第十二章 定义、命题、证明（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材苏科版七年级下册

第十二章 定义、命题、证明·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 2．（25-26八年级上·全国·期中）若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江西南昌·月考）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．3 D．1 4．下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 5．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 6．（25-26八年级上·四川南充·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．两个数的绝对值相等，这两个数也相等 C．相等的角是同位角 D．若，则 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）一个五边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 9．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合：使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式___________． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 13．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，中，，．若，则的度数为___________． 14．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，，则的值为____________ 15．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____． 16．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 18．（6分）如图所示，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数． (2)求的度数． 19．（8分）（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 20．（8分）（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 21．（10分）如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交直线于点E．已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 22．（10分）（24-25九年级下·河北沧州·月考）有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 23．（12分）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 24．（12分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知 (1)如图①，在中，，的三等分线交于点，连接，则的度数为__________. (2)如图②，在中，的三等分线分别与的平分线交于点．若，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 定义、命题、证明·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义．根据命题的定义，命题是能够判断真假的陈述句，选项A是疑问句，不符合命题要求，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、“你饿了吗？”是疑问句，不是陈述句，故不是命题，故该选项符合题意； B、线段的垂线有无数条，是命题，故该选项不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，故该选项不符合题意； D、相等的角一定是对顶角，是命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期中）若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，即两个锐角互余，其和为． 根据在直角三角形中，两个锐角互余，其和为，即可解答． 【详解】解：∵直角三角形中两个锐角互余， ∴另一个锐角为． 故选D． 3．（24-25七年级下·江西南昌·月考）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【详解】解：当，不符合条件， 当，，时，符合条件， 但或时，， 当时，，结论不成立， ∴“如果，那么”是假命题． 故选：A． 4．下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】A 【分析】本题考查了定义的概念，互为余角的定义，对顶角的定义和性质，余角的性质，几何语言，利用定义的定义分别判断各项是解题的关键． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，是定义，符合题意； B.相等的角是对顶角，不是定义，不符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：A． 5．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 6．（25-26八年级上·四川南充·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．两个数的绝对值相等，这两个数也相等 C．相等的角是同位角 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查逆命题的真假判断．需要写出每个原命题的逆命题，并运用初中数学知识判断其是否成立．据此判断即可． 【详解】A：原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”． ∵内错角相等是平行线的判定定理， ∴逆命题成立； B：原命题“两个数的绝对值相等，这两个数也相等”的逆命题为“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”． ∵两数相等则绝对值必相等， ∴逆命题成立； C：原命题“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”． ∵同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立， ∴逆命题不成立； D：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵时，平方必然相等， ∴逆命题成立． 故选C． 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）一个五边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形内角和，多边形内角和定理边形的内角的和（大于等于3），据此解答．直接利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】∵ 边形内角和公式为， ∴ 当时，内角和． 故选：C． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【答案】B 【分析】根据任意四边形外角和为，以及外角的比例求出四个外角的度数，再计算对应内角，判断锐角个数即可． 【详解】解：设四个外角的度数分别为，，，， ∵任意多边形的外角和为， ∴， 解得， ∴四个外角分别为，，，， ∵内角与相邻外角和为， ∴四个内角分别为，，，， ∵锐角是小于的角，此处和为锐角， ∴这个四边形有2个锐角． 9．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：D． 10．图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，未使用指甲剪时，杠杆与上臂重合：使用时，下压点至时，刚好至点，当时，两刀片咬合，恰好平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，外角的性质，熟练掌握这些定理与性质是解题的关键． 延长，交于点，先由平行线的性质得到，再由外角的性质得到，最后再由角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴由外角的性质得． ∵平分， ∴． 在中，由三角形内角和定理得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式___________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】本题考查命题的改写，找准命题中的题设与结论是解题的关键；将原命题分解为题设和结论，并用“如果”引导题设，“那么”引导结论． 【详解】解：把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式为“如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零”． 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 13．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，中，，．若，则的度数为___________． 【答案】/38度 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是由平行线的性质推出．由直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，，则的值为____________ 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 在中，由三角形内角和定理可得，再由，，得到，最后，在中，由三角形内角和定理可得列式计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，则由三角形内角和定理可得， ， ，， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 则的值为， 故答案为：． 15．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____． 【答案】11 【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， ∴， ∵n是整数， ∴， 故答案为11． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组． 16．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转，再前进10米后再向右转，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为________米． 【答案】90 【分析】本题考查多边形的外角和定理，解决本题的关键是求解出正多边形的边数． 利用多边形外角和为求出正多边形的边数，进而求得其周长． 【详解】解：因为小明每次向右转的角度就是这个正多边形的外角， 已知每次向右转，且多边形的外角和是固定的． 设这个正多边形的边数为，可得， 即这个正多边形是九边形． 已知小明每次前进米， 可得该正多边形的周长米． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】根据命题的结论，写出求证，利用反证法，进行证明即可． 【详解】解：由命题的结论得：， 故答案为：， 证明：假设a，b相交于点A， 则过A点有两条直线a，b都平行于c， 这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以． 【点睛】本题考查反证法．根据结论，正确的写出假设，是解题的关键． 18．（6分）如图所示，在中，，，是的角平分线． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三个内角的度数之和为求解即可； （2）由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 20．（8分）（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 21．（10分）如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交直线于点E．已知，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角性质，直角三角形两锐角互余的知识，理解图示，掌握以上知识是关键． （1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形的外角性质得到，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：， 在中，， ∴， ∴． 22．（10分）（24-25九年级下·河北沧州·月考）有五个足球队、、、、分入同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，如果队的积分为9分，讨论： (1)队的战绩是几胜，几平，几负？ (2)如果小组赛中有一个队的战绩为全胜，队能否出线？ (3)如果小组赛中有一个队的积分为10，队能否出线？ 【答案】(1)3胜0平1负 (2)A队能出线 (3)队能出线 【分析】本题考查了不等式的应用，二元一次方程的应用及逻辑推理，根据球队的积分判断出胜负的场次是解题的关键． （1）五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，队的积分为9分，就可以得到队的胜负情况； （2）利用队的胜负以及另一队战绩为全胜情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断； （3）利用队的胜负以及另一队战绩为积分10分情况，进而就可以得到其它队的胜负的情况，就可以进行判断． 【详解】（1）解：个队进行单循环足球比赛， 每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次， 设队胜，平， ． ， 得：，，故队的战绩是3胜0平1负． （2）解：小组赛中有一个队的战绩为全胜，队的积分为9分， 其他队最多可以胜2场比赛，故最多可得6分， 队能出线； （3）解：假设是队的战绩为10分．它就是3胜1平0负， 可以看出，队只败给了队，即、、都负于队了， 3队里有1队和队平了1次，其他2队都负于队， 、、，3队里积分最高的是2胜1平1负，有7分． ∴队出线了． 23．（12分）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 24．（12分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知 (1)如图①，在中，，的三等分线交于点，连接，则的度数为__________. (2)如图②，在中，的三等分线分别与的平分线交于点．若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据的三等分线交于点，得到由平分平分,得到平分,进而一步步得到答案. （2）由三角形外角的性质得到度数，由三等分角得到度数，由三角形内角和定理得到度数，由角平分线得到度数，最后根据三角形内角和定理得到度数. 【详解】（1）解：的三等分线交于点 平分，平分 平分, 故答案为： （2）是的外角， ． ， ． 由题意可知，是的三等分线， ． 是的平分线， . ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $