第十二章 定义 命题 证明（单元自测·提升卷）数学新教材苏科版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章 定义 命题 证明·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面各个命题中，定义为（   ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好 2．下列语句是命题的是（    ） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接，两点 D．是一个负数 3．下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 5．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 6．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 7．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 8．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 9．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．一个命题是由______两部分组成． 12．写出一个你学过的数学学科的真命题：________________． 13．“如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角”的逆命题是_______命题（选填“真”“假”）． 14．把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 15．命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”） 16．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 17．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________． 18．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______． 三、解答题（共7小题，共66分） 19．（本题8分）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 20．（本题8分）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 21．（本题10分）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 22．（本题8分）证明：等角的补角相等． 23．（本题10分）已知是正整数，求证：能被4整除． 24．（本题10分）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 25．（本题12分）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章 定义 命题 证明·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面各个命题中，定义为（   ） A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的概念理解，分清定义与性质的区别是解题的关键．根据线段的性质，垂线的性质，负数的定义，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，不符合题意； C、在正数前加上符号“”的数叫作负数，是定义，符合题意； D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意； 故选：C． 2．下列语句是命题的是（    ） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接，两点 D．是一个负数 【答案】D 【分析】根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，只需判断各选项语句是否对一件事情作出明确判断即可得到结果。 【详解】解：∵命题的定义是：判断一件事情的语句叫做命题。 A选项作一个角等于已知角是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题； B选项负数小于正数吗？是疑问句，没有对一件事情作出判断，不是命题； C选项连接，两点是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题； D选项是一个负数对的属性作出了明确判断，符合命题的定义． 3．下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据对顶角定义，同一平面内直线的位置关系，平行线的性质，平行公理的推论逐一判断选项． 【详解】解：A 选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等但不是对顶角，因此 A 是假命题； B 选项：∵在同一平面内，，，∴，因此 B 是假命题； C 选项：只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两条直线平行，因此 C 是假命题； D 选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∵，∴，因此 D 是真命题． 4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义． 假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可． 【详解】解：∵当，时， ∴，，即成立， 又∵，即不成立， ∴此例可作为原命题的反例， 故选：B． 5．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应． 【详解】解：∵ 原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是． ∴ 逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 6．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 7．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 8．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】C 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：C． 9．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 10．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数，不等号的方向不变． 根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可． 【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合， ①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题； ③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题； ⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题， 故真命题一共有2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．一个命题是由______两部分组成． 【答案】题设（或条件）和结论 【分析】此题考查了命题的组成．命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论．据此回答即可． 【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成． 故答案为：题设（或条件）和结论 12．写出一个你学过的数学学科的真命题：________________． 【答案】对顶角相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了真命题：正确的命题即为真命题，举例一个例子即可作答． 【详解】解：依题意，写出一个你=学过的数学学科的真命题：对顶角相等， 故答案为：对顶角相等（答案不唯一）． 13．“如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角”的逆命题是_______命题（选填“真”“假”）． 【答案】假 【分析】首先得出命题的逆命题，进而得出是否是真命题． 【详解】逆命题是：如果一个三角形有两个角是锐角，那么三角形另一个角是钝角，是假命题． 故答案为：假． 14．把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【答案】如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数 【详解】解：如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数． 15．命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”） 【答案】假 【分析】根据命题真假的判定方法，若存在满足命题题设，不满足命题结论的例子，即可判定命题为假命题，只需找出反例即可判断． 【详解】解：举反例，例如， 能被整除，即， 不能被整除，即， 该数满足命题的题设，不满足命题的结论，因此原命题是假命题． 16．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题． 17．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________． 【答案】每一个内角都大于或等于45° 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45° 故答案为：每一个内角都大于或等于45°． 18．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 三、解答题（共7小题，共66分） 19．（本题8分）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 20．（本题8分）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 【答案】(1)是假命题，反例见解析（答案不唯一） (2)是假命题，反例见解析（答案不唯一） (3)是真命题 (4)是假命题，反例见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的性质，绝对值的意义，钝角的定义以及有理数的加法法则，分析题目是否为真命题，需要分别分析各题是否能推出结论，从而作出判断． （1）缺少“两直线平行”的前提条件； （2）绝对值表示一个数到原点的距离，当两个数绝对值相等时，它们可能相等，也可能互为相反数； （3）通过“钝角是大于小于的角”即可判断为真命题； （4）举出绝对值不等的异号两数相加的例子即可判断． 【详解】（1）是假命题，两条相交直线被第三条直线所截，形成的内错角不一定相等． （2）是假命题，如，但． （3）是真命题．每一个钝角都大于，故两个钝角的和一定大于． （4）是假命题，如和2异号，但． 21．（本题10分）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 【答案】见详解 【分析】利用平行线的性质和等量代换可得出结论． 【详解】证明：∵，， 又∵（已知）， ∴（等角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 写出本题所用到的互逆命题： 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 ． 22．（本题8分）证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 23．（本题10分）已知是正整数，求证：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项，得出，根据是正整数即可得结论． 【详解】证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． 24．（本题10分）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 25．（本题12分）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到． （2）证明：∵， ∴，， ∴． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章 定义 命题 证明·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面各个命题中，定义为（   ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好 2．下列语句是命题的是（    ） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接，两点 D．是一个负数 3．下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．在同一平面内，如果，，那么 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．如果，那么 4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 5．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 6．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 7．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 8．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 9．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．一个命题是由______两部分组成． 12．写出一个你学过的数学学科的真命题：________________． 13．“如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角”的逆命题是_______命题（选填“真”“假”）． 14．把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 15．命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”） 16．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 17．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中_________． 18．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为_______个，请同学们写出一个真命题_______． 三、解答题（共7小题，共66分） 19．（本题8分）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 20．（本题8分）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 21．（本题10分）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线，若，求证：． 证明：∵，， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴ （ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 写出本题所用到的互逆命题： ． 22．（本题8分）证明：等角的补角相等． 23．（本题10分）已知是正整数，求证：能被4整除． 24．（本题10分）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 25．（本题12分）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章 定义 命题 证明·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D B A C D C A B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．题设（或条件）和结论 12．对顶角相等（答案不唯一） 13. 假 14. 如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数 15. 假 16. （答案不唯一） （答案不唯一） 17. 每一个内角都大于或等于45° 18. 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 三、解答题（共7小题，共66分） 19．（本题8分） 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上；…………………………2分 （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题；…………………………4分 （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：；…………………………6分 （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题．…………………………8分 20．（本题8分） 【详解】（1）是假命题，两条相交直线被第三条直线所截，形成的内错角不一定相等．…………2分 （2）是假命题，如，但．…………………………4分 （3）是真命题．每一个钝角都大于，故两个钝角的和一定大于．…………………………6分 （4）是假命题，如和2异号，但．…………………………8分 21．（本题10分） 【详解】证明：∵，，…本题每空1分，最后写逆命题2分，共10分 又∵（已知）， ∴（等角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 写出本题所用到的互逆命题： 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 ． 22．（本题8分） 【详解】已知：，，．…………………………4分 求证：．…………………………6分 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）．…………………………8分 23．（本题10分） 【详解】证明： ．…………………………7分 是正整数， 能被4整除．…………………………9分 能被4整除．…………………………10分 24．（本题10分） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴；…………………………6分 （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．…………………………10分 25．（本题12分） 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到．………………6分 （2）证明：∵， ∴，， ∴．…………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 ○ 第十二章定义命题证明。能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） : 1.下面各个命题中，定义为() : : A.两点之间，线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.在正数前加上符号“-”的数叫作负数D.今天的天气很好 2.下列语句是命题的是() A.作一个角等于己知角 B.负数小于正数吗？ : : C.连接A,B两点 D.-1是一个负数 : 3.下列命题中，是真命题的是() A.如果两个角相等，那么它们是对顶角 B.在同一平面内，如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥c C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D.如果a∥b,c∥b,那么a∥c O 4.要说明命题“若d>b,则a>b"是假命题的反例可以是() A.a=4,b=2 B.a=-2,b=1 : C.a=-1,b=-2 D.a=2,b=0 : 5.定理“等腰直角三角形的两个锐角都是45°"的逆定理是() : : : A.两个锐角都是45°的三角形是等腰直角三角形 : : B.等腰直角三角形的角都是45° : C.两个角不是45°的三角形不是等腰直角三角形 D.有一个角是45°的三角形是等腰直角三角形 6.命题“如果|x=y川，那么x2=y2”的逆命题是() : A.如果xy川，那么xy B.如果|x|=y川，那么xy C.如果x2=y,那么1x|=y川 D.如果x2y2,那么xy川 : 7.命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是() A.90° B.两个角 C.度数之和为90°D.度数之和为90°的两个角 : 8.下列说法中，错误的是() A.基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 试题第1页（共8页） : : 命学科网·上好课 B.定义是命题，并且是真命题 C.“两点之间，线段最短”是基本事实 D.“两点之间，线段最短”是定理 9.下列可以作为定理的有() ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角：③25与x的平均值是3；④三角形内角 和为180°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10,用三个不等式m>0,{},+y>0中的一个不等式与x>y作为条件，余下的其中一个不等式作为 x V 结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.一个命题是由 两部分组成！ 12.写出一个你学过的数学学科的真命题： 、 13.“如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角”的逆命题是 命题（选填 “真"“假”). 14.把命题“负数的绝对值是正数”写成“"如果，那么"的形式： 15.命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是命题.（填“真”“假”) 16.能说明命题若a<b,则>是假命题的一组实数a,b的值为a=,b= a b 17.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中 用三个不等式a>b,山>0，。<中的两个不等式作为思设条件，余下的一个不等式作为结论，组 成一个命题，可以组成真命题的个数为个，请同学们写出一个真命题 三、解答题（共7小题，共66分） 19.（本题8分)下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果… 那么”的形式，再找出命题的条件和结论。 (1)已知点P到A,B两点的距离PA,PB之和等于线段AB的长，则点P在线段AB上. (2)已知点P到AB两点的距离PA,PB之和大于线段AB的长，则点P在直线AB上. (3)当a=b时，有2=b2. (4)当2=b2时，有a=b. 试题第2页（共8页） 学科网·上好课 20.(本题8分)判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例. (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等. (2)如果4d=b,那么a=b. (3)两个钝角的和一定大于180°. (4)异号两数相加和为零. 21.(本题10分)如图，己知AB∥CD,射线AH交BC于点F,交CD于点D,从D点引一条射线DE, 若∠1=∠2，求证：∠B+∠CDE=180°. B E 2 证明：∠1+∠CFD=180°，∠2+∠FDE=180°， 又∠1=∠2（已知）， ∠CFD= .BC∥DE( ∠C+ =180°( 又AB∥CD（己知)， ∴∠B= ∴.∠B+∠CDE=180° ( 写出本题所用到的互逆命题： 22.(本题8分)证明：等角的补角相等. 23.(本题10分)已知n是正整数，求证：(n+1)2-(n-1)能被4整除. 试题第3页（共8页） 24.(本题10分)(1)已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠F=180°，∠2=∠3.求证： : ∠B+∠1=180°. : B D ☑ 人3 E G 兵 (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来. : 张 样 游 .: : 25.（本题12分)小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两 S O ..O 个数a和b.若a>b.则一定有a2>b2”,两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题."请你帮他们举一个反例说明. 洲 (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b.若a>b>0,则一定有2>b2.” 小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊.”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题. E脚 世 ..0 O 试题第4页（共8页）品学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章定义命题证明·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下面各个命题中，定义为() A.两点之间，线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.在正数前加上符号“-”的数叫作负数D.今天的天气很好 2.下列语句是命题的是() A.作一个角等于已知角 B.负数小于正数吗？ C.连接A,B两点 D.-1是一个负数 3.下列命题中，是真命题的是() A.如果两个角相等，那么它们是对顶角 B.在同一平面内，如果a⊥b,b1c,那么a⊥c C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D.如果a∥b,c∥b,那么a∥c 4.要说明命题“若d>b,则a>b”是假命题的反例可以是() A.a=4,b=2 B.a=-2,b=1 C.a=-1,b=-2 D.a=2,b=0 5.定理“等腰直角三角形的两个锐角都是45”的逆定理是() A.两个锐角都是45°的三角形是等腰直角三角形 B.等腰直角三角形的角都是45° C.两个角不是45°的三角形不是等腰直角三角形 D.有一个角是45°的三角形是等腰直角三角形 6.命题“如果x=以，那么x2=y的逆命题是() A.如果x,那么xy B.如果=以，那么xy C.如果x2=y2,那么x=以 D.如果x2y2,那么x扎 7.命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是() A.909 B.两个角 C.度数之和为90°D.度数之和为90°的两个角 8.下列说法中，错误的是() 114 学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 A.基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B.定义是命题，并且是真命题 C.“两点之间，线段最短”是基本事实 D.“两点之间，线段最短”是定理 9.下列可以作为定理的有() ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角：③25与x的平均值是3；④三角形内角和 为180°. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.用三个不等式xy>0,1<1 ,x+y>0中的一个不等式与x>y作为条件，余下的其中一个不等式作为 x v 结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.一个命题是由 两部分组成， 12.写出一个你学过的数学学科的真命题： 13.“如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角”的逆命题是命题（选填“真“假”）. 14.把命题“负数的绝对值是正数写成“如果.，那么.”的形式： 15.命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是命题.（填“真“假'） 16.能说明命题若a<b,则上>}，是假命题的一组实数a,b的值为a=,b= 17.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中 11 18.用三个不等式a>b,b>0,一<中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成 a b 一个命题，可以组成真命题的个数为个，请同学们写出一个真命题一， 三、解答题（共7小题，共66分） 19.(本题8分)下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果.… 那么”的形式，再找出命题的条件和结论 (I)已知点P到A,B两点的距离PA,PB之和等于线段AB的长，则点P在线段AB上. (2)已知点P到A,B两点的距离PA,PB之和大于线段AB的长，则点P在直线AB上. (3)当a=b时，有a2=b2. (4)当a2=b2时，有a=b. 2/4 学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 20.(本题8分)判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例. (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等. (2)如果☑=b,那么a=b. (3)两个钝角的和一定大于180°. (4)异号两数相加和为零. 21.(本题10分)如图，已知AB∥CD,射线AH交BC于点F,交CD于点D,从D点引一条射线DE,若 A=∠2，求证：∠B+∠CDE=180°. E 人2 D 证明：∠1+∠CFD=180°，∠2+∠FDE=180°， 又4=∠2（已知）， ∴.∠CFD= ), ∴BC∥DE( ∠C+」 =180°( 又AB∥CD(己知)， ∠B= ∴.∠B+∠CDE=180°( ) 写出本题所用到的互逆命题： 22.(本题8分)证明：等角的补角相等. 23.(本题10分)己知n是正整数，求证：(n+1)-(n-1)能被4整除. 314 可学科网·上好课 www zxx k.com 上好每一堂课 24.（本题10分)(1)己知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠F=180°，∠2=∠3.求证： ∠B+∠1=180°. A D 2 人3 E G (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来， 25.(本题12分)小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两 个数a和b.若a>b.则一定有d>b2”,两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题.”请你帮他们举一个反例说明. (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b.若a>b>0,则一定有2>b2,” 小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊.”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题. 4/4