专项11 锐角三角函数及实际问题8大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项11 锐角三角函数及实际问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年中考，锐角三角函数及实际应用为必考内容，分值约8-15分。题型涵盖选择题（求三角函数值）、填空题（网格中求值）及解答题（实际问题建模）。核心考查解直角三角形，测量高度、距离为高频情境，常与圆、四边形等几何图形融合。 全国2026年命题趋势分析 2026年命题将延续“基础+应用+融合”的格局。首先，基础题仍以特殊角三角函数值与网格中构造直角三角形求值为主，难度中等。其次，解答题将继续强化实际应用，测量楼高（背靠背、母子模型）、航海定位（方位角）、坡度坡角、物理光学（折射）等真实情境将成为命题载体，更加突出数学建模能力。 第三，跨板块融合趋势明显，锐角三角函数与圆（圆周角、弦切角）、四边形（矩形折叠）、二次函数（坐标系中构造直角三角形）的结合题将频繁出现，尤其在填空压轴题中。最后，部分考区可能引入无图或需补全图形的题目，要求考生具备更强的几何构图能力。教师在备考复习中也普遍关注这些综合应用方向。 全国2026年预测 2026年中考，解直角三角形的实际问题仍是解答题热点，预计以测量高度、距离为主，需灵活选用“背靠背”或“母子”模型。网格背景下的三角函数求值题将作为小题稳定出现，考查构造直角三角形的技巧。圆与三角函数的综合题难度较大，可能出现在压轴位置，需重点训练。 题型01 特殊角的三角函数值的计算 析典例·建模型 1．（2026·北京石景山·一模）计算：． 研考点·通技法 1. 牢记数值与图形 熟记30°、45°、60°的sin、cos、tan值（如sin30°=1/2，tan45°=1）。结合含30°的直角三角形（边长1:√3:2）和等腰直角三角形（1:1:√2）帮助记忆，避免混淆。 2. 避免运算错误 计算时先化简每个三角函数值，再代入表达式。注意tan90°无意义需排除。涉及平方时（如sin²30°）先算平方再求和，根号结果要化简。 3. 活用互余关系 若角度非特殊角（如15°），可转化为特殊角的和差（45°-30°）或用互余关系（sin15°=cos75°）。也可构造辅助线（角平分线、垂线）直接计算比值。最后检验结果是否在[-1,1]范围内。 破类题·提能力 1．（2026·云南楚雄·一模）计算：． 2．（2026·山东济南·一模）计算：． 题型02 特殊四边形中的三角函数问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点D在上，．过点A，C分别作，的平行线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 研考点·通技法 1. 构造直角三角形 在矩形、菱形或正方形中，通过作高、连接对角线或平移边，将四边形分割为直角三角形。例如菱形中，利用对角线互相垂直构造直角三角形，结合勾股定理求边长。 2. 利用特殊角与边比 若菱形或正方形中含30°、45°、60°角，直接使用对应三角函数值计算边长或对角线长。矩形中已知一边和一角，用tan或cos求邻边。 3. 结合性质导角 利用矩形（直角）、菱形（对角线平分内角）、正方形（90°角且对角线平分45°角）的性质，将已知角转化到直角三角形中。设未知边长，根据三角函数列方程，解后检验是否符合四边形特性（如对角线相等）。 破类题·提能力 1．（2026·北京昌平·一模）如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 2．（2026·安徽铜陵·二模）如图1，点E是正方形的边上一点（不与点A，D重合），连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，且． (1)求的值； (2)如图2，若点E是的中点，求的值； (3)如图3，若，请确定点M的位置，并说明理由． 题型03 圆中的三角函数问题 析典例·建模型 1．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 研考点·通技法 1. 利用圆周角转化 同弧所对的圆周角相等，将已知角转移至含直径（直角）的三角形中。若出现直径，则直径所对圆周角为90°，可直接构造直角三角形，利用三角函数求边长。 2. 连半径作垂直 过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得中点，构造直角三角形。已知半径和弦长可求圆心角三角函数；已知圆心角和半径可求弦长。注意半径与切线的垂直关系。 3. 结合相似列比例 若圆中无直角三角形，可找相似三角形（如弦切角定理、相交弦定理），将三角函数转化为对应边比例。设未知数列方程，解后用三角函数值检验。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，为半圆O的直径，点P在的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E． (1)求证：； (2)若半圆O的半径长为4，，求的长． 2．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点E，过A点作交延长线于点D，过点C作的切线，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 题型04 与锐角三角函数有关的新定义型问题 析典例·建模型 1．（2026·广东东莞·一模）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角． 【概念理解】 (1)根据概念，完成下列问题： ①如图1，是正度三角形，是正度角．若，则________； ②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为________． 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是正度三角形，是钝角，是正度角时，存在的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点、是圆上的两点，弦与交于点．连接，，和都是正度三角形，且、分别为正度角时，求的度数． 研考点·通技法 1. 理解新运算定义 仔细阅读新定义的规则，例如定义“α⊕β=sinα+cosβ”或“正弦平方函数”。用具体特殊角（30°、45°）代入验证，明确运算是数值计算还是关系式。 2. 转化为常规三角函数 将新定义中的符号用标准三角函数（sin、cos、tan）表示，化简表达式。注意新定义可能涉及非特殊角，需利用互余关系（sinα=cos(90°-α)）或勾股定理进行转化。 3. 构造直角三角形求解 若新定义与边长比值有关（如“α的正弦值为m/n”），可构造直角三角形，设边长列方程。结合已知条件（如角度互余、边角关系）建立方程，解出未知量后检验是否满足锐角范围（0°<α<90°）。 破类题·提能力 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”． 【概念理解】 （1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由． 【性质应用】 （2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长． 【拓展提升】 （3）如图（d），内接于⊙，是中边上的“亮点”且．若，求的值． 题型05 解直角三角形的应用之仰俯角问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）申伯楼是信阳浉河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图    测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为，在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点，，在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别求和的长． (2)求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 研考点·通技法 1. 画图标注已知角 根据题意画出直角三角形，仰角（视线在水平线上方）标注在视线与水平线之间，俯角在下方。明确已知边、角，标出未知量（如高度、距离）。 2. 选择合适三角函数 已知对边和邻边用tan，已知斜边用sin或cos。若涉及两个直角三角形（如测楼高），设公共边为未知数，分别列方程联立求解。 3. 近似计算与单位 结果按要求取近似值（如精确到0.1米）。注意统一单位（米/千米），避免计算错误。最后检验所得角度是否在合理范围内（仰俯角0°~90°）。 破类题·提能力 1．（2026·河南周口·一模）项目式学习 拂云阁是开封清明上河园内的标志性仿宋建筑，造型优雅，阁高入云．某数学兴趣小组用自制的测角仪开展了一次测量拂云阁高度的项目式学习活动，测量报告如下： 课题 测量拂云阁的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪等 自制测角仪的使用方法 利用量角器和铅锤自制如图1所示的简易测角仪，使用过程如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点与视线在同一直线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 测量过程 如图3，小聪利用上述工具测量拂云阁的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走站在点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为．已知小聪的眼睛到水平地面的距离为 （图中点在同一条水平直线上，点均在同一平面内，，） 参考数据 问题解决 求拂云阁的高度（结果保留整数） 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 某校综合与实践小组的同学在学习了解直角三角形后，用所学知识对教学楼的高度进行测量．他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案： 测量教学楼的高度 组别 甲 乙 工具 测角仪 三角板，皮尺 测量示意图 测量方案与数据 如图1，组长用测角仪在点处测得教学楼最高点的仰角，测角仪 如图2，组长站在点处，眼睛在点处用三角板观测教学楼最高点的仰角，面向教学楼前进至点处，眼睛在点处用三角板观测到教学楼最高点的仰角，组长的眼睛到水平地面的距离，用皮尺测得 说明 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，都在上 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，，都在上 参考数据 ，，，， 计算 …… …… 问题解决： (1)你认为哪个组的测量方案存在问题，请指出并提出改进建议． (2)根据没有问题的测量方案，计算教学楼的高度（结果精确到）． 题型06 解直角三角形的应用之方位角问题 析典例·建模型 1．（2026·湖南益阳·二模）某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 研考点·通技法 1. 画图建立坐标系 以观测点为中心，按“上北下南，左西右东”画方向标。将方位角（如南偏东30°）转化为与正南或正北方向的夹角，标在图中，明确已知边长和角度。 2. 构造直角三角形 过目标点向南北或东西方向作垂线，将斜三角形分割为两个直角三角形。设未知数（如垂线段长），利用三角函数（sin、cos、tan）列方程求解。 3. 解后检验与作答 求出距离或角度后，检查是否符合方位表述（如距离为正数）。若要求“航行时间”，用路程除以速度。注意单位统一（海里/千米），最终结果按要求取近似值。 破类题·提能力 1．（2026·重庆·模拟预测）如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ） (1)求A、B两地的距离（结果保留根号）； (2)小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）． 2．（2026·重庆·一模）为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛．如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向100米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离（结果保留小数点后一位）； (2)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点．同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给．机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半．当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常．求此时机器狗“成真”与点的距离（结果保留小数点后一位）． 题型07 解直角三角形的应用之坡度坡比问题 析典例·建模型 1．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 研考点·通技法 1. 理解坡度概念 坡度i = tan= （h为铅直高度，l为水平宽度）。坡比常写作1 : m形式，即i = 。注意区分坡角与坡度，避免混淆。 2. 构造直角三角形 过坡顶作水平线、铅垂线，形成直角三角形。已知坡比和一边长，可用设h = k、l = mk表示两边，再通过勾股定理求斜边长（坡面长）。 3. 实际问题应用 求加固加宽后的土石方量（体积=底面积×长）时，需分别计算原坡面和新坡面的截面积差。注意单位统一，结果保留根号或按要求取近似值。最后检验坡比是否小于1（通常坡度小于45°）。 破类题·提能力 1．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 2．（2026·四川泸州·模拟预测）某风景区内有一片百年梨园，园内梨树古朴苍劲，花开时节如云似雪，蔚为壮观．某数学学习小组带着测量工具来到该景区开展综合实践活动－测量梨树的高度．如图，梨树生长在一斜坡上方的平地上．在斜坡底部点处测得梨树顶端点的仰角为，在斜坡点处测得点的仰角为，斜坡长度为26米，坡度（图中各点均在同一平面内）． (1)求坡上平地离水平地面的高度； (2)求梨树的高度．（参考数值：，，结果保留1位小数） 题型08 解直角三角形的应用之实物图问题 析典例·建模型 1．（2026·山西临汾·一模）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．（参考数据：，，，）    (1)图2中，______； (2)靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）．求乘客水杯的最大高度． 研考点·通技法 1. 抽象几何图形 将实物（如楼梯、滑梯、吊车臂）抽象为直角三角形，标注已知边长和角度（如仰角、坡角）。注意实物中的水平线、铅垂线对应直角边。 2. 建立边角关系 根据已知条件选择三角函数（sin、cos、tan）。若涉及多个直角三角形（如旗杆+人眼高度），设公共边为未知数，列方程组求解。 3. 结果实际检验 所求边长应满足实物尺寸合理性（如高度为正、长度大于0）。注意单位换算（厘米/米），结果按要求取近似值。最后作答时需明确所求量（如“臂长至少为多少米”）。 破类题·提能力 1．（2026·江西宜春·一模）2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)若小腿部长，求的长； (3)点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 2．（2026·海南·模拟预测）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·湖南长沙·一模）计算：． 2．（2026·重庆大渡口·二模）如图，是某牧场的四个放牧点，且在同一平面内．位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向． (1)求和两放牧点之间的距离；（参考数据：．结果保留整数） (2)现甲从放牧点出发，沿前往放牧点，乙从放牧点出发沿方向前往A放牧点，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到放牧点距离的3倍时，甲距离放牧点多少千米？ 3．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 4．（2026·山东淄博·一模）如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 5．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在正方形中，E，F分别是对角线和边上的点，． (1)连接，求证：，并判断与之间的数量关系． (2)如图2，在矩形中，，分别是对角线和边上的点，已知，求的长． (3)如图3，在菱形中，，交的延长线于点，点在对角线上，为的中点，，求的长． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项11 锐角三角函数及实际问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年中考，锐角三角函数及实际应用为必考内容，分值约8-15分。题型涵盖选择题（求三角函数值）、填空题（网格中求值）及解答题（实际问题建模）。核心考查解直角三角形，测量高度、距离为高频情境，常与圆、四边形等几何图形融合。 全国2026年命题趋势分析 2026年命题将延续“基础+应用+融合”的格局。首先，基础题仍以特殊角三角函数值与网格中构造直角三角形求值为主，难度中等。其次，解答题将继续强化实际应用，测量楼高（背靠背、母子模型）、航海定位（方位角）、坡度坡角、物理光学（折射）等真实情境将成为命题载体，更加突出数学建模能力。 第三，跨板块融合趋势明显，锐角三角函数与圆（圆周角、弦切角）、四边形（矩形折叠）、二次函数（坐标系中构造直角三角形）的结合题将频繁出现，尤其在填空压轴题中。最后，部分考区可能引入无图或需补全图形的题目，要求考生具备更强的几何构图能力。教师在备考复习中也普遍关注这些综合应用方向。 全国2026年预测 2026年中考，解直角三角形的实际问题仍是解答题热点，预计以测量高度、距离为主，需灵活选用“背靠背”或“母子”模型。网格背景下的三角函数求值题将作为小题稳定出现，考查构造直角三角形的技巧。圆与三角函数的综合题难度较大，可能出现在压轴位置，需重点训练。 题型01 特殊角的三角函数值的计算 析典例·建模型 1．（2026·北京石景山·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 研考点·通技法 1. 牢记数值与图形 熟记30°、45°、60°的sin、cos、tan值（如sin30°=1/2，tan45°=1）。结合含30°的直角三角形（边长1:√3:2）和等腰直角三角形（1:1:√2）帮助记忆，避免混淆。 2. 避免运算错误 计算时先化简每个三角函数值，再代入表达式。注意tan90°无意义需排除。涉及平方时（如sin²30°）先算平方再求和，根号结果要化简。 3. 活用互余关系 若角度非特殊角（如15°），可转化为特殊角的和差（45°-30°）或用互余关系（sin15°=cos75°）。也可构造辅助线（角平分线、垂线）直接计算比值。最后检验结果是否在[-1,1]范围内。 破类题·提能力 1．（2026·云南楚雄·一模）计算：． 【答案】 【分析】先分别计算零次幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的平方和特殊角的三角函数值，再按照有理数加减运算法则依次计算得出结果． 【详解】解： ． 2．（2026·山东济南·一模）计算：． 【答案】 【分析】原式分别计算负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、零次幂以及算术平方根，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， ． 题型02 特殊四边形中的三角函数问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点D在上，．过点A，C分别作，的平行线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据条件先证明四边形是平行四边形，再利用等角对等边证明即可； （2）过点作于点，利用三线合一和锐角三角函数比求得，进而利用勾股定理可求的长度，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ，，且， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ． 研考点·通技法 1. 构造直角三角形 在矩形、菱形或正方形中，通过作高、连接对角线或平移边，将四边形分割为直角三角形。例如菱形中，利用对角线互相垂直构造直角三角形，结合勾股定理求边长。 2. 利用特殊角与边比 若菱形或正方形中含30°、45°、60°角，直接使用对应三角函数值计算边长或对角线长。矩形中已知一边和一角，用tan或cos求邻边。 3. 结合性质导角 利用矩形（直角）、菱形（对角线平分内角）、正方形（90°角且对角线平分45°角）的性质，将已知角转化到直角三角形中。设未知边长，根据三角函数列方程，解后检验是否符合四边形特性（如对角线相等）。 破类题·提能力 1．（2026·北京昌平·一模）如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合是的中点，证明四边形是平行四边形，结合证明其为矩形； （2）过点作于点，结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化为求对应边的长度． 【详解】（1）证明：，分别为，中点， ， ，为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：过点作于点． 在中，， 设，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，． 2．（2026·安徽铜陵·二模）如图1，点E是正方形的边上一点（不与点A，D重合），连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，且． (1)求的值； (2)如图2，若点E是的中点，求的值； (3)如图3，若，请确定点M的位置，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M是的中点，理由见解析 【分析】（1）证明，再结合锐角三角函数求解即可； （2）设，则，过点F作于点P，可得，则，证明，求出，再由正切的定义求解即可； （3）设，则，过点F作于点Q，求出，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点F作交的延长线于点G， 由旋转知，， ∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 由点E是的中点，得， 如图2，过点F作于点P， 由（1）知， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：点M是的中点， 设，则， 如图3，过点F作于点Q， 由（1）知， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，则点M是的中点． 题型03 圆中的三角函数问题 析典例·建模型 1．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由平行线的性质得到，即可证明； （2）连接，过点作交延长线于点，可得，再分别解求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，为半径， ∴，即， ∵， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，而， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 利用圆周角转化 同弧所对的圆周角相等，将已知角转移至含直径（直角）的三角形中。若出现直径，则直径所对圆周角为90°，可直接构造直角三角形，利用三角函数求边长。 2. 连半径作垂直 过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得中点，构造直角三角形。已知半径和弦长可求圆心角三角函数；已知圆心角和半径可求弦长。注意半径与切线的垂直关系。 3. 结合相似列比例 若圆中无直角三角形，可找相似三角形（如弦切角定理、相交弦定理），将三角函数转化为对应边比例。设未知数列方程，解后用三角函数值检验。 破类题·提能力 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，为半圆O的直径，点P在的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E． (1)求证：； (2)若半圆O的半径长为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连接，则，由等边对等角可得，由切线的性质可得，，利用垂直得出，再由等量代换确定，结合等角对等边即可证明； （2）根据正切函数得出，确定，，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵与相切于点C，与的延长线相交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）解：∵的半径为4． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 解得， ∴． 2．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点E，过A点作交延长线于点D，过点C作的切线，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等角的余角相等证明，即可得到； （2）连接．利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得到，在和中，解直角三角形求得，，设，利用勾股定理列式计算求得，再在中，利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴． ∴． ∴， ∴； （2）解：连接． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，． 在中，． 题型04 与锐角三角函数有关的新定义型问题 析典例·建模型 1．（2026·广东东莞·一模）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角． 【概念理解】 (1)根据概念，完成下列问题： ①如图1，是正度三角形，是正度角．若，则________； ②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为________． 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是正度三角形，是钝角，是正度角时，存在的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点、是圆上的两点，弦与交于点．连接，，和都是正度三角形，且、分别为正度角时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据新定义进行列式计算，即可作答． ②根据新定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理列方程再求解即可； （2）作，根据新定义可得，再证明，利用相似三角形的性质和锐角的正切的比例关系证明即可； （3）设，结合、分别为正度角，得出，，运用三角形内角和性质，得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵是正度三角形，是正度角，， ∴， 则， ②设正度角的度数为x． 根据题意可得：， 解得：， ∴正度角的度数为； （2）证明：如图1，作交于D， ∴， ∵是正度三角形，是钝角，是正度角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示： 设， ∵是正度角， 则 ∵是直径， ∴， 则， ∵是正度角， ∴在中，， ∵， ∴， 由内角和可得， 解得， ∴． 研考点·通技法 1. 理解新运算定义 仔细阅读新定义的规则，例如定义“α⊕β=sinα+cosβ”或“正弦平方函数”。用具体特殊角（30°、45°）代入验证，明确运算是数值计算还是关系式。 2. 转化为常规三角函数 将新定义中的符号用标准三角函数（sin、cos、tan）表示，化简表达式。注意新定义可能涉及非特殊角，需利用互余关系（sinα=cos(90°-α)）或勾股定理进行转化。 3. 构造直角三角形求解 若新定义与边长比值有关（如“α的正弦值为m/n”），可构造直角三角形，设边长列方程。结合已知条件（如角度互余、边角关系）建立方程，解出未知量后检验是否满足锐角范围（0°<α<90°）。 破类题·提能力 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）综合与探究 【定义】三角形一边上的点将该边分为两条线段，若这两条线段长度的乘积等于这个点与该边所对顶点距离的平方，则称这个点为三角形中该边上的“亮点”．如图（a），在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“亮点”． 【概念理解】 （1）如图（b），在中，，，，分别是的高线，角平分线，中线．请判断，，三点中哪些是中边上的“亮点”，并说明理由． 【性质应用】 （2）如图（c），在中，，，．若是边上的“亮点”，求的长． 【拓展提升】 （3）如图（d），内接于⊙，是中边上的“亮点”且．若，求的值． 【答案】（1），是中边上的“亮点”，理由见解析；（2）或9；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确理解“亮点”的定义是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，则，据此可得答案； （2）作于点，分点在点左侧和点在点右侧，两种情况，解直角三角形求出的长，设出的长，表示出的长，根据，，建立方程讨论求解即可； （3）延长交于点，连接、，证明，推出，即可得到，解直角三角形得到；设，则，，进而得．求出．则，据此可得答案． 【详解】解：（1），是中边上的“亮点”，理由如下： 是的高线， ， ， ∵， ∴， ， ， 点是中边上的亮点 在中，是中线， ， 点是中边上的亮点． （2）过点作于， ①如图，当点在点左侧时， 在中，， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴ 解得，（舍） ∴； ②如图，当点在点右侧时，由①可知，， 设，则， ∵是边上的“亮点”， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍） 即． 综上所述，的长为4或9． （3）延长交于点，连接、， ，， ， ， ． 点是中边上的亮点， ， ． ∵， ∴ ， 设，则，． ． 在中，． 又， ．解得． ． 题型05 解直角三角形的应用之仰俯角问题 析典例·建模型 1．（2026·辽宁沈阳·一模）申伯楼是信阳浉河区浉河公园内的标志性景观，属信阳新八景之一，不仅是狮河烟火休闲季活动场地，更是全域旅游线上的特色景点．某综合与实践小组开展测量申伯楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量申伯楼高度 实物图和测量示意图    测量说明 申伯楼前有一座高为的观景台，已知观景台的倾斜步道的坡度为．该小组在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为，在观景台处测得申伯楼顶部的仰角为． 测量数据 ，，， 备注 点，，在同一条水平直线上．参考数据：， 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别求和的长． (2)求申伯楼的高度．（此问结果精确到） 【答案】(1)， (2)的高度约为 【分析】（1）根据坡度的定义可得，结合勾股定理得，列出方程，可求出和的长； （2）过点作于点，令，可用表示、的长度，再结合，即可得出的高度． 【详解】（1）解：∵倾斜步道的坡度为，， 故， ∴， 由，得， 解得，． （2）解：过点作于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 即， 解得， 故的高度约为． 研考点·通技法 1. 画图标注已知角 根据题意画出直角三角形，仰角（视线在水平线上方）标注在视线与水平线之间，俯角在下方。明确已知边、角，标出未知量（如高度、距离）。 2. 选择合适三角函数 已知对边和邻边用tan，已知斜边用sin或cos。若涉及两个直角三角形（如测楼高），设公共边为未知数，分别列方程联立求解。 3. 近似计算与单位 结果按要求取近似值（如精确到0.1米）。注意统一单位（米/千米），避免计算错误。最后检验所得角度是否在合理范围内（仰俯角0°~90°）。 破类题·提能力 1．（2026·河南周口·一模）项目式学习 拂云阁是开封清明上河园内的标志性仿宋建筑，造型优雅，阁高入云．某数学兴趣小组用自制的测角仪开展了一次测量拂云阁高度的项目式学习活动，测量报告如下： 课题 测量拂云阁的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪等 自制测角仪的使用方法 利用量角器和铅锤自制如图1所示的简易测角仪，使用过程如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点与视线在同一直线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 测量过程 如图3，小聪利用上述工具测量拂云阁的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走站在点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为．已知小聪的眼睛到水平地面的距离为 （图中点在同一条水平直线上，点均在同一平面内，，） 参考数据 问题解决 求拂云阁的高度（结果保留整数） 【答案】 【分析】延长交于，设，则，由等腰三角形性质得，由正切函数得，即可求解． 【详解】解：延长交于， ，，， ， 设，则， 在中，， ， 在中，， 即， 解得， （）； 答：拂云阁的高度． 2．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 某校综合与实践小组的同学在学习了解直角三角形后，用所学知识对教学楼的高度进行测量．他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案： 测量教学楼的高度 组别 甲 乙 工具 测角仪 三角板，皮尺 测量示意图 测量方案与数据 如图1，组长用测角仪在点处测得教学楼最高点的仰角，测角仪 如图2，组长站在点处，眼睛在点处用三角板观测教学楼最高点的仰角，面向教学楼前进至点处，眼睛在点处用三角板观测到教学楼最高点的仰角，组长的眼睛到水平地面的距离，用皮尺测得 说明 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，都在上 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，点，，都在上 参考数据 ，，，， 计算 …… …… 问题解决： (1)你认为哪个组的测量方案存在问题，请指出并提出改进建议． (2)根据没有问题的测量方案，计算教学楼的高度（结果精确到）． 【答案】(1)甲组的测量方案存在问题；甲组的测量方案缺少到的距离，故应测量测角仪到教学楼的距离 (2) 【分析】（1）根据求解的过程，判断出甲组的测量方案缺少到的距离； （2）设，由解直角三角形可得，，故可得出方程，解出对应的值，即可求出的高度． 【详解】（1）解：甲组的测量方案存在问题， 甲组的测量方案缺少到的距离，故应测量测角仪到教学楼的距离． （2）解：根据乙组测量方案计算.如答图，连接并延长，与交于点， 由题意，得四边形和四边形都是矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：教学楼的高度约为． 题型06 解直角三角形的应用之方位角问题 析典例·建模型 1．（2026·湖南益阳·二模）某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 【答案】(1) (2)能在上午11:20前到达 【分析】(1) 过点作于点，利用及方向角求出的长，即为最短距离． (2) 在中，利用和求出的长，再计算骑行所需时间与 20分钟比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 监测员从处沿正南方向骑行到处， 为正南方向，为东西方向， 从到沿北偏西方向，， ， 在中，， ， 他与湿地监测站之间的最短距离为． （2）解：在中，，， 点位于的南偏西方向， ， ， 骑行速度为， 所需时间， 分钟， 从骑行回需要11.25分钟， 出发，经过11.25分钟后为11:11:15， 能在上午11:20前到达． 研考点·通技法 1. 画图建立坐标系 以观测点为中心，按“上北下南，左西右东”画方向标。将方位角（如南偏东30°）转化为与正南或正北方向的夹角，标在图中，明确已知边长和角度。 2. 构造直角三角形 过目标点向南北或东西方向作垂线，将斜三角形分割为两个直角三角形。设未知数（如垂线段长），利用三角函数（sin、cos、tan）列方程求解。 3. 解后检验与作答 求出距离或角度后，检查是否符合方位表述（如距离为正数）。若要求“航行时间”，用路程除以速度。注意单位统一（海里/千米），最终结果按要求取近似值。 破类题·提能力 1．（2026·重庆·模拟预测）如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ） (1)求A、B两地的距离（结果保留根号）； (2)小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米 【分析】（1）过点作于点，解直角三角形即可求得，； （2）设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点，分别求得，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 依题意，（米）， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：如图，设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点， ∴米， ∵小昆与小萱步行的速度之比为， ∴， 设米，则米，米， 在中，， ∴米，米， ∴米， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：（不是第一次相距100米，舍去）， ∴（米）， 答：当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米． 2．（2026·重庆·一模）为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛．如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向100米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离（结果保留小数点后一位）； (2)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点．同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给．机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半．当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常．求此时机器狗“成真”与点的距离（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过作于，过作于，在，中，分别求得，进而根据，即可求解； （2）设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点，设，，在中，根据得出在，在，中，分别表示出，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如答图： 过作于，过作于， ， 由、都是东西方向，即，则， 四边形是矩形，即，， 由题意，得，， 在中，，， ，， 在中，，， ． ， ， （米）， 答：点到点的距离为米． （2）设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点， ， 由题可得，．故 设． 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ，， 设，由修复模式下机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半可得， 由题意可知，， ，， 在中，，得， 在中，，得， ， 解得，（米）， 答：此时机器狗“成真”与点的距离约为米． 题型07 解直角三角形的应用之坡度坡比问题 析典例·建模型 1．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 研考点·通技法 1. 理解坡度概念 坡度i = tan= （h为铅直高度，l为水平宽度）。坡比常写作1 : m形式，即i = 。注意区分坡角与坡度，避免混淆。 2. 构造直角三角形 过坡顶作水平线、铅垂线，形成直角三角形。已知坡比和一边长，可用设h = k、l = mk表示两边，再通过勾股定理求斜边长（坡面长）。 3. 实际问题应用 求加固加宽后的土石方量（体积=底面积×长）时，需分别计算原坡面和新坡面的截面积差。注意单位统一，结果保留根号或按要求取近似值。最后检验坡比是否小于1（通常坡度小于45°）。 破类题·提能力 1．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，由三角形内角和定理得，在中，，可得，从而可求出； （2）过点作于点，过点作于点，求出，再求出，，可得，进而得出，即可求出． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴ ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 又， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·四川泸州·模拟预测）某风景区内有一片百年梨园，园内梨树古朴苍劲，花开时节如云似雪，蔚为壮观．某数学学习小组带着测量工具来到该景区开展综合实践活动－测量梨树的高度．如图，梨树生长在一斜坡上方的平地上．在斜坡底部点处测得梨树顶端点的仰角为，在斜坡点处测得点的仰角为，斜坡长度为26米，坡度（图中各点均在同一平面内）． (1)求坡上平地离水平地面的高度； (2)求梨树的高度．（参考数值：，，结果保留1位小数） 【答案】(1)10米 (2)5.8米 【分析】（1）过点作于点，根据得，设，则，根据勾股定理列方程求解即可； （2）延长交于点，则四边形是矩形，得，解得，从而得，，解可得结论． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴设，则， 又米， 由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴米， 所以，坡上平地离水平地面的高度为10米； （2）解：延长交于点，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, ∴； ∴， 由（1）知， ∴， 又， 在中，， ∴， ∴， 解得：（米）． 题型08 解直角三角形的应用之实物图问题 析典例·建模型 1．（2026·山西临汾·一模）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．（参考数据：，，，）    (1)图2中，______； (2)靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）．求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1)125 (2) 【分析】（1）过点B作，根据两直线平行，同旁内角互补的性质解答即可； （2）过点作的垂线交于点，利用在中，，求得即可解答，注意不要遗漏杯托E处凹陷的深度． 【详解】（1）解：如图，过点B作，    则， ∵靠背垂直于地面，小桌板平行于地面， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线交于点，    由（1）可知， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴乘客水杯的最大高度约为． 研考点·通技法 1. 抽象几何图形 将实物（如楼梯、滑梯、吊车臂）抽象为直角三角形，标注已知边长和角度（如仰角、坡角）。注意实物中的水平线、铅垂线对应直角边。 2. 建立边角关系 根据已知条件选择三角函数（sin、cos、tan）。若涉及多个直角三角形（如旗杆+人眼高度），设公共边为未知数，列方程组求解。 3. 结果实际检验 所求边长应满足实物尺寸合理性（如高度为正、长度大于0）。注意单位换算（厘米/米），结果按要求取近似值。最后作答时需明确所求量（如“臂长至少为多少米”）。 破类题·提能力 1．（2026·江西宜春·一模）2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)若小腿部长，求的长； (3)点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （2）连接，由题意得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； （3）过点作交的延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ∵， ． （2）解：如图，连接， 由题意得，， ∵机器人两条腿长度一致， ， ， ， ， ， 答：的长为； （3）解：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为． 2．（2026·海南·模拟预测）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)小明会被照射到；理由见解析 【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）解：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形， ， 米， ． 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·湖南长沙·一模）计算：． 【答案】2 【分析】根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，结合进行计算即可． 【详解】解： ． 2．（2026·重庆大渡口·二模）如图，是某牧场的四个放牧点，且在同一平面内．位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向． (1)求和两放牧点之间的距离；（参考数据：．结果保留整数） (2)现甲从放牧点出发，沿前往放牧点，乙从放牧点出发沿方向前往A放牧点，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到放牧点距离的3倍时，甲距离放牧点多少千米？ 【答案】(1)； (2)甲距离基地 【分析】（1）作于，作于，在中，解直角三角形可求得，，进而得到，证明四边形为矩形，得到，在中，解直角三角形可求得，进而可得，即可得到； （2）如图，当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处，作于点，连接，则，设，可表示出，，，在中，解直角三角形可表示出，，，在中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， 由题意得，，， ， 在中，， ， ， ，，， 四边形为矩形，， ，， ， 在中，, ， ， 即和两放牧点地之间的距离约为； （2）解：如图，当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处， 作于点，连接，则，， 设，则， 甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍， ， ， 在中，，， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 整理得， 解得，（负值，舍去）， 答：当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲距离放牧点的距离是． 3．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 4．（2026·山东淄博·一模）如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． (1)求的长； (2)如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，证明矩形，然后选择适当的直角三角形求解即可； （2）延长、交于点，在中，求得，再解，求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，交于点， 在中， ， ， ， ， ， 又， 得平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ， ； （2）解：延长、交于点， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 答：出水管的长为． 5．（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接 ，利用切线性质得 ，结合 证 ，再通过等腰三角形导角证 平分 ； （2）设 ，利用 平分 得 ，在 和 中分别用三角函数表示边，再由 列方程求 ； （3）在 中由 设 ，，求 ，再在 中求 ，结合 求 ． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 直线 与圆 相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ，即 平分 ； （2）解：设 ， ， ， 由（1）知 平分 ， ， ， ， ， 在 中，， 即 ，解得 ， ， 在 中，； （3）解：如图，过点 作 于点 ， ，， ， ， 又 ，，且 ， ， 在 中，， 设 ，则 ， ，， ， 在 中，，设 ， ， ， 由 得 ， ，即 ， ， 在 中，， ， 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在正方形中，E，F分别是对角线和边上的点，． (1)连接，求证：，并判断与之间的数量关系． (2)如图2，在矩形中，，分别是对角线和边上的点，已知，求的长． (3)如图3，在菱形中，，交的延长线于点，点在对角线上，为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和角度的和差，通过两组角相等证得；然后由勾股定理可得，结合相似三角形对应边成比例列式，即可解答； （2）连接，根据矩形的性质和勾股定理求得，进而得到，从而证得，最后由相似三角形对应边成比例列式，即可解答； （3）连接，交于点，根据菱形的性质和勾股定理求得，，从而证明，得到，再由菱形的面积公式求得，进而求得，代入比例式即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ． ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， 在直角三角形中，由勾股定理，得， ， ， （或）； （2）解：如图2，四边形为矩形，连接， ， 在直角三角形中，由勾股定理，得， ， ， ， ， ， ，即， 解得； （3）解：如图3，连接，交于点， ∵四边形为菱形，， ． 在直角三角形中，由勾股定理，得8， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 解得， ， ， 解得． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $