提分小卷限时练02（解答ABC三组，综合训练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦代数、几何、统计等核心模块，通过综合题组实现知识交叉融合，强化抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|3题|计算、化简求值、不等式组|运算能力与符号意识的递进| |几何综合|4题|平行四边形证明、圆切线、三角形旋转|空间观念与推理能力的综合| |函数应用|3题|一次函数平移、二次函数性质、函数建模|模型意识与数形结合思想| |统计分析|1题|玉米产量数据处理|数据意识与数据分析能力| |新定义探究|1题|垂联点概念理解|创新意识与问题解决能力|

限时训练02（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 【答案】 【分析】根据绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 2．计算、解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) 1 (2) 【详解】（1）解： ； （2） 解： ， 解①得：， 解②得：， ∴原不等式组的解集为． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】先根据分式的混合运算法则进行计算，再将数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时 ， 原式． 4．如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数平移时k不变可知，再把点代入求出b的值，进而可得出结论． （2）解关于x的不等式得到，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数的图象过点， ∴． ∴这个一次函数的表达式为； （2）解： 解不等式得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴， 解得：． 故m的取值范围． 6．北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 【答案】小正方形的边长为 【分析】先表示出图中小长方形的宽和长，再根据图中小正方形的边长列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，图中小长方形的宽为，长为． 横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为， 设横向两行中间间隔为，则竖向中间间隔宽度为． 根据题意，得：， 解得， ． 答：小正方形的边长为． 7．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：）如下表． 注：表示10000平方米，即1公顷． 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 低海拔区 9843 8650 7996 7705 7506 7437 6517 5398 高海拔区 7800 7267 7533 7867 6333 6400 5874 5201    (1)请补全条形统计图： (2)8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定； (3)已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大， a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较． 【答案】(1)见解析 (2)，高 (3)选择b、c方案 【分析】（1）根据表格中数据补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义进行判断即可；根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势判断其稳定性； （3）根据控制变量法选择品种相同的玉米，改变气温和含氧量即可比较哪一种因素对玉米产量的影响较大． 【详解】（1）根据表格中F品种在高海拔地区的产量为6400，补全条形统计图，如图所示：    （2）将8个不同品种的玉米在低海拔区产量从大到小排序：9843，8650，7996，7705，7506，7437，6517，5398， 中位数为； 根据条形统计图中高低海拔区的变化趋势可以判断在高海拔地区更加稳定； 故答案为：，高； （3）a选用了两个不同品种的玉米，没有控制变量，故a不选， b、c选用了相同品种的玉米，而且改变了气温和含氧量，故可以选； 故选用b、c两种方案． 【点睛】本题考查了数据的统计与应用，熟练掌握中位数、条形统计图的概念是解题的关键． 8．如图，为的弦，为的中点，为延长线上一点，与相切，切点为，连接并延长，交于点，交直线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质可得，由余角的性质可求解； （2）设的半径为r，先证明，可得，再解三角形求出，然后列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接，， ， ， 与相切， ， ， ， 是等腰三角形， 为的中点， ， ， ， ， ； （2）解：设的半径为r． ∵O为的中点，C为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中． ． 在中，． ∴． ∵， ∴， 化简，得， 解得， 经检验，是原方程的解． ∴的半径为． 9．某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下： 成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80 甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29 乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5 进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为_________（结果保留整数）； 经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为_________（结果保留整数）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】（）求出 ，当时，求出即可； （）根据画函数图象方法步骤即可求解； （）求出 ， ，然后相减即可； 由甲温度升高，总下降量为 ，升温后增长量等于乙的增长量，可知 向下平移个单位，即，然后通过图象即可求解． 【详解】（1）解：∵与近似满足一次函数关系， ∴设， 当时，；当时，， ∴，解得：， ∴ ， ∴当时， ， 故答案为：； （2）解：如图， （3）解：两种营养液中核心成分的质量均为， ∴ ， ， ∴两种营养液的平均株高增长量之差约为 ， 故答案为：； ∵甲温度升高，总下降量为 ，升温后增长量等于乙的增长量， ∴ 向下平移个单位，即，如图， 观察函数图象可知：两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为或， 故答案为：或． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)直接写出顶点的坐标（用含m的代数式） (2)已知，为抛物线上两点，对于，，都有．记抛物线在P，Q之间的部分为图形G，若G上存在两个点A，B（A在B左侧），点沿图形G从A运动到B的过程中，s随t的增大而减小，求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将抛物线一般式变为顶点式即可得出顶点坐标； （2）先根据已知条件并结合求出m的初步取值范围，然后根据抛物线的性质分析图形G上s随t的变化情况，进而确定m的最终取值范围． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴点P必在对称轴右侧， 又∵G上存在A、B两点，T在从A到B的过程中，s随t的增大而减小， ∴点Q需要在对称轴左侧， ，即， ∴抛物线与轴的交点在对称轴左侧， 如图，作点P关于直线的对称点， ∵函数图象开口向上，时，y随x的增大而减小，且， ， 即． 11．在中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点E在直线上，求证：； (2)如图2，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）先说明，由旋转的定义可得，易得，进而得到，即；再说明，，利用含30度直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形外角的性质可得，如图2：将绕点A顺时针旋转得到，则，，进而得到、，再利用勾股定理以及解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，即． （2）解：，证明如下： ∵在中，，， ∴， 如图2：将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2：连接，过A作于G， 在中，    ，， 在中，    ， ∴， ∴，即． 12．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外的一点C，给出如下定义：若直线，中一条垂直弦，另一条是的切线，则称点C为弦的“垂联点”． (1)已知点，，. ①如图1，在点，，中，弦的“垂联点”是____； ②如图2，若点C为弦的“垂联点”，直接写出的长； (2)已知点，，对于线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，设的长为d，当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)①，；②线段的长为 (2) 【分析】（1）①根据题干中的定义分别判断点，，是否为弦的“垂联点”；②设点，分两种情况讨论：第一种情况，当是⊙的切线，，可得，，第二种情况，当是⊙的切线，，可得，，即可求出的长； （2）先找出随着的增大而增大，随着的减小而减小，即求出最大值和最小值作为临界点；当点S在点时，可得是⊙的切线，，作直径，连接，易得点M、Q、T三点共线，，当点S在经过点的的垂线上时，即点K，作直径，连接，易得点K、P、T三点共线，，，由此可求d的取值范围． 【详解】（1）解：①点，，， ，，， ， ， 又，是的半径， 是的切线， 即点是弦的“垂联点”； 点，，， ，，， 与不垂直，即点不是弦的“垂联点”； 点，，， ，， ， ，是的半径， 是的切线， ，， ， ， 即点是弦的“垂联点”； ②点，，点C为弦的“垂联点”， 设点，分两种情况讨论： 第一种情况，当是的切线，， ，， ， ， ， ， 第二种情况，当是的切线，， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，线段的长为； （2）解：线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，随着S的变动在一定范围内变动，且点，， 如图所示，在线段上取一点S，作直径，连接、， 的长为d， 只考虑是的切线，一种情况即可， ， ， ， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， 即求出最大值和最小值作为临界点； 当点S在点时，取最大值，即最大， 则是的切线， ，如图所示，作直径，连接， ，，，，， ， ，是的切线， ， ， ，，是直径， 点M、Q、T三点共线， ， ， ， ， ， ， 当点S在经过点的的垂线上时，即点K，取最小值，即最小， 如图所示，作直径，连接， 同理可得，点K、P、T三点共线，， ，点，， ，， ， ，， ， ， ， 则d的取值范围为． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 2．解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解得， 解得， 原不等式组的解集为． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 4．如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点到边的距离为． 5．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据直线过点，得出的值，再将点代入即可得出的值； （2）先求出两函数与轴的交点坐标，然后根据图象即可求得． 【详解】（1） 解：函数的图象过点， ， 解得， 将点代入得：， 解得， （2）解：由（1）知，，； 对于，当时，； 对于，当时，； 如图所示，当时，的函数图象位于上方且位于的下方时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，，． 6．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为，竹节人的头长与上身长的比为，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度． 【答案】这个竹节人的总高度为 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，下身长为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 7．《男生女生向前冲》是安徽卫视的一档大型水上冲关节目，冲关选手分男女赛道竞赛，冲关成功的，将获得大奖．每年年末该节目举办年度竞速赛段，以2025年为例，分为厂牌赛1、2，半决赛，总决赛4个赛程．以下是选取的4名冲关选手的比赛成绩（单位：）与赛程的折线统计图： 其中，为女生，为男生．衡量一位冲关选手的能力主要通过计算其4次比赛平均值、极差、方差等．因男女体能有别，为公平起见，定义“离散率”：即该场第一名的成绩与一位选手的同场成绩之差与该场第一名的成绩的比值（单位：），这样可以更好地确认其实力．引入分别为女生、男生当场第一名的成绩． 选手 厂牌1 厂牌2 半决赛 决赛 选手 平均值 极差 方差 平均离散率 (1)的值为 （保留两位小数）；方差越小，实力 （是/不）一定越强； (2)结合平均数、极差，判断女选手中 最强（填“”或“”）； (3)规定极差越大，平均离散率越小，结合方差数据，从而判定选手实力越强，请你对的实力进行排序． 【答案】(1)，不 (2) (3) 【分析】本题考查了求平均数，极差，方差的意义； （1）根据选手的四场比赛的成绩求得平均数，再根据方差的意义，即可求解； （2）求得的极差，比较的平均成绩与极差，即可求解； （3）首先比较平均离散率，再比较极差，结合方差数据，即可求解． 【详解】（1）解：， 方差小表示数据稳定，但实力强弱还取决于平均值，故方差小不一定实力强 故答案为：，不． （2）解：选手的平均成绩为：，极差为 选手的平均成绩 ，极差 的平均成绩更高，极差更小，故 更强， 故答案为：． （3）解：根据表格可知： ：极差 ，平均离散率 ，方差 ：极差 ，平均离散率 ，方差 ：极差 ，平均离散率 ，方差 ：极差 ，平均离散率 ，方差 平均离散率排序 根据平均离散率大小排序为 极差大小排序为 方差大小排序为 ∴的实力进行排序从强到弱为 8．如图，已知，为的直径，连接，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，． (1)求证：． (2)若，．求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角等于，可证明，即可得证； （2）设，则，，得到，如图，连接，，证明，可表示出，，得到，证明，表示出，进而用勾股定理，证明，可求得的长，最后在中，利用勾股定理列式计算即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，连接， 为的直径， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， 设，则，， ， ，， 如图，连接，， ，， ， 为的直径， ，即， ， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 解得． 9．某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度l（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为m时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量m（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64 通过分析数据发现，可以用函数刻画与m，与m之间的关系，回答下列问题： (1)在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； (2)与m的关系式为_________； (3)重新取A，B型弹簧各一个，再次进行实验．将质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等．若，则_________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1.3或6.8 【分析】解题的关键是数形结合及分类讨论思想的综合运用． （1）根据表格数据补全的函数图象即可； （2）根据图象可得与m是正比例函数，设与m的关系式为，根据待定系数法求解即可； (3）根据图象可得当，与m是正比例函数，求出；根据质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等，得，结合，即可求出；当时，是m的二次函数，求得对应函数的表达式，根据质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等，得，结合，即可求出． 【详解】（1）解：补全的函数图象如图： （2）解：根据图象可得与m是正比例函数， 设与m的关系式为， 代入可得，解得， ∴与m的关系式为； （3）解：①根据图象可得当，与m是正比例函数， 设与m的关系式为， 代入，得，解得， 与m的关系式为． ②当时，是m的二次函数，设与m的关系式为， （ 将，，代入，得 ， 解得， ∴与m的关系式为． ∵质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下， ∴当时，，， ∵使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，，． ∵使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得或(不合题意，舍去)． 综上，的值为1.3或6.8． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．过点作x轴的垂线，交图形G于点P，交直线于点Q，已知点H从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）化为顶点式即可求解； （2）分两种情况①当时，②当时，分别画图求解即可； 【详解】（1）解：， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：根据题意，图形的解析式为： 时，保留原抛物线：， 时，原轴右侧部分沿轴翻折，， ∵，（从运动到）， ∴，， ∴， ①当时，根据题意，图形G如图1所示； ，对，， 因此， 这是开口向上的二次函数，对称轴， ∴点H从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大； ②当时，根据题意，图形G如图2所示， 当时，，这是开口向下的二次函数，在内随增大而增大， 要使点H从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则， 解得：； 当时，，这是开口向上的二次函数，当时，随增大而增大， 要使点H从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则， 解得：（舍去）； 综上，或． 11．在中，，，于点D，过点B作，P是线段上一点，连接，作，交射线于点Q． (1)如图1，当时，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，点E为中点，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由，得．由外角定义可得． （2）在上取点N，使得，连接．则．可得．再证 ，得．由．可得．则． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）解：与的数量关系为：． 证明：如图，在上取点N，使得，连接． ， ． ． ， ． ， ，． ． ，， ． 在和中 ． ． ∵E是的中点， ． ， ． ． 12．在平面直角坐标系中，半径为1，是上不重合的两点，点是内或上一点（不与重合），点，分别在线段，上，如果存在点使（逆时针排列），则称点是线段关于点的“关联点”． (1)已知点，，，点与点重合，是线段中点．在中，是线段关于点的关联点的是_______． (2)若，点是线段关于点的“关联点”， ①若点，点，点所形成区域的面积为______． ②若，线段的取值范围是______． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题的解题关键是理解关联点的定义，通过定义与题给条件，确定是什么特殊三角形，再计算即可． （1）根据点坐标，可以得到，从而确定是等腰直角三角形，分别代入三个点的坐标，判断是否满足条件即可； （2）①根据，可以得到是等边三角形，点K的运动轨迹为圆弧（定弦定角），通过手拉手旋转，构造全等三角形，先找到点P，K不动时，只有点Q运动时点M的轨迹，再逐步加上点P与点K的运动，从而找到点M的所形成区域，再根据条件计算即可； ②利用①中的结论找到此时点M的运动范围，根据两点之间线段最短，以及图象找到最大值与最小值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又， ∴， 由题意，可知，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，即， 由图可知，所给点中，只有满足，，，P，Q逆时针排列； （2）解：①由题意，可得，点K在以为弦，圆周角为的圆弧上运动，如下图： 抽象出图形如下图，将绕点P逆时针旋转，得到， ∴，，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴点H在上，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点M在上， 先固定点P，K不动，只分析点Q运动， 由可知，当P，K不动时，点Q在线段上运动时，点M的运动轨迹为线段， 再令点P运动，点K仍保持不动， ∵，，， 当点P在上运动时，可视为沿平移，且最远端为， ∴点M的运动轨迹为平行四边形，其中点在射线上，，，如下图所示， 再令点K运动， 由构造方式可知，为点P与点A重合时，点B的对应点，，， ∴点为定点，是等边三角形， 又，， ∴， ∴（如下图左），或（如下图右） 又， ∴（如下图左），或（如下图右）， ∴点，A，B，四点共圆，点在弧上，       同理，点，A，B，四点共圆，点在弧上，如图所示，       综上所述，点M所形成区域如下图，两个弓形的组合体（不含下方弓形的圆弧，圆弧面积可忽略不计），其中一个弓形的圆心设为N，过点N作，，， ∴上下两个弓形全等，， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴面积为； ②∵，， ∴是等边三角形，点K在的中垂线上，即点K在y轴， ∴， 又， ∴点K与原点重合， 由（2）①可知，，， ∴此时与点A重合，点与点B重合，点M的运动范围为菱形，如下图， ∴当点M在线段上时，取得最小值，最小值为； 当点M与点或K重合时，取得最大值，最小值为， ∴． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 【答案】1 【分析】先计算乘方，三角函数，绝对值，负整数指数幂，再把各项结果相加即可． 【详解】解： 2．解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据两个解集的公共部分是不等式组的解集解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先化简分式，再由已知条件恒等变形得到，整体代入化简结果即可． 【详解】解： ， 由可得， 原式． 4．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理可得的长． 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 5．“骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为，纵距为的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 【答案】 【分析】设竖直平移距离为，则水平平移距离为，再根据平移次后的总横距与总纵距的倍数关系列方程求解． 【详解】解：设小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为，则水平方向的平移距离为， 根据题意，可得， 解得， 故小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为． 6．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既不小于函数的值，也不小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）用待定系数法，将已知两点代入一次函数，列方程组求解和，得到函数解析式； （）先作差比较时两个一次函数的大小，确定更大；再将“不小于两个函数”转化为时恒成立，整理得，分析在的取值范围，得出． 【详解】（1）解：∵一次函数过点和， ∴， 解得； （2）解：由（）得： ， ， 当时，作差比较两个函数的大小：， ∴时， ， ∵不小于两个函数， ∴只要满足时，恒成立即可， 整理得：， ∵， ∴， ∴对所有恒成立， ∴． 7．某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分(百分制)，对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．根据给出的信息，回答下列问题： ．教师评委打分：                   ．学生评委打分的频数分布直方图如下(数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组)：   ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 ①的值为 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则 91(填“”、“”或“”)； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制)．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是__________表中(为整数)的值为_____________． 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 【答案】(1)①；；② (2)乙， 【分析】本题考查频数分布直方图，加权平均数、众数、中位数、方差，理解加权平均数、众数、中位数、方差的意义和计算方法是正确解题的关键． （1）①根据众数以及中位数的定义解答即可； ②根据算术平均数的定义求出其余名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，教师评委打分中出现的次数最多，故众数， 名学生评委打分数据的中位数是第个数， 故的值位于学生评委打分数据分组的第组； 故答案为：；； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余名教师评委打分的平均数为， ； 故答案为：； （2）解：乙选手的平均数为， 甲选手的平均数为， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数， 名专业评委给甲选手的打分为，，，，，甲选手的方差，名专业评委给丙选手的打分为，，，， 甲选手的方差小于丙选手的方差， 丙选手的平均数大于甲选手的平均数，小于或等于乙选手的平均数， ， ， 为整数， 为整数的值为． 故答案为：乙，． 8．如图，是的直径，是上两点，连接，，平分，，交延长线于点． (1)求证：且是的切线； (2)若的半径为，，求的长和的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)；． 【分析】（）先利用直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补，证明与相似，得到；再通过等腰三角形性质和角的等量代换，推出，结合是半径，证明是的切线； （）先由半径得，结合三角函数与勾股定理算出；再利用切线性质推得，证明，求出接着通过圆周角相等推出，设，列方程求解进而可得，最后结合同弧所对圆周角相等，求出． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ （两角分别相等的两个三角形相似）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵，平分， ∴， ∴； ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，的半径为， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理： ， ∵是的切线， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设， 解得：， ， ∵，， ∴， 即：． 9．如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在，的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 【答案】(1)； (2)①；②见解析；③ 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）①根据矩形的性质，结合，易证明，进而得到，即，据此解答即可；②根据表格信息，在坐标系中描点，画出图象即可；③将代入，解方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知，在、的长度这两个量中，确定的长度是自变量，的长度是这个自变量的函数； （2）解：①四边形是矩形， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 即； ②函数图像如下： ③由①知，， 当时，， 解得或（舍去）， ． 10．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于和点（点在点左侧），交轴于点，点是抛物线上一点． (1)求的值及点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若点抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当的长随的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) (3)或 【分析】（）利用待定系数法求出的值，得到抛物线的解析式，进而求出抛物线与轴的交点坐标即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）由已知可得，且， ，得到，设，画出函数图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， 整理得， 解得， ∵点在点左侧， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵点的横坐标为， ∴，且， ∵轴，交直线于点， ∴， ∴， 设，则函数图象的对称轴为直线， 当时，， 解得，， ∴函数图象与横轴的交点为和， 画函数图象如下： 由函数图象可知，当或时，的值（即线段的长）随的增大而减小， ∴当的长随的增大而减小时，求的取值范围或 11．如图，在中与中，，，设，点E为线段的中点，连接交于K．若点F为线段上一点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点P恰好在线段上，连接，与线段交于点G，连接． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)写出线段、、的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①在上找一点，以点E为圆心，为半径画弧交于F，连接，交线段于点G，连接； ②设，则，根据直角三角形斜边中点的性质得到，进而得到，在中，求出的度数，进而得到； （2）根据题意易证明，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用直角三角形的性质得到，进而得到，利用三角形中位线的性质得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：①补全的图形如图所示； ②设，则， ， 在中，E为中点， ， ， 在中， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知，， ， 由旋转的性质可知，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， 为中点， 为中点， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，对于图形Q和，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点P对图形Q的可视度，此时点P为图形Q的可视点． (1)已知点．在点中，对线段的可视度的点是_________； (2)已知：点．直线上存在点F，使得点F对四边形的可视度，求b的取值范围； (3)已知点，圆T的半径为1，若直线上存在长为1的线段，使得上所有点都是圆T的可视点P，且点P对于圆T的可视度满足，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，锐角三角函数； （1）根据定义判断是否等于即可； （2）若在线段上方，且时，要使得，在以为圆心，为半径的弧上；若在线段上方，且时，要使得， 在以为圆心，为半径的弧上；再根据对称性可得出点的可行区域，要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可，据此即可求出b的取值范围； （3）对于半径为1的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即时，，得出点在以为圆心，与为半径的圆环内（包括边界），然后讨论一条长为1的线段刚好卡在圆环上的临界状态，据此可求出到直线距离的范围，据此即可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：如图，连接，，，，，， ∵点，， ∴轴，轴， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，对线段的可视度为，对线段的可视度不是． （2）解：①若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； ∵圆心角， ∴圆周角， ②若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； ∵圆心角， ∴圆周角， 根据对称性与中心对称，将弧与弧组成的图案顺时针依次旋转、、所得到的图案，即为对四边形的可视度的点的可行区域，如下图所示， 要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可， ∴当与上的弧相切于点时， ∴， ∴， 又∵点在第二象限， ∴， 将代入得：， 解得：， 根据中心对称当与上的弧相切于点时，此时， 将代入得：， 解得：， 综上所述，． （3）解：对于半径为1的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即， 当时，如左图所示， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴此时， 当时，如右图所示， ∵，，， ∴平分，即， ∴此时， ∴当点对于的可视度满足时，， ∴点在以为圆心，与为半径的圆环内（包括边界）， ∴上所有点都是的可视点P，且点P对于的可视度满足，那么必定在这个圆环之内， ∴我们来讨论一条长为1的线段刚好卡在圆环上的临界状态： ①点在半径为2的上，点在半径为的上，此时过点作，如图所示， 设，则， ∵，， ∴，解得， ∴， ②分别在半径为2的上，如图所示， ∴此时由垂径定理可得， ∴， 综上所述，到直线距离需要满足， ∵直线与轴交于， ∴到直线距离， ∴，解得或， 综上所述，t的取值范围为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时训练02（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 2．计算、解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组：． 3．先化简，再求值：，其中． 4．如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 6．北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 7．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：）如下表． 注：表示10000平方米，即1公顷． 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 品种 低海拔区 9843 8650 7996 7705 7506 7437 6517 5398 高海拔区 7800 7267 7533 7867 6333 6400 5874 5201    (1)请补全条形统计图： (2)8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定； (3)已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大， a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较； c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较． 8．如图，为的弦，为的中点，为延长线上一点，与相切，切点为，连接并延长，交于点，交直线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 9．某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下： 成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80 甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29 乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5 进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为_________（结果保留整数）； 经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为_________（结果保留整数）． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)直接写出顶点的坐标（用含m的代数式） (2)已知，为抛物线上两点，对于，，都有．记抛物线在P，Q之间的部分为图形G，若G上存在两个点A，B（A在B左侧），点沿图形G从A运动到B的过程中，s随t的增大而减小，求出m的取值范围． 11．在中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点E在直线上，求证：； (2)如图2，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 12．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外的一点C，给出如下定义：若直线，中一条垂直弦，另一条是的切线，则称点C为弦的“垂联点”． (1)已知点，，. ①如图1，在点，，中，弦的“垂联点”是____； ②如图2，若点C为弦的“垂联点”，直接写出的长； (2)已知点，，对于线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，设的长为d，当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 2．解不等式组：． 3．已知，求代数式的值． 4．如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求点到边的距离． 5．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 6．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为，竹节人的头长与上身长的比为，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度． 7．《男生女生向前冲》是安徽卫视的一档大型水上冲关节目，冲关选手分男女赛道竞赛，冲关成功的，将获得大奖．每年年末该节目举办年度竞速赛段，以2025年为例，分为厂牌赛1、2，半决赛，总决赛4个赛程．以下是选取的4名冲关选手的比赛成绩（单位：）与赛程的折线统计图： 其中，为女生，为男生．衡量一位冲关选手的能力主要通过计算其4次比赛平均值、极差、方差等．因男女体能有别，为公平起见，定义“离散率”：即该场第一名的成绩与一位选手的同场成绩之差与该场第一名的成绩的比值（单位：），这样可以更好地确认其实力．引入分别为女生、男生当场第一名的成绩． 选手 厂牌1 厂牌2 半决赛 决赛 选手 平均值 极差 方差 平均离散率 (1)的值为 （保留两位小数）；方差越小，实力 （是/不）一定越强； (2)结合平均数、极差，判断女选手中 最强（填“”或“”）； (3)规定极差越大，平均离散率越小，结合方差数据，从而判定选手实力越强，请你对的实力进行排序． 8．如图，已知，为的直径，连接，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，． (1)求证：． (2)若，．求． 9．某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度l（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为m时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量m（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64 通过分析数据发现，可以用函数刻画与m，与m之间的关系，回答下列问题： (1)在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； (2)与m的关系式为_________； (3)重新取A，B型弹簧各一个，再次进行实验．将质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等．若，则_________（结果保留小数点后一位）． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．过点作x轴的垂线，交图形G于点P，交直线于点Q，已知点H从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求m的取值范围． 11．在中，，，于点D，过点B作，P是线段上一点，连接，作，交射线于点Q． (1)如图1，当时，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，点E为中点，用等式表示与的数量关系，并证明． 12．在平面直角坐标系中，半径为1，是上不重合的两点，点是内或上一点（不与重合），点，分别在线段，上，如果存在点使（逆时针排列），则称点是线段关于点的“关联点”． (1)已知点，，，点与点重合，是线段中点．在中，是线段关于点的关联点的是_______． (2)若，点是线段关于点的“关联点”， ①若点，点，点所形成区域的面积为______． ②若，线段的取值范围是______． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 2．解不等式组：． 3．已知，求代数式的值． 4．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 5．“骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为，纵距为的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 6．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既不小于函数的值，也不小于函数的值，直接写出的取值范围． 7．某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分(百分制)，对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．根据给出的信息，回答下列问题： ．教师评委打分：                   ．学生评委打分的频数分布直方图如下(数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组)：   ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 ①的值为 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则 91(填“”、“”或“”)； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制)．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是__________表中(为整数)的值为_____________． 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 8．如图，是的直径，是上两点，连接，，平分，，交延长线于点． (1)求证：且是的切线； (2)若的半径为，，求的长和的值． 9．如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F． 小明对线段，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 在，的长度这两个量中，确定_________的长度是自变量，_________的长度是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为_________（结果精确到） ②在平面直角坐标系中，画出（1）中确定的函数的图象； ③结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，________（结果精确到）． 10．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于和点（点在点左侧），交轴于点，点是抛物线上一点． (1)求的值及点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若点抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当的长随的增大而减小时，求的取值范围． 11．如图，在中与中，，，设，点E为线段的中点，连接交于K．若点F为线段上一点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点P恰好在线段上，连接，与线段交于点G，连接． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)写出线段、、的数量关系并证明． 12．在平面直角坐标系中，对于图形Q和，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点P对图形Q的可视度，此时点P为图形Q的可视点． (1)已知点．在点中，对线段的可视度的点是_________； (2)已知：点．直线上存在点F，使得点F对四边形的可视度，求b的取值范围； (3)已知点，圆T的半径为1，若直线上存在长为1的线段，使得上所有点都是圆T的可视点P，且点P对于圆T的可视度满足，直接写出t的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $