提分小卷限时练01（解答ABC三组，综合训练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦初中数学核心知识跨章节整合，通过基础计算、几何证明、函数应用、统计分析及创新题型，系统考查数学抽象、几何直观、推理能力与数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|3题|计算、不等式组、代数式求值|数与式运算→代数变形→应用| |几何综合|4题|四边形证明与计算、圆切线、旋转|图形性质→空间观念→逻辑推理| |函数应用|3题|一次函数、抛物线综合|函数建模→数形结合→动态分析| |统计与实践|2题|数据分析、应用题|数据意识→模型观念→实际应用| |创新拓展|2题|新定义问题|抽象能力→创新意识→综合探究|

限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 2．解不等式组：． 3．已知，求代数式的值． 4．如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 6．列方程解应用题：学校礼堂舞台正上方有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示，每次搞活动都会在电子显示屏播出主题活动的标题，由于各次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的工作人员对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距；若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少？ 7．小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）．弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧．小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力（单位：），并记录了弹簧的伸长量（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）． 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.8 1.4 1.9 2.3 2.6 2.9 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当拉力为时，弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为________（结果保留小数点后一位）． ②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为________（结果保留小数点后两位）． 8．如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 9．某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 11．如图，在中，，（），是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 12．在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 2．解不等式组： 3．已知，求代数式的值． 4．如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 5．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 6．在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 7．2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_____； (2)表中_____30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____． 8．如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 9．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 10．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，先随增大而减小，后随增大而增大，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位（），得到图形，当时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 11．已知线段，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，将线段所在的射线绕点B顺时针旋转得到射线，其中．在射线上取一点C，连结，作交线段于点G． (1)如图1，当时，求证：平分； (2)如图2，当时，如图，在上取一点F，使，连结交于点M．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 12．对于点P，和直线l，若将绕点P逆时针旋转（）得到，使得与直线l相切，则称点P为和直线l的旋切点，当存在n个满足条件的时，称该点为n阶旋切点，其中最小的称为最小旋切角． 在平面直角坐标系中， (1)若的半径为1，直线，则在点，，中，点 是和直线l的旋切点，且为 阶旋切点； (2)已知点，的半径为2，直线，若点是和直线m的旋切点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，的半径为1，直线，点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，直接写出b的取值范围． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算 (1)； (2)． 2．计算、解不等式组： (1)计算：； (2)解不等式组：． 3．先化简，再求值：，其中． 4．如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 6．随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 7．为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 (1)写出表中m，n的值； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数    ②中位数    ③众数    ④方差 8．如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，补全图形，若，，求的长． 9．某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究． 速度 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 最大高度 80 220 350 440 500 480 420 360 300 250 (1)根据函数的定义，设______为y，______为x，y是x的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，回答下列问题： 下列说法正确的有______（填序号） ①y随x的增大而减小； ②当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高； ③速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低． (4)若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在______至______范围内（结果取整数）． 10．在平面直角坐标系中，抛物线，经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____； ②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 11．已知，如图，点是上的点，连接，点关于直线的对称点为点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到，在射线上取一点，使，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若，用等式表示，，三者之间的数量关系，并证明． 12．对于线段PQ和，给出如下定义：若平移线段PQ可以得到的一条弦（点，分别为点P，Q的对应点），线段的长度的最大值为k，则称点Q为点P关于的“k-平移点”，称k为点P关于的“Q-最远平移距离”，在平面直角坐标系xOy中， (1)如图所示，已知点，的半径为1，那么点是点A关于的一个“平移点”． ①在点，，，中，点________是点A关于的“平移点”； ②若线段，则点A关于的“C-最远平移距离”k的最小值是________，最大值是________； (2)已知点，的半径为2．点P，Q是以点为圆心，2为半径的上距离为2的任意两点，若点P关于的“Q-最远平移距离”k的取值范围均满足，则t的取值范围是：________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．解不等式组：． 【答案】 【详解】解：解不等式①：， 两边同乘以2，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解不等式②：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 所以，不等式组的解集为． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】由题意可得，再将所求式子进行约分，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 4．如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合是的中点，证明四边形是平行四边形，结合证明其为矩形； （2）过点作于点，结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化为求对应边的长度． 【详解】（1）证明：，分别为，中点， ， ，为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：过点作于点． 在中，， 设，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，结合题意可得，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和点， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， ∴， 当，即时，，不满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，故不符合题意； 当，即时，此时函数的图象与函数的图象平行，且在函数图象的下方，故满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，符合题意； 当，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的取值范围为． 6．列方程解应用题：学校礼堂舞台正上方有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示，每次搞活动都会在电子显示屏播出主题活动的标题，由于各次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播出的工作人员对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距；若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少？ 【答案】字距为 【分析】设字距为，则字宽为，边空宽为，根据标题字数为17个字可知，字数为17，边空为2，字空为，据此列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设字距为，则字宽为，边空宽为，依题意得： ， 解得， 答：字距为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的\实际应用，根据题意，找准数量关系列方程是解题关键． 7．小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）．弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧．小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力（单位：），并记录了弹簧的伸长量（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）． 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.8 1.4 1.9 2.3 2.6 2.9 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当拉力为时，弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为________（结果保留小数点后一位）． ②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为________（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)①；② 【分析】（1）观察表格数据可知拉力每增加，弹簧A的伸长量增加，据此即可解答； （2）根据表格数据描点，画出图象即可； （3）根据（2）中的图象解答即可． 【详解】（1）解：观察表格数据可知拉力每增加，弹簧A的伸长量增加， 因此当时，， 故表格填入数据； （2）解：如下图函数图象即为所求： （3）解：①由图象可知， 当拉力为时，弹簧A的伸长量为，弹簧B的伸长量为， 则弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为； ②由图象可知， 若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为． 8．如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由平行线的性质得到，即可证明； （2）连接，过点作交延长线于点，可得，再分别解求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，为半径， ∴，即， ∵， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，而， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 9．某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 【答案】(1) ， (2) (3) 乙、甲、丙 【分析】（1）根据折线图读出甲、乙的得分数据，将甲的得分从小到大排列，找出中间两个数的平均数即为中位数；找出乙的得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算乙的平均数，利用方差公式计算乙的方差，或者通过观察数据的波动程度判断方差大小，再与甲的方差进行比较． （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙、丙的综合成绩，若综合成绩相同，则比较实践操作测试成绩的平均数，从而确定排名顺序． 【详解】（1）解：由折线图可知，甲的次得分为：， 将甲的得分从小到大排列为：， 处于中间位置的两个数分别是和则甲的中位数， 由折线图可知，乙的次得分为：， 其中出现了次，出现次数最多则乙的众数， 故答案为：，． （2）解：乙的平均数为， 乙的方差 ， 因为， 所以， 故答案为：． （3）解：丙的实践操作测试成绩为， 甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， 因为， 所以乙的综合成绩最高甲和丙的综合成绩相等， 比较实践操作测试成绩的平均数甲的实践操作测试成绩平均数为， 丙的实践操作测试成绩平均数为， 因为， 所以甲的综合素质高于丙， 综上所述，这三名员工按综合素质由高到低依次为乙、甲、丙， 故答案为：乙、甲、丙． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】()将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得，然后分情况分析：时，当时，分别作出相应图象，然后结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）①当，时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 此时点P与点A重合， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ②根据题意得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴， 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∴， ∴； 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∵的长随的增大而减小， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 对称轴为，开口向上， ∵的长随的增大而减小， ∴不符合题意，舍去； 综上：或． 11．如图，在中，，（），是边延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作的垂线，垂足为． (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)补全图形见解析，，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，由直角三角形的性质得，整理可得； （2）根据作已知线段垂直平分线的方法作出线段的垂直平分线，连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，证明点M，D，C，B共线，求出，延长交于点N，作于点K，于点L，连接，则四边形是矩形，可得，由平行线分线段成比例定理得，从而可证，进而得出，证明，，得出，从而．结合可证，从而，整理可得． 【详解】（1）解：． 证明：∵将线段绕点逆时针旋转， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，即为所求作的线段的垂直平分线，． 证明：连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，则，， ∴， ∵， ∴点M，D，C，B共线， ∴， ∴． 延长交于点N，作于点K，于点L，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 12．在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，1；② (2) 【分析】（1）①先求出点A到y轴的距离为2，再根据“等距”图形的定义即可求解；②设线段上的点到y轴的距离为，当时，线段有2个点满足；当或时，线段有1个点满足；再结合线段为线段关于y轴的“等距”图形，即可求出t的取值范围； （2）由边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，得出这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且，再根据任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为，可找到的临界状态，求出临界状态的的值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，则点，如图所示： ∴点A到y轴的距离为2， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为3， ∴线段是点A关于y轴的“等距”图形， 设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 当时，， ∴线段上有1个点到y轴的距离为2， ∴k的值为1． ②∵，， ∴同理①的方法可得，线段的解析式为， 设线段上的点到y轴的距离为，如图所示： 当时，线段有2个点满足， 当或时，线段有1个点满足， 又∵线段为线段关于y轴的“等距”图形， ∴线段存在点T，使得点T到y轴的距离不大于， 又∵在y轴的右侧，且到y轴的距离为3， ∴点在直线上或直线的左侧，如图所示： ∴t的取值范围为． （2）解：∵边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形， ∴等边上存在3个点到直线的距离等于某个具体数值， ∵是以点为中心的任意一个等边三角形，且均存在3个点到直线的距离等于，如图所示： ∴这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且， ∴任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为， 如图所示，点在直线上，作直线，，且， 作与直线相切于点， 若上存在一点到直线的距离达到，则与直线有交点即可， ∵直线， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∵的半径为1， ∴， ∴，， ∴， 同理，当点在直线的下方时，，， ∴， ∵点在第四象限， ∴点，即， ∴． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算：． 【答案】 【分析】利用求一个数的绝对值，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简等运算法则进行计算． 【详解】解： ． 2．解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对分式的分子分母进行因式分解，化为最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式． 4．如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理先得到，然后即可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明其为菱形； （2）连接与交于点，先根据三角形中位线定理求解，即可求解，然后根据菱形得到，，再根据角直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接与交于点， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先理解题意，结合短伞骨长度与长伞骨长度之比为，设短伞骨长度为，则长伞骨长度为，又因为伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设短伞骨长度为， 则长伞骨长度为， 依题意，得， 解得， ∴． 答：这个油纸伞的伞柄长． 6．在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据直线的平移和直线上的点求直线解析式； （2）由题意可得，然后利用不等式的性质解不等式求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）得：，， 由题意可得：当时， 由题意可得：， 由①得：，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由②得，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由③得，即，由可得，要使不等式恒成立，需，即． 综上，且． 7．2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零． 某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图： b．丙区域12个月的月均浓度： c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）： 甲 乙 丙 丁 平均数 23.6 23.6 27.6 23.6 中位数 22.5 24.0 24.0 方差 30.8 15.9 30.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为_____； (2)表中_____30.8（填“”“”或“”）； (3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）： ①全年月均浓度的平均数尽可能低； ②全年月均浓度的波动幅度尽可能小； ③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多． 评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____． 【答案】(1)28.5 (2) (3)乙、甲、丁、丙 【分析】（1）根据中位数定义计算即可得答案； （2）根据方差的概念和意义即可解答即可； （3）先比较平均数得出丙最高，再比较方差得出乙的波动幅度，最后根据比较月均浓度小于月均浓度平均数的月份的多少得出结论即可． 【详解】（1）解：丙区域12个月的月均浓度从小到大排列为：20，21，24，27，28，28，29 ，29，30，31，32，32， ∵第6个和第7个数据分别为28，29， ∴丙区域12个月的月均浓度的中位数； （2）解：根据折线图可以看出，甲区域12个月的月均浓度大约分布于14至31，乙区域12个月的月均浓度大约分布于16至28，可以发现乙区域12个月的月均浓度比甲区域12个月的月均浓度波动较小，更加稳定， 所以乙区域12个月的月均浓度的方差小于甲区域12个月的月均浓度的方差， 故； （3）解：∵甲、乙、丙、丁四个区域12个月的月均浓度的平均数分别为23.6、23.6、27.6、23.6， ∴由平均数比较，甲、乙、丁三个区域的全年月均浓度的平均数尽可能低，丙区域的12个月的月均浓度最高； ∵甲、丁两个区域的方差分别为30.8、30.8，乙区域的方差， ∴乙区域的全年月均浓度的波动幅度小，甲、丁两个区域的全年月均浓度的波动幅度较大， ∵甲区域的全年12个月的月均浓度的中位数为22.5，平均数为23.6，丁的全年12个月的月均浓度的中位数为24.0，平均数为23.6， ∴甲区域的全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份比丁区域的多， ∴四个区域按空气质量从高到低依次为：乙、甲、丁、丙． 8．如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，由切线长定理可得，又，则，所以，然后通过圆周角定理得，则，再由平行线的判定方法即可求证； （）连接，由切线长定理可得，所以，然后通过圆周角定理得，所以，故有，再由垂径定理得，所以，证明，则，再证明，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 与相切，切点分别为， ， ， ， ， 为直径， ， ， ； （2）解：连接， 与相切，切点分别为， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，可得， 的半径为． 9．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 【答案】(1)5 (2)32，51，见解析 (3)①7；② 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）由图可知每个周期增长件即可得到；由5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，可得第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件，据此可得；再描点作图即可； （3）①观察图象即可；②根据的位置即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，当第5个周期时，首次超过35； （2）解：进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件， （件）； 5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少， 第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件， 第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意， ； 作图如下： （3）解：①由图可知开机后至少7分钟后，值基本恒定； ②由图可知开机前5分钟， 曲线在最下方，在最上方，在中间， ． 10．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，先随增大而减小，后随增大而增大，求的取值范围； (3)将抛物线向上平移个单位（），得到图形，当时，图形与直线有且只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的性质求解即可； （3）求出直线的解析式为，将抛物线向上平移个单位（）得到，联立解析式得到，令，则问题转化为与在上只有一个交点，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ； （2），， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，抛物线中随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，先随增大而减小，后随增大而增大， ， 解得； （3）设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 将抛物线向上平移个单位（）得到， 联立， 得到， 令，则问题转化为与在上只有一个交点， 当时，；当时，；当时，； 由图象可知，要使只有一个交点，的取值范围为或，即或． 【点睛】掌握二次函数的图象与性质，并且数形结合是解题的关键． 11．已知线段，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，将线段所在的射线绕点B顺时针旋转得到射线，其中．在射线上取一点C，连结，作交线段于点G． (1)如图1，当时，求证：平分； (2)如图2，当时，如图，在上取一点F，使，连结交于点M．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质和，得出，则，根据旋转得，则，即可得，即平分． （2）延长到N，使，连接，如图2，则，结合，得出，根据旋转得，证明，得出，，证明，根据平行线分线段成比例得出，结合，得出，则，即可证出． 【详解】（1）证明：∵将所在的射线绕点B顺时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴中，， ∴， ∴平分． （2）证明：延长到N，使，连接，如图2， 则， ∵， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．对于点P，和直线l，若将绕点P逆时针旋转（）得到，使得与直线l相切，则称点P为和直线l的旋切点，当存在n个满足条件的时，称该点为n阶旋切点，其中最小的称为最小旋切角． 在平面直角坐标系中， (1)若的半径为1，直线，则在点，，中，点 是和直线l的旋切点，且为 阶旋切点； (2)已知点，的半径为2，直线，若点是和直线m的旋切点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，的半径为1，直线，点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)C，2 (2) (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，切线的性质，勾股定理，一次函数与几何综合； （1）根据定义进行判断，作直线，以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点、，分别以点、为圆心，1为半径画圆，与直线相切，符合定义要求，点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点； （2）当时，圆无论如何都不可能与直线相切，不符合题意；当时，寻找临界状态，当绕点逆时针旋转至圆心刚好落在轴上的点时，即为临界状态，据此即可求解； （3）点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，即最小的要满足，找到旋切角等于和旋切角等于这两种临界情形下的b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，作直线，以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点、，分别以点、为圆心，1为半径画圆，与直线相切，符合定义要求，即将以点为中心逆时针旋转或时，与直线相切，且，， ∴点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点， ∵以点为圆心，长为半径作圆，与直线没有交点， ∴点为旋转中心，将绕其逆时针旋转（），不能与直线相切，不符合定义要求， ∵以点为圆心，长为半径作圆，与直线的交点、， ∴、、共线， ∴在逆时针方向上，， ∴点为旋转中心，将绕其逆时针旋转（），也不能与直线相切，不符合定义要求， 综上：点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点，点、点不是和直线的旋切点． （2）解：∵的半径为2，直线，， 又∵旋转方向为逆时针，旋转角度（）， ∴当时，圆无论如何都不可能与直线相切， 当时，寻找临界状态，当绕点逆时针旋转至圆心刚好落在轴上的点时，符合题意，此时， ∴，解得：（舍去）或， ∴如果点沿着轴向左运动，一定符合题意， ∴． （3）解：∵点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，即最小的要满足， ∴我们首先来讨论第一个临界状态，旋切角等于（虽然等于不符合定义，但是不妨碍其作为临界值）， 作的两条切线，如图所示，切点分别为点和点，也就是不用旋转即与直线相切，这种情况可以理解为旋切角等于的临界状态， 当直线与相切于点时， ∵，， ∴， ∴， 当直线与相切于点时， ∵， ∴， ∵旋切角， ∴此处的值不能取等号， 我们再来讨论第二个临界状态，旋切角等于， 将点绕点逆时针旋转得到点，以点为圆心，1为半径作，作的两条切线和，与轴分别交于点和点，其中切线与相切于点， ∵，，， ∴， 作的垂直平分线交轴于点，可得是底角的等腰三角形， 过点作轴于点，中，， 设，则，，， 在中，，即， 化简变形可得，，即，解得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰，由，可得， ∴，代入的解析式，可得， ∵直线和在轴上截得的线段， ∴直线和在轴上截得的线段， ∴， 综上：或． （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）限时训练90-95min 解答题（本大题共12小题，满分68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算、解不等式组： (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 4．如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． （1）证明为的中位线，则，且，又，则，即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，则，根据已知的，可得，则四边形是菱形，可得，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线，交于点， ∴， 又， ∴为的中位线， ∴，且， 又为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知点和代入函数中，得到一个关于和的方程组，然后解这个方程组即可． （2）根据（1）求出和的表达式，然后列出不等式组，再结合求解的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入， 得方程组：． 解得，． （2）解：由（1）可知，， 所以，， 因为当时，且， 所以可得不等式组，即， 解不等式： 因为，要使其恒成立，则必有时，， 所以，解得； 解不等式： 因为，要使其恒成立，则必有时，， 所以，解得， 综上可得． 6．随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 【答案】0.9万件 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 7．为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 (1)写出表中m，n的值； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则_______（填“>”“=”或“<”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是_______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数    ②中位数    ③众数    ④方差 【答案】(1)66，70 (2) (3)③ 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案； （3）把甲中的一个60换成70后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，不变的是众数． 【详解】（1）解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，70分，70分，70分， ∴甲的中位数为66分，即， ∵甲运动时长为70分的天数最多， ∴甲的众数为70分，即； （2）解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴； （3）解：把甲中的一个60换成70后， 新数据是： 60分，66分，66分，70分，70分，70分，70分， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． 8．如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，补全图形，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图．根据切线的性质得到，，．由垂直的定义得到．求得．于是得到结论； （2）连接交于点，利用解直角三角形、勾股定理、锐角三角比的定义和相似三角形的判定和性质进行解答即可； 【详解】（1）证明：连接，如图． ，与分别相切于点，， ，，． ． ， ． ， ∴ ． （2）解：连接交于点，如图． 是的直径， ． ． ， ， 又， ， ， 设 由勾股定理可得： ，， 解得： ，． ，， ． ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 9．某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究． 速度 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 最大高度 80 220 350 440 500 480 420 360 300 250 (1)根据函数的定义，设______为y，______为x，y是x的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，回答下列问题： 下列说法正确的有______（填序号） ①y随x的增大而减小； ②当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高； ③速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低． (4)若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在______至______范围内（结果取整数）． 【答案】(1)最大飞行高度，飞行速度 (2)见解析 (3)②③ (4)， 【分析】（1）根据最大飞行高度是随飞行速度的变化而变化的解答即可； （2）先描点，再用平滑曲线连接即可； （3）结合函数图象解答即可； （4）根据表格的数据画大致图形解答即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义，设最大飞行高度为，飞行速度为，是的函数． （2）解：在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象如下： （3）解：由函数图象可知，随的增大先增大，再减小，则说法①错误； 当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高，则说法②正确； 当速度过快，即时，速度越大高度越低；当速度过慢，即时，速度越小高度越低；综上，速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低，则说法③正确． （4）解：由表格的数据画大致图形如下： 若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在至范围内． 10．在平面直角坐标系中，抛物线，经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____； ②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或或 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）①根据得出，，，进而得出的纵坐标为，的纵坐标为，即可求解； ②根据题意得出，分两种情况，当时，当时，求得的解析式，根据二次函数式的性质，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线，经过点， ． ． （2）解：①∵ ∴， ∴， 当时，， 即的纵坐标为，的纵坐标为 ∴； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点， ． 分两种情况： 情况1：当时， 当时， 解得：或； （i）当时， ． 函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ， 当时符合题意，时不符合题意． ． （ii）当时，， ． 函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ， 时符合题意． ． 情况2：当时， ， ． ， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 当时，即的长随的长的增大而增大． 当时符合题意． 综上所述，的取值范围是或或 11．已知，如图，点是上的点，连接，点关于直线的对称点为点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到，在射线上取一点，使，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若，用等式表示，，三者之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据题意可得，则，由轴对称的性质可得，则可证明； （2）在线段上取一点，连接，使得，证明，．则可证明，得到，进而可证明．再证明，推出，则，设，，据此可推出，证明，得到，则． 【详解】（1）证明：由题意得，， ． 点关于直线的对称点为点， ， ， 设， ． ∵， ； （2）解：，证明如下： 如图所示，在线段上取一点，连接，使得， ． ∴， ． 点关于直线的对称点为点， ． ． 又， ， ， 由（1）知， ． ， ， ， ， ， 在中，设， ∴， ， 即， 在中，． ． ， ∴． ． 12．对于线段PQ和，给出如下定义：若平移线段PQ可以得到的一条弦（点，分别为点P，Q的对应点），线段的长度的最大值为k，则称点Q为点P关于的“k-平移点”，称k为点P关于的“Q-最远平移距离”，在平面直角坐标系xOy中， (1)如图所示，已知点，的半径为1，那么点是点A关于的一个“平移点”． ①在点，，，中，点________是点A关于的“平移点”； ②若线段，则点A关于的“C-最远平移距离”k的最小值是________，最大值是________； (2)已知点，的半径为2．点P，Q是以点为圆心，2为半径的上距离为2的任意两点，若点P关于的“Q-最远平移距离”k的取值范围均满足，则t的取值范围是：________． 【答案】(1)①、；②， (2) 【分析】本题考查平移距离，点与圆的位置关系，勾股定理，坐标系中两点距离； （1）①根据“平移点”的定义判断即可；②连接并延长与交于，过点作的垂线交于，以为对称轴构造等边、等边，连接，由图可得：的最小值为，的最大值为； （2）令坐标为点，取中点，平移后为的弦，当取最大值时为，当取最小值时为，最后根据k的取值范围均满足，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，轴， 取点，，，如图所示， ∴，，即四点都在上， 点A关于的“平移点”，即点A平移个单位后到上，即为的位置或的位置， ∴线段、平移后得到的弦、，可满足平移长度的最大值为， 又∵点，的平移长度的最大值大于， ∴只有点、是点A关于的“平移点”． 故答案为：、． ②如图所示，连接并延长与交于，过点作的垂线交于，以为对称轴构造等边、等边，连接， ∴， 由①得，， ∴的最小值为， 同理可得：， ∴点最远可以平移到点， ∴的最大值为． 故答案为：，． （2）解：令坐标为点， ∵， ∴是等腰三角形， 取中点，平移后为的弦， ∴，， 如左图当共线时，为最大值， 此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如右图，当取最小值时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上：t的取值范围是． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $