精品解析：云南昆明市第八中学2025-2026学年下学期月考一高一数学试卷（A卷）

昆八中2025—2026学年度下学期月考一 高一数学试卷（A卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 命题/审题：高二特色数学备课组 一、单选题：每小题5分，共40分.每小题所给四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，， 则 2. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 3. 已知，，且，则与夹角最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助数量积公式与夹角公式计算即可得. 【详解】由，故，即， 则， 当且仅当时，等号成立， 故，则，故与夹角最小值为. 4. 已知函数的零点分别为，则大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合零点定义可得函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，画函数图象，结合图象判断结论. 【详解】由， 得， 所以函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 画函数与函数图象， 如图所示： 结合图象，得， 故选：D 5. 已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 6. 记半径为的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入球体和圆锥的体积、表面积公式，计算即可. 【详解】解：由题意可得：，， 设圆锥的高为，母线长为，则， 所以，. 因为，则，所以， 由，则，所以， 因此，. 7. 给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 8. 已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 可知函数为上的偶函数，． 因为在上单调递增，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 不等式可化为， 所以，解得或． 二、多选题：每小题6分，共18分.每小题所给四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，若满足条件的是唯一的，则的值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】ACD 【解析】 【分析】当或时是唯一的，即可判断. 【详解】因为，， 所以当或时，满足条件的是唯一的，故符合题意的有A、C、D. 故选：ACD 10. 如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，下列命题中是真命题的是（ ） A. 四棱锥的体积恒为定值 B. 延长与直线DC交于点，延长与直线DA交于点，则P、B、Q三点共线 C. 截面四边形周长最小时，点的位置不唯一 D. 为底面ABCD对角线AC和BD的交点，在棱上存在点，使平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三棱锥的体积公式，分析A选项；结合定理“若两个不重合的平面存在公共点，则该点一定在两个平面的交线上”对B选项进行判断；分析截面四边形为平行四边形，利用该长方体的侧面展开图，分析C选项；利用线线平行、线面平行、面面平行对选项D进行分析； 【详解】对于选项A，四棱锥的体积， 由于两个三棱锥和三棱锥的底面面积为定值，高也为定值，故体积恒定，故A正确； 对于选项B，由直线与直线交于点，即点在平面内，也在平面内， 同理点在平面内，也在平面内，点在平面内，也在平面ABCD内， 故P、B、Q在平面和平面的交线上，故P、B、Q三点共线，故B正确. 对于选项C，截面四边形周长：， 由于平面平行于平面，平面与截面交于， 平面与截面交于，故平行， 同理，平行，则截面四边形为平行四边形；； 由侧面展开图可知，当三点共线，即位于中点时，的和最小， 截面四边形的周长最小，因此，满足条件的只有一个，故C错误； 对于选项D，由于点为底面的对角线和的交点， 则点也为对角线和的中点，过一定存在一个平面与平面平行， 且该平面必然与棱相交，设该交点为，则平面，故D正确. 故选：ABD． 11. 函数与（，）在上的图象恰有三个交点、、，且是直角三角形，则（ ） A. 的面积 B. C. （）时两函数的图象必相交 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】需先求两函数交点的一般形式，确定区间内三个交点的参数值，再根据直角三角形推导和的范围，最后验证各选项的正确性. 【详解】两函数的交点满足，即，解得，故交点的横坐标为：，纵坐标为（交替出现）. 在区间内恰有三个交点，设对应（时超出区间），则交点坐标为. 为直角三角形，且，直角必在点. ，. 由勾股定理可得，，得，B选项正确. ，，. 综上，，D选项正确. ，A选项错误. 由上可知当时，此时，超出了定义域，C选项错误. 三、填空题：每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设正四棱台的高为，上底面的面积为，根据正棱台的体积公式列方程求出，进而可求得三棱锥的体积． 【详解】如图，设正四棱台的高为，上底面的面积为， 因为，所以下底面的面积为， 所以正四棱台的体积，解得， 所以三棱锥的体积． 13. 已知，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式及同角三角函数关系列式计算得解. 【详解】由，得， 又因为，可得，所以， 所以， 则. 14. 已知为的外接圆圆心，且有，，则的周长为______. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，为的外接圆圆心， 所以 ， 得， 则的周长为 四、解答题 15. 已知向量，满足，且向量与的夹角为． （1）若向量与向量共线，求k的值； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的性质，若两个向量共线，则存在实数，使得一个向量等于乘以另一个向量，联立方程组求解即可； （2）利用向量的数量积公式，及向量模长的平方等于向量自身的平方，计算求解即可. 【小问1详解】 因为向量与向量共线，则存在实数， 使得， 所以，解得． 【小问2详解】 因为，，且向量与的夹角为， 所以， 则. 16. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合诱导公式即可求解； （2）由三角形面积公式结合余弦定理，即可解得各边长，进而求得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 因为，则， 则， 因为，所以， 则有，解得，则. 【小问2详解】 由题意得，其中， 则，解得， 由余弦定理得， 因为，则， 则的周长为. 17. 如图，在三棱锥中，点E，F，G，H分别在棱，，，上． （1）若四边形为平行四边形，证明：平面； （2）若E，F，G，H均为所在棱的中点，三棱锥的体积为，多面体的体积为，求． 【答案】（1）四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面． 平面，平面平面， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形为平行四边形得，由线面平行的判定定理得平面，再根据线面平行的性质得，即可得证； （2）连接，，将三棱锥的体积和四棱锥的体积用表示出来，相加得，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， 为棱的中点， 点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 则三棱锥的体积， 四棱锥的体积， 故． 18. 在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式进行化简，然后结合余弦定理求解. （2）利用已知条件和余弦定理求得，然后根据列出关于的方程求解. （3）根据，然后两边平方，用来表示，然后根据的范围求解的范围. 【小问1详解】 ，， ，. . 又，. 【小问2详解】 周长为19，，①. 中，由余弦定理，即②. 联立①②可得. 设，为的角平分线， 则，即，解得. 【小问3详解】 是边上靠近的一个三等分点，. 两边平方可得. 又，. 由正弦定理可得， . ，. ， 19. 对于定义在上的连续函数，若存在常数（），使得对任意的实数都成立，则称是阶数为的回旋函数. （1）试判断函数是否是一个阶数为-1的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数的值； （3）若回旋函数（）在上恰有2026个零点，求的值. 【答案】（1）不是，理由如下： 因为， 所以， 所以不恒成立，如， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义代入计算即可； （2）求解，令，求出，再代入化简即可； （3）令，得出，分奇偶性讨论得出，结合（2）写出解析式，求出零点的通解，解不等式即可. 【小问1详解】 不是，理由略； 【小问2详解】 设是阶数为t的回旋函数， 则对都成立， 则当时，，则； 则可变形为， 若为偶数，则对都成立，则，， 显然对都成立，； 若为奇数，则对都成立，则，， 显然； 综上所述，； 【小问3详解】 因为（）是回旋函数， 所以对任意的x都成立， 令，则， 若为奇数，则；若为偶数，则； 则，得， 则可变形为， 由（2）可知上式对任意的x都成立，故符合题意，故 所以， 令，解得， 因为（）在上恰有2026个零点， 则，得， 因为，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中2025—2026学年度下学期月考一 高一数学试卷（A卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 命题/审题：高二特色数学备课组 一、单选题：每小题5分，共40分.每小题所给四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则与夹角最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 4. 已知函数的零点分别为，则大小顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 记半径为的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分.每小题所给四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，若满足条件的是唯一的，则的值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，下列命题中是真命题的是（ ） A. 四棱锥的体积恒为定值 B. 延长与直线DC交于点，延长与直线DA交于点，则P、B、Q三点共线 C. 截面四边形周长最小时，点的位置不唯一 D. 为底面ABCD对角线AC和BD的交点，在棱上存在点，使平面 11. 函数与（，）在上的图象恰有三个交点、、，且是直角三角形，则（ ） A. 的面积 B. C. （）时两函数的图象必相交 D. 三、填空题：每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 13. 已知，，则______. 14. 已知为的外接圆圆心，且有，，则的周长为______. 四、解答题 15. 已知向量，满足，且向量与的夹角为． （1）若向量与向量共线，求k的值； （2）求． 16. 在中， （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 如图，在三棱锥中，点E，F，G，H分别在棱，，，上． （1）若四边形为平行四边形，证明：平面； （2）若E，F，G，H均为所在棱的中点，三棱锥的体积为，多面体的体积为，求． 18. 在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 19. 对于定义在上的连续函数，若存在常数（），使得对任意的实数都成立，则称是阶数为的回旋函数. （1）试判断函数是否是一个阶数为-1的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数的值； （3）若回旋函数（）在上恰有2026个零点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $