题号猜押06 广东广州中考数学22～23题 方程的实际应用，三角函数的实际应用，尺规作图与证明，四边形的综合（解答题）（广州专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 广东广州中考数学22~23题（解答题） 考点1 二元一次方程组的实际应用 1．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)①；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【分析】 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) 甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元 (2) 购买甲种奖品件，乙种奖品件时总费用最少，最少总费用为元 【分析】 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 故甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元； （2）解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 依题意可得：， 解得： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵且m为正整数， ∴当时，， (元)， 答：当学校购买件甲种奖品，件乙种奖品时，花费最少，最小费用为元． 3．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 【答案】(1)购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元 (2)至少买乙种快餐20份 【分析】 【详解】（1）解：设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一份甲种快餐需要20元，购买一份乙种快餐需要15元； （2）解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份， 依题意得：， 解得：． 答：至少买乙种快餐20份． 4．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【分析】 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 5．（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】(1)型设备单价是元，型设备单价是元． (2)，最少购买费用是元． 【分析】 【详解】（1）解：设型设备单价为元，型设备单价为元，由题意得 解得， 答：型设备单价是元，型设备单价是元． （2）解：由购买型设备台得购买型设备台． 由型设备数量不少于型设备数量的一半，得 解得， ∵， ∴． 在中，，随的增大而增大． ∴当时，有最小值， （元） 综上，与的函数关系式为，最少购买费用是元． 6．（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表： 价格 进价（元件） 售价（元件） (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？ 【答案】(1)每枚糯米咸鹅蛋的进价是元，每个肉粽的进价是元 (2)为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元 【分析】 【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元； （2）设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合， 根据题意得：， 解得：， 设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 答：为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 7．（2025·广东肇庆·一模）2025年正值中国传统农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室，已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元． (1)求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格； (2)该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量． 【答案】(1)每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元 (2)购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件 【分析】 【详解】（1）解：设每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是m元，每个蛇形挂件的价格是n元， 根据题意得 解得 答：每个蛇宝宝毛绒玩具的价格是60元，每个蛇形挂件的价格是16元． （2）解：设购买a个蛇宝宝毛绒玩具，b个蛇形挂件， 根据题意得， ∴． ∵a，b是正整数， ∴， 答：购买4个蛇宝宝毛绒玩具，5个蛇形挂件． 8．（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 【答案】(1)单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量 (2)9个 【分析】 【详解】（1）解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量， 根据题意得：， 解得： 答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量； （2）解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为9， 答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界． 考点2 一元二次方程的实际应用 9．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【分析】 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 10．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 【答案】(1)道路的宽为3米 (2)当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元 【分析】 【详解】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得，， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为3米； （2）解：设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w， 根据题意得：， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w有最大值12500， 答：当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元． 11．（2023·24九年级上·广东深圳·期中）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ (2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】(1) (2)8元 【分析】 【详解】（1）解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 12．（2024·25九年级下·广东中山·期中）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为 (2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ，整理得：， 解得：（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为． （2）解：设小长方形的宽为，长为，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为． 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 13．（2023·广东佛山·模拟预测）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，某景区的游客人数三月份为5万人，五月份为万人． (1)求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； (2)该景区的门票价格为100元/人，依据往年数据，六月份购票人数约2万，门票价格每降低2元，游客人数增加500人，问当票价定为多少元时，可以使得门票收入最高？ 【答案】(1)四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为 (2)当票价定为90元时，可以使得门票收入最高 【分析】 【详解】（1）解：设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x， 由题意，得， 解方程得，舍去， 答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为； （2）解：设门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W元， 由题意，得， 化简，得， ， 当时，W取最大值，为2025000元． 票价定为元时，可以使得门票收入最高． 答：当票价定为90元时，可以使得门票收入最高． 14．（2024·广东·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 【答案】(1)这个花圃的长为10米，宽为8米 (2)购进A种树苗棵， B种树苗棵 【分析】 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得：， 整理，得： 解得． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． （2）解：设购进A种树苗棵， B种树苗棵，根据题意得： ， 解得， 答：购进A种树苗棵， B种树苗棵． 15．（2025·广东东莞·三模）某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 【答案】(1)米 (2)当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元 【分析】 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得：， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴通道的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元，对外开放的总月租金收入为元， 由题意得： ， ，， ∴150， 当时，(元)， ∴当每个车位的月租金上涨元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为元． 16．（2025·广东江门·一模）由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆． (1)若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率． (2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？ 【答案】(1) (2)40辆 【分析】 【详解】（1）解：设自行车销售的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：自行车销售的月平均增长率为； （2）解：设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆， 依题意得：， 解得：， 答：该商场购进A型车不超过40辆． 考点3 分式方程的实际应用 17．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】(1)该商场两次共购进这种运动器材套； (2)每套器材售价至少是元． 【分析】 【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 18．（2026·广东江门·一模）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元 (2)购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元 【分析】 【详解】（1）解：假设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元， 根据题意，得出方程， 解得， 经检验，是方程的解，则， 故甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元． （2）解：设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个， 根据题意，列出不等式组， 解得， 由于m取正整数，则m取10，11，12，13， ∵总费用表达式为， 若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好， 故应购买甲种机器人个，乙种机器人个， 此时费用为（万元）， 答：购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元． 19．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1) 2.2元 (2) 购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元 【分析】 【详解】（1）解：设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，由题意，得： ， 解得 ， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 则第二批单株进价为（元）； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； （2）解：设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，由题意，得：，解得 ； ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 ， （株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元. 20．（2026·广东茂名·一模）五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． (1)若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； (2)请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 【答案】(1)B种花卉的单价 (2)A种花卉单价24元，B种花卉单价30元 (3)共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝 【分析】 【详解】（1）解：由每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍，可知代表B种花卉的单价； （2）解：设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意，且是原方程的解， 元，元， 所以A种花卉单价24元，B种花卉单价30元； （3）解：设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝（m，n均为正整数），根据题意得： ， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，符合要求； 当时，，符合要求． ∴共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝． 21．（2026·广东·一模）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销A、B两款吉祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元． (1)求A、B两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？ (2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶数量的，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？ 【答案】(1)A型玩偶的单价为90元，B型玩偶的单价为50元； (2)小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为620元． 【分析】 【详解】（1）解：设B型玩偶的单价为x元，则A型玩偶的单价为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根，且符合题意， ， 答：A型玩偶的单价为90元，B型玩偶的单价为50元； （2）解：设小江购买A型玩偶a个，则B型玩偶个，购买费用为w元． 根据题意得 ， 由题意可得：， ， ∴w随a的增大而增大 又∵a为正整数， 时，w取最小值． 元． 答：小江购买3个A型玩偶、7个B型玩偶，使得购买费用最低，最低费用为620元． 22．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克 (2)道路宽度为 【分析】 【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得， 经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． （2）解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 23．（2026·广东深圳·一模）2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品 (2)应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件 【分析】 【详解】（1）解：设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （件）． 答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件， 根据题意得：， 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 又为正整数， 最大取20， 当时，取得最大值，为（件）， 此时（天）． 答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件． 24．（2025·26九年级下·广东中山·月考）防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等． (1)求A 队、B队的每小时检查的户数； (2)两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车) M 型 2 50 N型 1.5 40 【答案】(1)A队每小时检查16户，B队每小时检查12户 (2)租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 【分析】 【详解】（1）解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户； （2）解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元， 由题意得， 解得， 由题意得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最小， w最小值元， ， 答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 考点4 三角函数的实际应用 25．（2026·广东江门·一模）《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”这是世界上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示．其简易图如图2所示：，呈水平状态，在点上方处放置一面小镜，从目标射来的光线经点反射后到达点，再经过点反射到达观察者眼中．图中，为法线（即，镜面）． (1)如图2，若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若米，求点到点的距离（答案保留根号）． 【答案】(1) (2)点到点的距离为米 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点， 由（1）可得：，， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴点到点的距离为米． 26．（2026·广东·一模）斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥的部分示意图，其中拉索与水平桥面的夹角，拉索与水平桥面的夹角，两条拉索顶端之间的距离，底端之间的距离，求桥塔的长．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】桥塔的长约为34.0m 【详解】解：由题意可知，， 在中， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ． 在中， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴， ∴． ∴． 答：桥塔的长约为． 27．（2026·广东汕头·一模）实践与探究： 【主题】汕头市小公园中山亭亭高测量及底座面积的计算． 【素材】如图所示：     ①一底座为正八边形的八角形攒尖顶建筑汕头市小公园中山亭； ②一架80厘米高的测量仪 ． 【实践操作】 步骤1：在距离中山亭底座中心29米处立一个测量仪； 步骤2：利用测量仪（仪高）测得中山亭顶部A的仰角为，通过测量得知底座正八边形的外接圆半径为4米； 步骤3：对测量数据进行分析与计算． 【实践探索】（；；） (1)求中山亭的高度．（结果保留整数） (2)求中山亭底座正八边形的面积；（结果保留根号） 【答案】(1)14米 (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图，过点作于点F， 由题意得米，、， 、、， ， 四边形为矩形， 、、， ， 在中，， ， 答：中山亭的高度AB约为14米； （2）解：如图，连接和，过点作于点M， 由题意得：、， 在中，， ， ， 答：中山亭底座正八边形的面积为． 28．（2026·广东汕尾·一模）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于与水平线平行，与的夹角为与l的夹角为．经测量：为，为，为，． (1)填空：______，______； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽的高度，并直接写出此时伸缩杆的长度．（参考数据：） 【答案】(1)64，53 (2)高度约为，长度约为 【分析】 【详解】（1）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：64，53； （2）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为． 29．（2026·广东佛山·模拟预测）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1) (2)放书后整个书架占地的宽约为 (3)会影响通行 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴在中， ； （2）解：如图，过点F作，交于点M，过点I作于点N． ∵，， ∴， 故 在中，，， 则． 在中，，， 则， ∴， ∴放书后整个书架占地的宽约为； （3）解：∵，，1米， ∴． ∴会影响通行． 【点睛】本题以桌边置物架为实际背景，融合解直角三角形的应用，通过构造直角三角形、分段计算求解实际尺寸，考查数学建模与运算能力，体现数形结合与转化化归的核心数学思想． 30．（2026·广东佛山·一模）某公园有一座古塔（如图1），数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度．图2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形． 步骤一：在点A处，测得塔尖C的仰角为； 步骤二：从点A出发，向前走15m到达点B处．此时在B处测得塔尖C的仰角为．点D是塔尖C在地平线上的正投影． (1)尺规作图：作出表示古塔高度的线段，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)根据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图所示： 线段即为所求； 作图原理： 如图，连接，，，， 由作图可知，，， 垂直平分， 即，满足正投影的定义． （2）解：设古塔的高度， ， ． 由题意可知，，，， ， ，， 在中， ， 解得，，（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 即． 答：古塔的高度为． 31．（2026·广东佛山·一模）某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中，都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知，平分． (1)求证：． (2)现测得，坐垫点E在中管的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为．当时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)证明见详解 (2)车座点E到地面的距离为 【分析】 【详解】（1）证明：∵，点M、C、D在同一直线上， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图，过点E作交于点F， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵后车轮圆心点D到地面的距离为， ∴车座点E到地面的距离为． 32．（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时操作人员取盘手势不自然 【分析】 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， ∵在中，，， ， ． 同理可得，， 点D，E重合， ． （2）解：如图，连接，过A点作于点H， ，， ， 在中， ， ， ， ， 此时操作人员取盘手势不自然． 考点5 尺规作图与证明 33．（2026·广东中山·一模）在矩形中，连接． (1)如图，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：如图，点P即为所作； 由作图可得：， ∴； （2）解：如图， 由（1）得，， ∵ 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ 解得． 34．（2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：作 的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆， 如图所示即为所求. （2）解：设与的另一个交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 35．（2026·广东广州·一模）如图，已知四边形为矩形． (1)尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：∵四边形为矩形． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． 36．（2026·广东佛山·一模）如图，是平行四边形的一条对角线． (1)实践与操作：用尺规作图法作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：由作法得：垂直平分， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 37．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，． (1)用尺规作图法在线段上找到一点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以D为圆心，为半径作，求证：与相切． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，连接即为所求； （2）证明：如图， ， ， ∵直线垂直平分线段， ， ， ， 又， ， ， 为的半径， 与相切． 38．（2026·广东汕头·一模）如图，已知中，． (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． (2)求证：直线为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； 证明：平分， ， 、， ， ， ， ， ， 与相切； （2）证明：连接， 与相切， ， 由作法可知：， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 直线为的切线． 39．（2026·广东·一模）如图，以为直径的中，点C为上一点，连接，切于点B． (1)作的平分线，交于点M，交于点N，交于点G（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求 （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴，． ∵是的切线， ∴， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 又∵， ． 40．（2026·广东深圳·一模）如图1，在锐角中，． (1)在上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，如图2，连接的外接圆交于点，连接，若，求E的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解法一：作的平分线得到，再作交AC于点． 如图，点即为所求．     解法二：过点作的垂线交于点． 如图，点即为所求．   解法三：作的平分线交于中点，再以为直径作圆交于点． 如图，点即为所求． （2）解：， ． ， ， ，     是的外接圆的直径． 连接， ， 是中点．    由， 设，则， 由解得，   ． ． 考点6 四边形的综合 41．（2026·广东·一模）如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)选①，四边形是矩形；选②，四边形是菱形；证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：在中， ， ∴ ， ∵点E，F分别为的中点， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵即， ∴四边形是平行四边形； ①当时，如图，则是等腰三角形， ∵点E为的中点， ∴，即 ， ∴四边形是矩形； ②当时，如图，则是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 42．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，垂足为，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：在菱形中，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图所示， 设， ∵，，即， ∴， 又∵菱形，则对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．（2024·广东清远·二模）综合与实践 现有矩形纸片，其中，，将纸片进行如下操作： 步骤1：将纸片对折，使与重合，折痕为，展开如图①； 步骤2：连接图中的对角线，交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，如图． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)线段的长为． 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 由折叠的性质，可得，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图，连接， 由折叠的性质，可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握相关知识点是解题关键． 44．（2025·广东广州·二模）如图，四边形中，，，于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，四边形的形状，并证明你的结论； (3)连接，若，求长． 【答案】(1)见解析； (2)是菱形，见解析； (3)． 【分析】 【详解】（1）解：如图， （2）解：四边形是菱形，理由如下， 如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； （3）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 45．（2025·广东珠海·三模）已知中，，，点D为平面内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，当D在边上时，连接，线段与的数量关系为______；位置关系为______； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，分别取线段，的中点P，Q，连接，，，若，求的面积； (3)如图3，当D为外一点时，连接，分别取，的中点M，N，连接，证明：与的比值和夹角均为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析，与MN的比值是，BD和MN所成的锐角是 【分析】 【详解】（1）解：和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图1， 设的延长线交于F， 线段，的中点分别是P，Q， ，， ， 由（1）得， ，， ， 上的高， ； （3）证明：如图2， 连接，，设和交于点O， 和均为等腰直角三角形，点M，N是，的中点， ，，，； ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 与的比值是，和所成的锐角是． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 46．（2025·广东佛山·二模）如图，点E为平行四边形对角线BD上一点． (1)用尺规作图法作点F为线段BD上的点．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)连接CE，若经过A、C、E三点的圆也经过点F，求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，为所求作的图形. （2）证明：连接， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 经过三点的圆也经过点， 四边形是圆内接四边形， ， ， . 47．（2024·广东梅州·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 48．（2025·广东深圳·二模）（1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求． （2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求． （3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】 【详解】解：（1）由翻折可得， 四边形为矩形， ， ， ， ； （2）四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， ， 解得， ； （3）如图，当点在线段上， 过点作交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在线段延长线上， 过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为或． 1．（2025·广东梅州·一模）2025年4月23日是第30个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买1本科技类图书和2本文学类图书需63元，购买3本科技类图书和4本文学类图书需149元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过6800元，那么科技类图书最多能买多少本？ 【答案】(1)科技类图书每本23元，文学类图书每本20元 (2)科技类图书最多能买266本 【分析】 【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元， 由题意得：， 解得， 答：科技类图书每本23元，文学类图书每本20元． （2）解：设购买科技类图书本，则购买文学类图书本， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大正整数值为266， 答：科技类图书最多能买266本． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 (1)学校购进红、蓝文化衫各几件？ (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫200件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)学校购进红文化衫50件，蓝文化衫150件 (2)学校购进红色文化衫150件时获得最大利润，最大利润是3750元 【分析】 【详解】（1）解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件， 依题意，得：， 解得：． 答：学校购进红文化衫50件，蓝文化衫150件； （2）解：设学校再次购进红文化衫a件，则蓝文化衫件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ∵，， ∴w随a的增大而增大． 当时，最大利润为3750元． 答：学校购进红色文化衫150件时获得最大利润，最大利润是3750元． 3．（2025·广东清远·一模）足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已． (1)若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？ (2)在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明． 【答案】(1)支 (2)该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场 【分析】 【详解】（1）解：设组有支球队， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：组有支球队； （2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场． 设该球队胜了场，平了场，则负了场． 依题意得：， 化简得：， 当时，，此时； 当时，，此时． 答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场． 4．（2025·广东汕头·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）． (1)求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)商场能否实现平均每月15000元的销售利润？ 【答案】(1) (2)这种台灯的售价应定为50元 (3)商场不能实现平均每月15000元的销售利润 【分析】 【详解】（1）解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个） ∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个， ∴这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少0个，列方程得 ． （2）解：依题意，得： ， 整理，得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这种台灯的售价应定为50元 （3）解：依题意，得： ， 整理，得：． ∵， ∴方程无解． ∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润． 5．（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 【答案】(1)种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； (2)购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 【分析】 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； （2）设购进个种书架，则购进个种书架， 由题意得：， 解得：， 设购买总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，， 答：购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 6．（2024·广东深圳·三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】(1)跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 (2)当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【分析】 【详解】（1）解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得 经检验，是原方程的解 跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； （2）解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为， 由题意得， 跳绳的数量不少于毽子数量的3倍， ， ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 7．（2024·广东深圳·一模）住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为．已知当地冬至这天中午时太阳光线与地面所成的角是．（参考数据：） (1)要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到）？ (2)如果两栋楼房之间的距离为，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光（忽略其他影响采光的因素）？ 【答案】(1)两楼间的距离应为 (2)这时南楼的影子会影响北楼一楼的采光，且影子在的高度为 【分析】 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 答：两楼间的距离应为； （2）解：如图2，过点作平行于， 在中，， ， ， 答：这时南楼的影子会影响北楼一楼的采光，且影子在的高度为． 8．（2024·广东·模拟预测）五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：） 【答案】浮漂与河堤下端之间的距离约为米 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过点作于点，， 则， ∵的坡比为， ∴， 设，， 在中，由勾股定理知，． 解得：（负值舍去）， ∴（米），（米）， 由题意得：米，，， ∴（米），（米）， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴（米）， 即浮漂与河堤下端之间的距离约为米． 9．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)推理与计算：在（1）的条件下，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：①如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，， ∴四边形为菱形； ②如图，四边形即为所求； 证明：由作图可知，，，， ∴四边形为菱形； （2）解：如图，作交于F， 设， ∵， ∴， ∵菱形的面积为2， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴菱形的周长． 10．（2026·广东深圳·一模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，是圆心． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以为对角线，、为边的平行四边形； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如下图：作，，构造平行四边形． （2）证明：连接并延长交于点，连接，， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． （3）解：，垂直平分交于点， ， ，， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】 11．（2025·广东惠州·一模）实践与探究 【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作大小的角呢？ 【实践操作】如图 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开，得到，如图1． 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕与折痕相交于点P．连接线段、，如图2． 第三步：折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，则可得到，如图3． 【问题解决】 (1)在图3中，求的度数，并证明； (2)在图2中，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：由折叠重合可得：，且， 在中，， ， ∵， 则：， 由折叠重合可得：， 则：； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠重合可得：，，， 由（1）可得：， 在中，， 又∵， ， ， 又∵，， ， 四边形是菱形． 12．（2025·广东清远·一模）【知识技能】 （1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________； 【数学理解】 （2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：； 【拓展探索】 （3）①试判断四边形的形状为___________； ②若纸的长、宽比为，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①矩形，② 【分析】 【详解】（1）解：由折叠得， 故答案为：； （2）证明：由题意得，四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ∵，， ∴，即， 又由折叠可得， ， ； （3）解：①矩形， ∵由上可得四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； ②纸的长、宽比为， 不妨设， 由翻折得，， 同理可得四边形是矩形， ∴． 由（2）得，故，， 设，则，则 由， 得， 解得． ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 广东广州中考数学22~23题（解答题） 考点1 二元一次方程组的实际应用 1．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 2．（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 3．（2024·广东·模拟预测） 某班去红色根据地旧址研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需50元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需85元． (1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？ (2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1000元，问至少买种乙快餐多少份？ 4．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 5．（2025·广东韶关·一模）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点，某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买、B两种型号直播设备，若购进10台A型设备和18台型设备需共用3000元；若购进20台A型设备和24台B型设备需共用4800元． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为W元，求W与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 6．（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表： 价格 进价（元件） 售价（元件） (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？ 7．（2025·广东肇庆·一模）2025年正值中国传统农历乙巳蛇年，某画室计划购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件装饰画室，已知购买4个蛇宝宝毛绒玩具和1个蛇形挂件共需256元，购买6个蛇宝宝毛绒玩具和3个蛇形挂件共需408元． (1)求每个蛇宝宝毛绒玩具和每个蛇形挂件的价格； (2)该画室用320元购买了蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件，分别求购买蛇宝宝毛绒玩具和蛇形挂件的数量． 8．（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 考点2 一元二次方程的实际应用 9．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 10．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 11．（2023·24九年级上·广东深圳·期中）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ (2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 12．（2024·25九年级下·广东中山·期中）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 13．（2023·广东佛山·模拟预测）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，某景区的游客人数三月份为5万人，五月份为万人． (1)求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； (2)该景区的门票价格为100元/人，依据往年数据，六月份购票人数约2万，门票价格每降低2元，游客人数增加500人，问当票价定为多少元时，可以使得门票收入最高？ 14．（2024·广东·模拟预测）某小区计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为，另三面用总长的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为．设垂直于墙的边长为． (1)求这个花圃的长和宽． (2)该小区计划购进A，B两种树苗共17棵种在花圃里，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗的数量． 15．（2025·广东东莞·三模）某小区有一个长为米，宽为米的矩形停车场，布局如图所示．阴影部分为停车位，其余部分是等宽的通道通道与停车场的边平行或垂直，小区打算对所有停车位的地面进行重新喷漆，已知喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，对外开放的总月租金收入最高，最高为多少元？ 16．（2025·广东江门·一模）由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆． (1)若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率． (2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？ 考点3 分式方程的实际应用 17．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． (1)该商场两次共购进这种运动器材多少套？ (2)如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 18．（2026·广东江门·一模）2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 19．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 20．（2026·广东茂名·一模）五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． (1)若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； (2)请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 21．（2026·广东·一模）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州顺利开幕，全运会期间，以中华白海豚为原型设计的“喜洋洋”、“乐融融”等吉祥物系列玩偶深受全国人民的欢迎，某商店正在热销A、B两款吉祥物玩偶，A型玩偶的销售单价比B型玩偶高40元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A型玩偶的销售额为7200元，B型玩偶的销售额为4000元． (1)求A、B两种型号玩偶的销售单价分别是多少元？ (2)小江现在打算买10个玩偶，且买A型玩偶的数量不少于B型玩偶数量的，请你帮助小江设计一种购买方案，使得购买费用最低，最低费用为多少元？ 22．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 23．（2026·广东深圳·一模）2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 24．（2025·26九年级下·广东中山·月考）防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等． (1)求A 队、B队的每小时检查的户数； (2)两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车) M 型 2 50 N型 1.5 40 考点4 三角函数的实际应用 25．（2026·广东江门·一模）《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”这是世界上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示．其简易图如图2所示：，呈水平状态，在点上方处放置一面小镜，从目标射来的光线经点反射后到达点，再经过点反射到达观察者眼中．图中，为法线（即，镜面）． (1)如图2，若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若米，求点到点的距离（答案保留根号）． 26．（2026·广东·一模）斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥的部分示意图，其中拉索与水平桥面的夹角，拉索与水平桥面的夹角，两条拉索顶端之间的距离，底端之间的距离，求桥塔的长．（结果精确到，参考数据，，） 27．（2026·广东汕头·一模）实践与探究： 【主题】汕头市小公园中山亭亭高测量及底座面积的计算． 【素材】如图所示：     ①一底座为正八边形的八角形攒尖顶建筑汕头市小公园中山亭； ②一架80厘米高的测量仪 ． 【实践操作】 步骤1：在距离中山亭底座中心29米处立一个测量仪； 步骤2：利用测量仪（仪高）测得中山亭顶部A的仰角为，通过测量得知底座正八边形的外接圆半径为4米； 步骤3：对测量数据进行分析与计算． 【实践探索】（；；） (1)求中山亭的高度．（结果保留整数） (2)求中山亭底座正八边形的面积；（结果保留根号） 28．（2026·广东汕尾·一模）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于与水平线平行，与的夹角为与l的夹角为．经测量：为，为，为，． (1)填空：______，______； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽的高度，并直接写出此时伸缩杆的长度．（参考数据：） 29．（2026·广东佛山·模拟预测）小李同学进入初三复习以来，要用到的书籍与资料越来越多，他的课桌上已经放不下，小李在妈妈的建议下决定买一个桌边置物架，如图1所示，为适合自己的课桌尺寸，爱学习的小李量出相关数据如下：整体高，长，宽．同时还发现适合放书的有8层，如图2，每层之间的距离为．最底下一层可以用来放雨伞或水瓶，如图3，小李量得放书的每层隔板与水平线的夹角约为． (1)求最底层置物区开口的长； (2)已知目前初中课本标准是长约，宽，小李将最厚的一本书厚约如图4所示横放在书架上，则放书后整个书架占地的宽为多少？ (3)《中小学校设计规范》规定：中小学普通教室课桌椅横向留空不宜小于，否则会造成通行不便，小李同学与小明同学并行同排，且两课桌边缘相距，小明也买了一个同样的置物架，置物架可放在桌下部分约为宽，小李同学与小明同学将置物架靠桌边放，并尽可能贴近课桌，若放入的书厚度都不超过，是否会影响通行？ （结果精确到．参考数据：，，） 30．（2026·广东佛山·一模）某公园有一座古塔（如图1），数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度．图2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形． 步骤一：在点A处，测得塔尖C的仰角为； 步骤二：从点A出发，向前走15m到达点B处．此时在B处测得塔尖C的仰角为．点D是塔尖C在地平线上的正投影． (1)尺规作图：作出表示古塔高度的线段，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)根据测量数据，计算古塔的高度．（参考数据：，，） 31．（2026·广东佛山·一模）某品牌共享单车停放在水平地面的实物图如图1，其简易图如图2，其中，都与地平线l平行，点M、C、D在同一直线上．已知，平分． (1)求证：． (2)现测得，坐垫点E在中管的延长线上且高度可调节，后车轮圆心点D到地面的距离为．当时，求车座点E到地面的距离（结果保留根号）． 32．（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 考点5 尺规作图与证明 33．（2026·广东中山·一模）在矩形中，连接． (1)如图，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若，，求的长． 34．（2026·广东江门·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 35．（2026·广东广州·一模）如图，已知四边形为矩形． (1)尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求证：． 36．（2026·广东佛山·一模）如图，是平行四边形的一条对角线． (1)实践与操作：用尺规作图法作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 37．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，． (1)用尺规作图法在线段上找到一点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以D为圆心，为半径作，求证：与相切． 38．（2026·广东汕头·一模）如图，已知中，． (1)求作：（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ①在边上找一点P，以点P为圆心，为半径作，使得与相切于点D； ②过点B作的切线切于点E． (2)求证：直线为的切线． 39．（2026·广东·一模）如图，以为直径的中，点C为上一点，连接，切于点B． (1)作的平分线，交于点M，交于点N，交于点G（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 40．（2026·广东深圳·一模）如图1，在锐角中，． (1)在上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，如图2，连接的外接圆交于点，连接，若，求E的长． 考点6 四边形的综合 41．（2026·广东·一模）如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 42．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，垂足为，，求的值． 43．（2024·广东清远·二模）综合与实践 现有矩形纸片，其中，，将纸片进行如下操作： 步骤1：将纸片对折，使与重合，折痕为，展开如图①； 步骤2：连接图中的对角线，交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，如图． (1)求证：； (2)求线段的长． 44．（2025·广东广州·二模）如图，四边形中，，，于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，四边形的形状，并证明你的结论； (3)连接，若，求长． 45．（2025·广东珠海·三模）已知中，，，点D为平面内的一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，当D在边上时，连接，线段与的数量关系为______；位置关系为______； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，分别取线段，的中点P，Q，连接，，，若，求的面积； (3)如图3，当D为外一点时，连接，分别取，的中点M，N，连接，证明：与的比值和夹角均为定值，并求出这个定值． 46．（2025·广东佛山·二模）如图，点E为平行四边形对角线BD上一点． (1)用尺规作图法作点F为线段BD上的点．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)连接CE，若经过A、C、E三点的圆也经过点F，求证： 47．（2024·广东梅州·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 48．（2025·广东深圳·二模）（1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求． （2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求． （3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求． 1．（2025·广东梅州·一模）2025年4月23日是第30个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买1本科技类图书和2本文学类图书需63元，购买3本科技类图书和4本文学类图书需149元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有300名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过6800元，那么科技类图书最多能买多少本？ 2．（2025·广东深圳·模拟预测）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4250元购买了红、蓝两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） 红色文化衫 25 45 蓝色文化衫 20 35 (1)学校购进红、蓝文化衫各几件？ (2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫200件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的3倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 3．（2025·广东清远·一模）足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已． (1)若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？ (2)在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明． 4．（2025·广东汕头·一模）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在元范围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）． (1)求出在售价为元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)商场能否实现平均每月15000元的销售利润？ 5．（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 6．（2024·广东深圳·三模）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． (1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ (2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 7．（2024·广东深圳·一模）住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为．已知当地冬至这天中午时太阳光线与地面所成的角是．（参考数据：） (1)要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到）？ (2)如果两栋楼房之间的距离为，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光（忽略其他影响采光的因素）？ 8．（2024·广东·模拟预测）五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：） 9．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在下方求作点，使四边形为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)推理与计算：在（1）的条件下，若，菱形的面积为2，求菱形的周长． 10．（2026·广东深圳·一模）如图，是等腰三角形，，是的外接圆，是圆心． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作以为对角线，、为边的平行四边形； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径． 11．（2025·广东惠州·一模）实践与探究 【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作大小的角呢？ 【实践操作】如图 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开，得到，如图1． 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕与折痕相交于点P．连接线段、，如图2． 第三步：折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，则可得到，如图3． 【问题解决】 (1)在图3中，求的度数，并证明； (2)在图2中，判断四边形的形状，并说明理由． 12．（2025·广东清远·一模）【知识技能】 （1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________； 【数学理解】 （2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：； 【拓展探索】 （3）①试判断四边形的形状为___________； ②若纸的长、宽比为，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $