为……,所以…”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 能作为证明依据的通常是教材中给出的一些概念、性质、定理、公理、基本事实等。 反证法 反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 . 用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立. 在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子. 1.反证法通常用于一些不太方便证明的命题； 2.反证法的使用要按照先假设结论不成立；再由假设退出矛盾（一般与题目条件或已知的定理、性质、基本事实）矛盾；最后再得出结论。 3.举反例说明一个假命题，只需要一个简单的反例即可，越简单越好。 定理 1.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 2.教材中出现的几个常用定理或推论： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理:边形的内角和等于(n-2)·180° （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°. （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 . 定理即是经过证明的真命题，也就是说定理一定是命题，但命题不一定都是定理。 题型一 命题的概念与识别 【例1】下列语句中不是命题的是（    ） A．两点之间，线段最短． B．鸟是动物． C．连接两点． D．无论为怎样的自然数，式子的值都是质数． 【答案】C 【分析】本题考查了命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．非陈述句或无法判断真假的语句不是命题，直接利用定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短是陈述句，且符合几何公理，可判断为真，是命题． B．鸟是动物是陈述句，根据生物学分类可判断为真，是命题． C．连接两点是祈使句，表示动作而非陈述事实，无法判断真假，因此不是命题． D．无论为怎样的自然数，式子的值都是质数是陈述句，可判断真假，属于命题． 故选：C． 【变式1-1】下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.“延长线段”是作法，而非陈述事实，无法判断真假，不是命题； B.“两点之间，线段最短”是陈述句，符合几何公理，为真命题； C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于命题； D.“如果，那么”是条件陈述句，结论虽假（x可为），但仍可判断真假，属于命题， 故选：A． 【变式1-2】下列语句是命题的有（　　）个． ①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】本题考查命题，判断事件的语句叫命题．掌握对事件是否作出了判断是解题的关键。根据命题的定义逐一分析是否对事件作出了判断，即可得出答案． 【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题； ②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题； ③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题； ④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题； ⑤对事件作出了判断（式子的值都是质数），是命题； ⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题． 综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个， 故选B． 题型二 命题的构成 【例2】命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 【变式2-1】“同位角相等，两直线平行”的题设为___________，结论为___________． 【答案】 同位角相等 两直线平行 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行” 所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分； 故答案为：同位角相等；两直线平行． 【变式2-2】命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是___________，结论是___________． 【答案】 两个数的绝对值相等 这两个数互为相反数 【分析】本题考查命题的改写，将命题改写成如果，那么的性质，如果后面是条件，那么后面是结论，作答即可． 【详解】解：原命题可写为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数， ∴命题的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数， 故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数． 题型三 命题的真假判断 【例3】下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据对顶角定义，同一平面内直线的位置关系，平行线的性质，平行公理的推论逐一判断选项． 【详解】解：A 选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等但不是对顶角，因此 A 是假命题； B 选项：∵在同一平面内，，，∴，因此 B 是假命题； C 选项：只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两条直线平行，因此 C 是假命题； D 选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∵，∴，因此 D 是真命题． 【变式3-1】下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．同位角相等 C．如果，那么 D．如果直线，，那么 【答案】A 【分析】根据等量代换，平行线的性质，平方的性质，逐一判断各命题真假，即可得出结论． 【详解】解：A、若，，则，原命题是真命题，符合题意； B、只有两直线平行时，同位角才相等，原命题是假命题，不符合题意； C、如果，则或，原命题是假命题，不符合题意； D、如果直线，，那么，原命题是假命题，不符合题意； 【变式3-2】下列命题中的假命题是（  ） A．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．对顶角相等 D．同旁内角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定、平行公理、对顶角的性质逐一即可判断． 【详解】解：、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，符合几何定理，是真命题，该选项不符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理内容，是真命题，该选项不符合题意； 、对顶角相等，是对顶角的基本性质，是真命题，该选项不符合题意； 、平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等不能推出两直线平行，原命题是假命题，该选项符合题意． 题型四 举例说明假命题的错误 【例4】下列选项中，能够说明“若是非零有理数，则”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，要说明原命题是假命题，需找到满足题设（是非零有理数）但不满足结论的反例，根据绝对值的性质，正有理数的绝对值是其本身，此时，因此找正有理数即可． 【详解】解：∵当时，是有理数， 又∵， ∴， 即存在有理数，使得，故原命题是假命题； 对于A选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于C选项，时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于D选项，是无理数，不满足题设“是有理数”，不能作为反例说明原命题为假命题． 故选：B ． 【变式4-1】下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【详解】解：能说明命题“若，则”是假命题的只有，，此时，但， 故选：C． 【变式4-2】对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键． 反例需满足且至少有一个角不大于． 【详解】解：A、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； B、，且、都大于，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； C、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； D、，且，可以说明它是假命题，故选项符合题意． 故选：D． 题型五 写出一个命题的逆命题 【例5】写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 【答案】如果或，那么 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么． 故答案为：如果或，那么． 【变式5-1】命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定是解题关键； 逆命题是通过交换原命题的条件和结论而形成的，即“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，该命题才成立，据此判断即可． 【详解】解：原命题的条件是“两条直线平行”，结论是“这两条直线垂直于同一条直线”．逆命题为“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，根据垂直的性质定理，垂直于同一直线的两条直线互相平行，在同一平面内成立，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，因此该逆命题是假命题． 故答案为：假． 【变式5-2】命题“垂线段最短”的逆命题是_____________． 【答案】最短的线段是垂线段 【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清原命题的条件和结论部分，再互换位置则可得逆命题． 【详解】解：原命题“垂线段最短”可表述为“如果一条线段是垂线段，那么它是最短的”．根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到逆命题“如果一条线段是最短的，那么它是垂线段”，即“最短的线段是垂线段”．故答案为：最短的线段是垂线段． 题型六 证明一个命题是真命题 【例6】命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 【变式6-1】如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【详解】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【变式6-2】把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】见解析 【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 题型七 补充证明过程中的步骤或依据 【例7】如图，，的平分线交于点，交的延长线于点， ． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （理由： ）． 平分， ． ． ， ， （理由： ）． （理由： ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定和性质补充证明过程即可． 【详解】证明：， （理由：两直线平行，内错角相等）． 平分， ． ． ， ． （理由：同位角相等，两直线平行）． （理由：两直线平行，同旁内角互补）． 【变式7-1】如图，点为内部一点，点，点分别在射线，上．与相交于点，且，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴___________（    ）； ∵， ∴___________（    ）； ∴（    ）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）； ∵， ∴（等量代换）； ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式7-2】如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平行线的判定与性质补全证明过程即可． 【详解】证明：（已知）． （等式性质1）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 题型八 关于定理的说法判断 【例8】下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 【变式8-1】下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 题型九 有关代数问题的证明 【例9】代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 【变式9-1】试证明能被3整除． 【答案】见解析 【分析】先将原式各项变形为同底数幂的形式，再通过提取公因式化简原式，若化简结果含有因数3，即可证明原式能被3整除． 【详解】证明：∵ = = = = = 又∵是正整数 ∴含有因数 ∴能被整除． 【变式9-2】已知：，，，，求证： (1)； (2)； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则得，又，故可得，从而可得； （2）根据同底数幂的乘法运算法则得，由幂的乘方得，故可得，从而可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴, ∴． 题型十 用反证法证明问题 【例10】用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】假设， 根据不等式的基本性质，，这与矛盾， 假设不成立， 中至少有一个大于等于 【变式10-1】用反证法证明：若，则a必为负数． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法．假设a不是负数，那么a是0或a是正数，然后分情况求解即可． 【详解】证明：假设a不是负数，那么a是0或a是正数． （1）如果a是零，那么，这与条件矛盾， 所以a不可能是零； （2）如果a是正数，那么，这与条件矛盾， 所以a不可能是正数． 综合（1）和（2），知a不可能是0，也不可能是正数． 所以a必为负数． 【变式10-2】求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 【答案】(1)反证法 (2)答案见解析 【分析】根据题意，画出图形，结合图形写出已知和求证，再运用反证法证明． 【详解】（1）解：反证法； （2）如下图，直线， 求证： 证明：假设与不平行，则直线与相交， 设它们的交点为P，于是经过点P就有两条直线都和直线平行， 这就与“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾， 所以假设不能成立，故． 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定， 所以都不是定义，只有是定义． 故选：C． 2．下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 【答案】B 【分析】可以判断真假的陈述句是命题，正确的命题是真命题，再逐项判断即可． 【详解】解：选项A是疑问句，不能判断真假，不是命题，不符合要求； 选项B“负数都小于0”是能判断真假的陈述句，且结论正确，因此是真命题，符合要求； 选项C是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不是命题，不符合要求； 选项D“相等的角是对顶角”是命题，但相等的角不一定是对顶角，结论错误，是假命题，不符合要求． 3．下列命题，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【分析】根据对顶角定义，平行公理，平行线的判定与性质，逐个判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，故A是假命题，不符合要求； B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角三角板的直角相等，并非对顶角，故B是假命题，不符合要求； C、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线，与已知直线形成的同位角都是，根据同位角相等，两直线平行，可判定两条直线平行，故C是真命题，符合要求； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论，故D是假命题，不符合要求． 4．对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举反例说明一个命题是假命题．举反例说明一个命题是假命题时，所举的例子必须符合命题的条件，但是不符合命题的结论． 【详解】解：A选项：，，其中，不符合命题的条件，所以不符合要求，故A选项不符合题意； B选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意； C选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意； D选项：，，其中，并且，即，这个例子能说明命题是假命题，故D选项符合题意． 故选：D． 5．下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意； C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 7．下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 【答案】B 【分析】本题考查命题、逆命题的定义及真假判断，解题关键是明确每个命题的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确； 选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误； 选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确． 选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确． 因此，判断错误的是选项B． 故选：B． 8．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】C 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：C． 9．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 10．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（   ） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交． 故选：B． 二、填空题（本题共6小题） 11．命题“等角的补角相等”的条件是_______． 【答案】两个角相等 【分析】本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案． 【详解】解：“等角的补角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等”， 所以：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等； 故答案为：两个角相等． 12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________． 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】交换原命题的题设与结论，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”中， 题设为“点在线段的垂直平分线上”，结论为“该点到线段两端的距离相等”， 交换题设与结论后，得到逆命题为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 13．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 14．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 15．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 16．8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书____本． 【答案】28 【分析】假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8，根据题意列举出所有符合题意的情况，然后计算即可． 【详解】解：假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8， 因为每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有， 所以有12，13，14，15，16，17，18 ， 23，24，25，26，27，28， 34，35，36，37，38， 45，46，47，48， 56，57，58， 67，68， 78， 即共有本不同的书， 故答案为：28． 三、解答题（本题共4小题） 17．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 18．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到． （2）证明：∵， ∴，， ∴． 19．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 20．已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 【答案】(1)是奇数，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出、的奇偶，进而可得结论； （2）将代入中得、，再代入，得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证． 【详解】（1）解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∴是偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数，是偶数， ∴是奇数加偶数，结果为奇数； （2）证明：∵， ∴，， ∴ ， 即是完全平方数． 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 根据命题的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、美丽的天空，不是命题，故此选项不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，故此选项不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，故此选项不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列语句中，是定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 C．对顶角相等 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据课本中的定义进行判断即可． 【详解】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意； B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故B符合题意； C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意； D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意． 故选：B． 3．下列命题中，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，线段最短 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查真命题的判断，涉及平行公理、对顶角性质、线段公理和平方根性质，根据以上知识点和性质逐项判断即可． 【详解】A．缺少“直线外一点”的条件，故A错误； B．相等的角不一定是对顶角，故B错误； C．两点之间，线段最短，故C正确； D．若，则，故D错误． 故选：C． 4．“如果，那么”是假命题，那么、的值可能为（  ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】本题考查了命题，要想说明一个命题是假命题只要举一个反例即可，所以举的反例满足命题的条件，但是不满足命题的结论． 【详解】解：A选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故A选项不符合题意； B选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意； C选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意； D选项：当、时，、，满足但不满足，能说明命题是假命题，故D选项符合题意． 故选：D． 5．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 6．命题“如果，那么或”的结论是(    ) A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题中题设与结论的判断；用到的知识点为：所有命题都可以写成“如果 ……，那么……”，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 根据命题中“如果”后面是题设，“那么”后面是结论即可得答案． 【详解】解：如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论． 命题“如果，那么或”的结论是或， 故答案为：C． 7．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（   ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 【答案】A 【分析】本题主要考查了反例的含义、判断命题的真假．反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项． 【详解】解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项符合题意； B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项不符合题意； C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项不符合题意； D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项不符合题意． 故选：A． 8．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 9．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】C 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：C． 10．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题） 11．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 【分析】先找出该命题的条件与结论，再将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 12．命题“同位角相等”的条件是______． 【答案】两角是同位角 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分． 【详解】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”． 故答案为：两角是同位角． 13．定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是：_________． 【答案】如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数 【分析】本题考查了逆定理．逆定理是将原定理的条件和结论互换，原定理的条件是“两个数互为倒数”，结论是“它们的乘积等于1”，因此逆定理是“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数” ． 【详解】解：根据逆定理的定义，将原命题“如果，那么”中的条件和结论互换，得到逆命题“如果，那么”． 这里是“两个数互为倒数”，是“它们的乘积等于1”， 所以逆定理为“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数”． 故答案为：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数． 14．请举出一个关于角相等的定理：_____． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】任意写出一个角相等的定理即可． 【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 15．若要说明命题“若，则”是假命题，c的值可以是________． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质．假命题的概念．要说明原命题为假命题，只需找到满足但结论不成立的c，根据不等式的基本性质可得，任取符合条件的c即可． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴存在，使得， ∵c为分式的分母， ∴， ∴根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变，可知当时，若，则，即原命题是假命题， ∴c的值可以是． 16．甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为_______． 【答案】2人 【分析】本题考查理解题意的能力，准确理解运用每人各自中靶的环数之积都是72和4人中靶的总环数恰为4个连续整数条件成为解题的关键． 根据所给的每人各自中靶的环数之积都是72，找到乘积是72的所有情况，那样能找出每个人的打靶环数的可能情况，根据4人中靶的总环数恰为4个连续整数，据此即可解答． 【详解】解：，共7种情况，在这7种情况中，总环数分别为， 人中靶的总环数恰为4个连续整数， 其中3个人的总环数一定为15，14，13，第4个人总环数为16或， 打中过4环的人数为2人． 故答案为：2人． 三、解答题（本题共4小题） 17．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【答案】(1)原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题． (2)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题． (3)原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题． (4)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题． 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； 【详解】（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 18．证明：是平方数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平方数的理解，运用条件代换成完全平方公式，即可求证，题型较难； 根据题意转化为，，再得到，说明即可. 【详解】解： ， 又的各位数字之和为6，被3整除， 所以，被3整除，于是是整数， 故是平方数. 19．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点， ． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （理由： ）． 平分， ． ． ， ， （理由： ）． （理由： ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定和性质补充证明过程即可． 【详解】证明：， （理由：两直线平行，内错角相等）． 平分， ． ． ， ． （理由：同位角相等，两直线平行）． （理由：两直线平行，同旁内角互补）． 20．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】此题考查了反证法，完全平方公式，假设m不是偶数，则m为奇数，设（n为整数），证明出为奇数，与为偶数矛盾，即可证明． 【详解】解：假设m不是偶数，则m为奇数， 设（n为整数），则． 因为为偶数， 所以为奇数，与为偶数矛盾， 所以假设不成立，故m为偶数． 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $